Kurs:Einführung in die mathematische Logik/8/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 8 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 50 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {widersprüchliche} {}
Ausdrucksmenge
\mathl{\Gamma \subseteq L^V}{} in der
\definitionsverweis {Sprache der Aussagenlogik}{}{}
zu einer Aussagenvariablenmenge $V$.
}{Die \stichwort {Produktmenge} {} aus zwei Mengen $L$ und $M$.
}{Die \stichwort {Ableitbarkeit} {} eines Ausdrucks $\alpha \in L^S$ im prädikatenlogischen Kalkül.
}{Die \stichwort {Repräsentierbarkeit} {} einer \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {F} {\N^r} {\N^s } {} in einer Menge $\Gamma$ von \definitionsverweis {arithmetischen Ausdrücken}{}{.}
}{Das \definitionsverweis {modallogische}{}{} \stichwort {Möglichkeitsaxiom} {.}
}{Die \stichwort {Nachfolgermenge} {} in einem \definitionsverweis {gerichteten Graphen}{}{.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Vorgängereigenschaft in einem Peano-Halbring.}{Der \stichwort {Endlichkeitssatz} {} für die Prädikatenlogik.}{Die \stichwort {Unentscheidbarkeit der Arithmetik} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von $20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.
Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten? \aufzaehlungdrei{Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur. }{Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur. }{Linda engagiert sich bei Attac. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Widerspruch} {} für eine Aussage der Form \anfuehrung{Aus $A$ folgt $B$}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{\Gamma \subseteq L^V}{} eine Ausdrucksmenge in der
\definitionsverweis {Sprache der Aussagenlogik}{}{}
über einer Aussagenvariablenmenge $V$ und es sei
\mathl{\alpha \in L^V}{.} Es gelte
\mathdisp {\Gamma \not \vdash \alpha} { . }
Zeige, dass dann
\mathdisp {\Gamma \cup \{ \neg \alpha \}} { }
\definitionsverweis {widerspruchsfrei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei ein
\definitionsverweis {Symbolalphabet}{}{}
$S$ einer
\definitionsverweis {Sprache erster Stufe}{}{}
gegeben, $\alpha \in L^S$ und $I$ eine
\definitionsverweis {Interpretation}{}{}
mit
\mathl{I \vDash \alpha}{.} Zeige durch ein Beispiel, dass daraus nicht im Allgemeinen die Gültigkeit
\mathl{I \vDash \alpha { \frac{ t_1 , \ldots , t_k }{ x_1 , \ldots , x_k } }}{} unter einer
\definitionsverweis {Substitution}{}{}
folgt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{(\N,0,^\prime)}{} ein
\definitionsverweis {Dedekind-Peano-Modell}{}{}
der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Addition durch die Bedingungen
\mathdisp {x + 0 =x \text { für alle } x \in \N \text{ und } x + y' = (x + y )' \text { für alle } x,y \in \N} { }
eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Es sei
\mathl{(M, \preccurlyeq)}{} eine nichtleere
\definitionsverweis {geordnete Menge}{}{.}
Wir betrachten die Relation $\prec$ auf $M$, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \prec }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \preccurlyeq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, definiert ist.
\aufzaehlungvier{Ist $\prec$ transitiv?
}{Ist $\prec$ reflexiv?
}{Charakterisiere, wann $\prec$ symmetrisch ist.
}{Ist $\prec$ antisymmetrisch?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Satz von Henkin.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass mit
\mathdisp {\vdash \alpha \rightarrow \beta} { }
auch
\mathdisp {\vdash \forall x \alpha \rightarrow \forall x \beta} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige
\mathdisp {\vdash \forall x { \left( \alpha \wedge \beta \right) } \rightarrow \forall x \alpha \wedge \forall x \beta} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Isomorphiesatz für (zweitstufige) Dedekind-Peano-Modelle.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (4+2)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { \{0,1,+,\cdot, \geq \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Symbolalphabet}{}{}
für einen
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
und es sei $\R$ die
$S$-\definitionsverweis {Struktur}{}{}
mit der Standardinterpretation.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Äquivalenzklassen zur
\definitionsverweis {elementaren Äquivalenz}{}{}
einelementig sind.
} {Zeige, dass es für die Elemente im Allgemeinen keinen charakterisierenden Ausdruck gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {gerichteten Graphen}{}{}
\mathl{(M,R)}{} das modallogische
\definitionsverweis {euklidische Axiom}{}{}
genau dann gilt, wenn $R$
\definitionsverweis {euklidisch}{}{}
ist.
}
{} {}