Kurs:Einführung in die mathematische Logik/6/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 8 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 10 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 48 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Mersennesche Primzahl} {.}
}{Die \zusatzklammer {rekursiv definierte} {} {} \stichwort {Gültigkeit} {} eines prädikatenlogischen $S$-Ausdruckes $\alpha$ bei einer $S$-\definitionsverweis {Interpretation}{}{} auf einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Isomorphismus} {} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen zwei $S$-Strukturen \mathkor {} {M} {und} {N} {.}
}{Die
\stichwortpraemath {R} {Aufzählbarkeit}{}
einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq \N}{.}
}{Das \definitionsverweis {modallogische}{}{} \stichwort {Transitivitätsaxiom} {.}
}{Die rekursive Definition der
\stichwort {Gültigkeit} {}
eines modallogischen Ausdrucks $\alpha$ in einem
\definitionsverweis {modallogischen Modell}{}{}
\mathl{(M,R,\mu)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Auffüllung widerspruchsfreier aussagenlogischer Mengen (abzählbarer Fall).}{Das \stichwort {Koinzidenzlemma} {.}}{Das \stichwort {Unvollständigkeitslemma} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {f} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise die aussagenlogische Tautologie
\mathdisp {\vdash \alpha\rightarrow (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta)} { }
aus den aussagenlogischen
\definitionsverweis {Axiomen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{L^V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ausdrucksmenge in der
\definitionsverweis {Sprache der Aussagenlogik}{}{}
zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Es sei $\Gamma$
\definitionsverweis {widerspruchsfrei}{}{,}
abgeschlossen unter Ableitungen und für jede Aussagenvariable
\mathl{p \in V}{} gelte
\mathl{p \in \Gamma}{} oder
\mathl{\neg p \in \Gamma}{.} Zeige, dass dann $\Gamma$
\definitionsverweis {maximal widerspruchsfrei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{x,y,z,w}{} Variablen und $V$ ein zweistelliges Funktionssymbol. Welche der folgenden Wörter sind Terme?
\aufzaehlungzweireihe {\itemsechs {
\mathl{VxyzVVw}{,}
}{
\mathl{VVxyVzw}{,}
}{
\mathl{VVxyzVw}{,}
}{
\mathl{VxVyVzw}{,}
}{
\mathl{xVyVzVw}{,}
}{
\mathl{VVVxyzw}{,}
} } {\itemsechs {
\mathl{VxyVVzw}{,}
}{
\mathl{VVxVyzw}{,}
}{
\mathl{VxyVzw}{,}
}{
\mathl{Vx VyzVw}{,}
} {
\mathl{VxVVyzw}{,}
} {
\mathl{Vx yVzVw}{.}
} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Man erläutere für einen Ableitungskalkül den Unterschied zwischen einer syntaktischen Grundtautologie und einer Ableitungsregel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es seien $x,y$ Variablen,
\mathl{s,t}{} Terme und $\alpha$ ein Ausdruck in einer
\definitionsverweis {prädikatenlogischen Sprache}{}{.}
Es seien $u,v$ neue Variablen, die weder in $s$ noch in $t$ noch in $\alpha$ vorkommen. Zeige, dass
\mathdisp {\alpha { \frac{ s,t }{ x,y } } \leftrightarrow \alpha { \frac{ s { \frac{ v }{ y } } }{ x } } { \frac{ t { \frac{ u }{ x } } }{ y } } { \frac{ x }{ u } } { \frac{ y }{ v } }} { }
\definitionsverweis {allgemeingültig}{}{}
ist, wobei der Ausdruck rechts als die Hintereinanderausführung von vier Einzelsubstitutionen
\zusatzklammer {von links nach rechts} {} {}
zu lesen ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige
\mathdisp {\vdash \forall x \alpha \wedge \forall x \beta \rightarrow \forall x { \left( \alpha \wedge \beta \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die Vorgängereigenschaft
\mathdisp {\forall x { \left( x \neq 0 \rightarrow \exists y (x = N y) \right) }} { }
aus der Menge der
\definitionsverweis {Peano-Axiome für den Nachfolger}{}{}
folgt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise den Fixpunktsatz der Prädikatenlogik.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $M$ ein
$K$-\definitionsverweis {modallogisches System}{}{,}
in dem zusätzlich das
\definitionsverweis {Transitivitätsaxiom}{}{}
gelte. Ferner sei $s$ ein modallogischer Ausdruck, für den
\mathdisp {M \vdash \neg \Box s \leftrightarrow s} { }
gelte. Zeige für einen beliebigen Ausdruck $p$ die Ableitbarkeit
\mathdisp {M \vdash \neg \Box (p \wedge \neg p ) \rightarrow \neg \Box s} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}