Kurs:Elementare Algebra/18/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 2 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Ordnung} {}
eines Elementes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$.
}{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Ein \stichwort {Radikal} {} in einem kommutativen Ring $R$.
}{Der
\stichwort {Exponent} {}
\mathl{{ \exp_p(f) }}{} zu einem Element
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
bezüglich eines
\definitionsverweis {Primelementes}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {faktoriellen Bereich}{}{}
$R$.
}{Ein \stichwort {Vektorraum} {} $V$ über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {algebraische Zahl} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über Ideale im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}{Der Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.}{Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_1,\mu_2,\mu_3
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { \mu_1\mu_2 + \mu_1\mu_3 + \mu_2\mu_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { -( \mu_1+\mu_2+\mu_3) w + \mu_1 \mu_2\mu_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z^2
}
{ = }{ (w + \mu_1^2) (w + \mu_2^2) (w + \mu_3^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {inversen Elemente}{}{} der folgenden \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungdreiabc{ $3$. }{ $5 { \mathrm i}$. }{ $3+5 { \mathrm i}$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Führe in $\Z/(7)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=2X^3+4X^2+5} {und} {T=3X^2+X+1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} verschiedene \definitionsverweis {normierte Polynome}{}{} vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1+2+3
}
{ = }{ 1 \cdot 2 \cdot 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Gibt es neben der $1$ weitere natürliche
\zusatzklammer {ganze, reelle, komplexe} {} {}
Zahlen $x$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+ (x+1) +(x+2)
}
{ =} { x \cdot (x+1) \cdot (x+2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $71894$ und $45327$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Binomialkoeffizient}{}{}
\mathdisp {\binom { n } { 2 }} { }
eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme den Exponenten zu $3$ von
\mathl{72657}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{35}}{} in
\mathl{\Z/(101)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass die Periodenlänge der Stammbrüche
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }}{} im Zehnersystem beliebig lang sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x^4+1 } }} { }
unter Verwendung der Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4+1
}
{ =} { { \left( x^2+ \sqrt{2} x+1 \right) } { \left( x^2- \sqrt{2} x+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
\aufzaehlungvier{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
der
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{\pi +e { \mathrm i}}{} über $\R$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise die \anfuehrung{Gradformel}{} für eine Kette von \definitionsverweis {endlichen Kör\-pererweiterungen}{}{} $K \subseteq L \subseteq M$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z^2+pz+q
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine quadratische Gleichung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p,q
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+y
}
{ =} { -p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und des Kreises
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2
}
{ =} { p^2-2q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Lösungen der quadratischen Gleichung sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beschreibe einen didaktischen Ansatz, wie man in der Schule Gerade, Kreis und ihr Schnittverhalten behandeln kann.
}
{} {}