Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/17/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	4	5	6	7	3	7	3	4	5	10	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Monoid ${}M$.
2. Ein irreduzibles Element ${}p$ in einen kommutativen Ring ${}R$.
3. Ein faktorieller Bereich ${}R$.
4. Eine primitive Einheit in ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
5. Das Minimalpolynom eines Elementes  ${}x\in L$  in einer endlichen Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$. 
6. Ein lokaler Ring.

Lösung

1. Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ zusammen mit einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M$

   und einem ausgezeichneten Element ${}e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

   1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

      ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

      für alle ${}x,y,z\in M$.

   2. ${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

      ${}x\circ e=x=e\circ x\,$

      für alle ${}x\in M$.

2. Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
3. Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
   1. Jedes irreduzible Element in ${}R$ ist prim.
   2. Jedes Element ${}a\in R$, ${}a\neq 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
4. Eine Einheit ${}u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv, wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
5. Das Minimalpolynom von ${}x\in L$ (über ${}K$) ist das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ von minimalem Grad mit ${}P(x)=0$.
6. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Euler über Einheiten in einem Restklassenring von ${}\mathbb {Z}$.
2. Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.
3. Der Minkowskische Gitterpunktsatz.

Lösung

1. Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt für jede zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ die Beziehung

   ${}a^{\varphi (n)}=1\!\!\!\mod n\,.$

2. Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Dann ist ${}R$ normal.
3. Es sei ${}\Gamma$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$. Es sei ${}T$ eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in ${}\mathbb {R} ^{n}$, die zusätzlich die Volumenbedingung

   ${}\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,$

   erfülle. Dann enthält ${}T$ mindestens einen von ${}0$ verschiedenen Gitterpunkt.

Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),$

injektiv oder nicht?

Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen

${}2^{4}=16=4^{2}\,$

die beiden Paare ${}(2,4)$ und ${}(4,2)$ unter ${}\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen

$3^{4}\cdot 5^{2},\,2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1},\,2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}.$

Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.

Lösung

Nach Satz . (Zahlentheorie (Osnabrück 2025)) (angewendet auf drei Zahlen) ist der größte gemeinsame Teiler gleich

${}3^{2}\cdot 5^{1}=45\,$

und das kleinste geminsame Vielfache ist gleich

${}2^{5}\cdot 3^{4}\cdot 5^{2}\cdot 7=32\cdot 81\cdot 25\cdot 7=2592\cdot 175=453600\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite ${}255$ und ${}561$ (in Zentimeter) machen, Fredo kann Sprünge der Weite ${}357$ und ${}595$ machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?

Lösung

Wir bestimmen zuerst, auf welchen Positionen sich jeweils die beiden Flöhe befinden können, indem wir den euklidischen Algorithmus anwenden. Für Carlo ergibt sich

${}561=2\cdot 255+51\,,$

${}255=5\cdot 51\,,$

der größte gemeinsame Teiler der beiden Sprungweiten ist also ${}51$ und die möglichen Positionen von Carlo sind ${}51\mathbb {Z}$. Für Fredo ergibt sich

${}595=1\cdot 357+238\,,$

${}357=1\cdot 238+119\,,$

${}238=2\cdot 119\,,$

der größte gemeinsame Teiler der beiden Sprungweiten ist also ${}119$ und die möglichen Positionen von Fredo sind ${}119\mathbb {Z}$. Die gemeinsamen Positionen von Carlo und Fredo werden durch

$51\mathbb {Z} \cap 119\mathbb {Z}$

beschrieben. Dafür müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}51$ und ${}119$ ausrechnen. Wegen

${}51=3\cdot 17\,$

und

${}119=7\cdot 17\,$

ist das kleinste gemeinsame Vielfache gleich

${}{\frac {51\cdot 119}{17}}=3\cdot 119=357\,.$

Die beiden Flöhe können sich also in den Positionen ${}357\mathbb {Z}$ treffen.

Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

a) Bestimme die kanonische Produktzerlegung des Restklassenringes ${}\mathbb {Z} /(180)$.

b) Bestimme die Anzahl der Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(180)$.

c) Berechne das Bild von ${}77$ in der kanonischen Zerlegung. Begründe, dass ${}77$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(180)$ ist.

d) Bestimme die multiplikative Ordnung von ${}77$ in ${}\mathbb {Z} /(180)$.

Lösung

a) Wegen

${}180=4\cdot 9\cdot 5\,$

ist

${}\mathbb {Z} /(180)\cong \mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(5)\,.$

b) Die Anzahl der Einheiten in den einzelnen Gruppen sind der Reihe nach ${}2,6,4$, daher gibt es insgesamt ${}48$ Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(180)$.

c) Das zu ${}77$ gehörige Restetupel ist ${}\left(1,\,5,\,2\right)$. Da diese Reste jeweils Einheiten sind, ist ${}77$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(180)$.

d) Wir berechnen die Ordnungen in den einzelnen Komponenten. ${}1$ hat die Ordnung ${}1$ in ${}{\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }$. In ${}{\left(\mathbb {Z} /(9)\right)}^{\times }$ ist  ${}5\cdot 5=7$, 

${}5^{3}=7\cdot 5=8\neq 1\,.$

Deshalb muss die Ordnung nach [[Gruppentheorie/Lagrange/Ordnung eines Elementes/Fakt|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/17/Klausur mit Lösungen (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (Zahlentheorie (Osnabrück 2025))]] gleich ${}6$ sein. In ${}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }$ ist  ${}2\cdot 2=4\neq 1$,  daher ist die Ordnung gleich ${}4$. Die multiplikative Ordnung von ${}77$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Einzelordnungen, also gleich ${}12$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit der Faktorzerlegung

${}n=2^{r}\cdot 5^{s}\cdot d\,,$

wobei ${}d$ zu ${}n$ teilerfremd sei ( ${}r,s=0$  und  ${}d=1$  sind erlaubt). Zeige, dass die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von ${}{\frac {1}{n}}$ gleich der multiplikativen Ordnung von ${}10$ in ${}\mathbb {Z} /(d)$ ist.

Lösung

Die Periodenlänge einer abbrechenden Dezimalentwicklung verstehen wir als ${}1$ (die ${}0$ wiederholt sich). Da die ${}10$ teilerfremd zu ${}d$ ist, ist ${}10$ in ${}\mathbb {Z} /(d)$ eine Einheit und besitzt daher eine multiplikative Ordnung. Der Divisionsalgorithmus berechnet sukzessive die Reste von ${}10^{i}$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$, da ja der vorhergehende Rest mit ${}10$ multipliziert wird. Periode tritt ein, wenn sich Reste erstmalig wiederholen, wenn also  ${}10^{i}=10^{j}$  in ${}\mathbb {Z} /(n)$ mit  ${}i<j$  ist und ${}i,j$ minimal mit dieser Eigenschaft sind. Der chinesische Restsatz liefert die Isomorphie

${}\mathbb {Z} /(n)=\mathbb {Z} /(2^{r})\times \mathbb {Z} /(5^{s})\times \mathbb {Z} /(d)\,,$

und die Bedingung  ${}10^{i}=10^{j}$  muss in den drei Komponenten gelten. In den ersten beiden Komponenten ist ${}10$ nilpotent, da ja ${}10^{r}$ ein Vielfaches von ${}2^{r}$ und ${}10^{s}$ ein Vielfaches von ${}5^{s}$ ist. Diese Komponenten sind also für die Periodenlänge unerheblich (allerdings spielen sie eine Rolle für die Frage, wann frühestens die Periodizität anfängt). In der dritten Komponente ist ${}10$ eine Einheit, also ein Element der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(d)\right)}^{\times }$. Nach Satz . (Zahlentheorie (Osnabrück 2025)) tritt die erste Wiederholung ein, wenn erstmalig  ${}10^{j}=10^{0}=1$  gilt, also bei der multiplikativen Ordnung von ${}10$.

