Kurs:Elementare Algebra/25/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 0 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 1 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 61 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {$n$-te Einheitswurzel} {} $z$ in einem Körper $K$ \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {.}
}{Ein \stichwort {Normalteiler} {} $N$ in einer Gruppe $G$.
}{Die \stichwort {Charakteristik} {} eines Körpers
\mathl{K}{.}
}{Der \stichwort {Quotientenkörper} {} zu einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwort {Untervektorraum} {}
\mathl{U \subseteq V}{} in einem $K$-Vektorraum $V$.
}{Eine aus einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq E}{} einer Ebene $E$ \stichwort {elementar konstruierbare} {} Gerade $G$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über Ideale in einem euklidischen Bereich.}{Der \stichwort {Satz von Lagrange} {} für die Ordnung eines Elementes.}{Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei $M$ eine Menge. Wir betrachten die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, ( M ) \times \mathfrak {P} \, ( M ) } { \mathfrak {P} \, ( M ) } {(A,B)} { A \setminus B } {.} Ist diese Verknüpfung \definitionsverweis {assoziativ}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixiertes Element.
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left\{ F \in K[X] \mid F(a) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ist.
}{Bestimme ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb C} [X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kleinsten Grades, das an der Stelle
\mathl{3-8 { \mathrm i}}{} den Wert
\mathl{5-6 { \mathrm i}}{} und an der Stelle
\mathl{2-7 { \mathrm i}}{} den Wert
\mathl{4-3 { \mathrm i}}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Betrachte den Körper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { {\mathbb F}_{ 4 }
}
{ =} { \Z/(2)[U]/(U^2+U+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Führe im Polynomring $K[X]$ die Polynomdivision
\mathdisp {X^4 +uX^3+ (u+1) X+1\text{ durch } uX^2+X+u+1} { }
aus, wobei $u$ die Restklasse von $U$ in $K$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Erstelle eine Wertetabelle für die Abbildung \maabbeledisp {} { \Z/(10) } { \Z/(10) } { x } {x^3 } {.} Ist die Abbildung bijektiv?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Finde unter den Zahlen $\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3 x^2+ x+4
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über $\Z/( 7 )$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den kleinen Satz von Fermat.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 100 }{ 77 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wir betrachten das kleine Einmaleins \zusatzklammer {ohne die Zehnerreihe} {} {} als eine Familie von $9$-Tupeln der Länge $9$. Welche \definitionsverweis {Dimension}{}{} besitzt der durch diese Tupel \definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{} des $\R^9$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das Inverse von
\mathl{4x -7}{} im
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{\Q[X]/ { \left( X^2-11 \right) }}{}
\zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {}
über ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 4x -7 \right) } { \left( ax+b \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ und es sei
\mathl{K \subset L}{} eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass es dann ein
\mathbed {x \in L} {}
{x \notin K} {}
{} {} {} {,}
mit
\mathl{x^2 \in K}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+3)}
{
\aufzaehlungdreiabc{Skizziere zwei Kreise, die sich in genau einem Punkt schneiden.
}{Es seien zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_1
}
{ \neq }{ M_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der Ebene $E$ gegeben. Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert den Kreis $K_1$ mit Mittelpunkt $M_1$ durch $P$ und den Kreis $K_2$ mit Mittelpunkt $M_2$ durch $P$. Charakterisiere, wann die beiden Kreise genau einen Schnittpunkt besitzen.
}{Beweise die Charakterisierung aus b).
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Beschreibe die Zahl $\pi$ durch eine anschauliche Konstruktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
Es sei $K$ der
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der reellen, mit Zirkel und Lineal
\definitionsverweis {konstruierbaren}{}{}
Zahlen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Ist der Schnittpunkt der $y$-Achse mit dem Graphen zu $P$ konstruierbar?
}{Sind die Schnittpunkte der $x$-Achse mit dem Graphen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konstruierbar?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung von $X^6-1$ in $\Q[X]$.
}
{} {}