Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Arbeitsblatt 4

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge und . Es gelte . Zeige, dass es dann auch eine endliche Teilmenge mit gibt.


Aufgabe

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge . Es gelte und . Folgt daraus ?


Aufgabe

Es sei ( seien Aussagenvariablen). Welche der folgenden Aussagen lassen sich aus ableiten?


Aufgabe

Zeige, dass man aus unendlich viele Aussagen ableiten kann, die keine Tautologien sind.


Aufgabe *

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge . Zeige


Aufgabe

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge . Zeige die folgenden Regeln für die Ableitungsbeziehung (dabei seien Aussagen).

  1. Konjunktionsregel: genau dann, wenn und .
  2. Kettenschlussregel: Wenn und , dann auch .
  3. Modus Ponens: Wenn und , dann ist auch .
  4. Wenn , so auch .
  5. Wenn und , dann auch .
  6. Widerspruchsregel: Wenn und , dann auch .
  7. Fallunterscheidungsregel: Wenn und , dann auch .


Aufgabe

Es sei eine Aussagenvariablenmenge. Welche der folgenden Aussagen aus lassen sich aus ableiten?


Aufgabe

Es sei und . Zeige


Aufgabe *

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik über einer Aussagenvariablenmenge und es seien . Zeige, dass

zu

äquivalent ist.


Aufgabe *

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik über einer Aussagenvariablenmenge und es sei . Es gelte

Zeige, dass dann

widerspruchsfrei ist.


Aufgabe

Es seien Ausdrucksmengen in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge und seien .

  1. Es gelte und . Zeige .
  2. Es gelte und . Folgt daraus ?


Aufgabe *

Sei . Man gebe ein Beispiel für eine aussagenlogische widersprüchliche Ausdrucksmenge

derart, dass jede echte Teilmenge davon widerspruchsfrei ist.


Aufgabe

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge . Zeige, dass die Ableitungsbeziehung die Folgerungsbeziehung impliziert.


Aufgabe

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge und es sei . Es gebe eine Interpretation mit und . Zeige .


Aufgabe *

Es sei die Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge und es sei eine Wahrheitsbelegung der Variablen mit zugehöriger Interpretation . Zeige, dass maximal widerspruchsfrei ist.


Aufgabe

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Lemma 4.7 für die Implikation durch.


Aufgabe

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge , die zu jeder Aussagenvariablen entweder oder enthalte. Zeige, dass maximal widerspruchsfrei ist.


Aufgabe

Es sei eine widerspruchsfreie, aber nicht maximal widerspruchsfreie Aussagenmenge, die unter Ableitungen abgeschlossen sei. Zeige, dass nicht durch die Hinzunahme von endlich vielen Aussagen zu einer maximal widerspruchsfreien Aussagenmenge aufgefüllt werden kann.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ( seien Aussagenvariablen). Welche der folgenden Aussagen lassen sich aus ableiten?


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist widersprüchlich.
  2. Für jedes ist und .
  3. Es ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Aussagenvariable und eine Aussage, in der die Variable nicht vorkommt. Es gelte

Zeige, dass bereits

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Aussagenvariablenmenge. Konstruiere eine Ausdrucksmenge , die abgeschlossen unter Ableitungen und nicht maximal widerspruchsfrei ist, die aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede Aussagenvariable sowohl als auch maximal widerspruchsfrei ist.



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