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Lösung

a)

b) Der Ring ${}R$ enthält die ${}-1$, die wegen der Voraussetzung über die Charakteristik nicht gleich ${}1$ ist, und dessen multiplikative Ordnung gleich ${}2$ ist. In einer unendlichen zyklischen Gruppe gibt es aber nur die Ordnung ${}1$ und die Ordnung unendlich.

c) In der Nenneraufnahme ${}\mathbb {Z} /(2)[X]_{X}$ sind genau die Potenzen ${}X^{k}$ mit  ${}k\in \mathbb {Z}$  Einheiten, die Einheitengruppe ist also isomorph zu ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${}R=\mathbb {Z} [2{\mathrm {i} }]={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid a,b\in \mathbb {Z} ,\,b{\text{ gerade}}\right\}}\,.$

Zeige, dass von ${}2$ und ${}2{\mathrm {i} }$ erzeugte Ideal ${}I$ kein Hauptideal ist.

Lösung

Im umfassenden Ring ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist

${}{\left(2,2{\mathrm {i} }\right)}=(2)=(2{\mathrm {i} })\,$

ein Hauptideal. All seine Elemente gehören bereits zu ${}R$, es besteht ja aus allen Elementen, wo beide Komponenten gerade sind. Wenn das Ideal in ${}R$ ein Hauptideal wäre, so käme als Erzeuger nur ein Erzeuger des Ideals in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ in Frage, also ${}2$ oder ein dazu assoziiertes Element. In ${}R$ ist aber ${}2{\mathrm {i} }$ kein Vielfaches von ${}2$, da das Element ${}{\mathrm {i} }$ in ${}R$ fehlt.

Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, unter Verwendung der Divergenz von ${}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}$, dass die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also

$\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}},$

divergiert.

Lösung erstellen

Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

a) Zeige, dass die Endziffer einer Sophie-Germain-Primzahl ${}p$ im Zehnersystem nicht ${}7$ sein kann.

b) Zeige, dass die Zahlen ${}1,3,5,9$ als Endziffer einer Sophie-Germain-Primzahl auftreten können.

Lösung

a) Es sei  ${}p=10n+7$.  Dann ist

${}2p+1=2(10n+7)+1=20n+14+1=5(4n+3)\,,$

also sicher keine Primzahl.

b) Dies ist klar aufgrund der Primzahlpaare ${}(11,23)$, ${}(3,7)$, ${}(5,11)$, ${}(29,59)$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es überabzählbar viele Untergruppen der multiplikativen Gruppe ${}(\mathbb {Q} ^{\times },\cdot ,1)$ gibt.

Lösung

Zu einer jeden Teilmenge ${}T$ von Primzahlen betrachten wir

${}G(T)={\left\{\prod _{p\in T}p^{r_{p}}\mid r_{p}\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {Q} ^{\times }\,,$

wobei in den Produkten stets  ${}r_{p}=0$  bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Ein Produkt von zwei solchen Elementen ist wieder von der gleichen Form, und das inverse Element zu ${}\prod _{p\in T}p^{r_{p}}$ ist ${}\prod _{p\in T}p^{-r_{p}}$, also auch von der gleichen Form. Es handelt sich also für jedes ${}T$ um eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe. Für

${}T\neq S\,$

sind die zugehörigen Untergruppen verschieden, da bei ${}p\in S$ ${}p\notin T$, auch ${}p\notin G(T)$ aufgrund der eindeutigen Primfaktorzerlegung gilt. Da die Menge der Primzahlen unendlich ist, ist ihre Potenzmenge überabzählbar, und das überträgt sich auf die soeben konstruierten Untergruppen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  ${}D\neq 0,1$  eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Zeige, dass die Diskriminante von ${}A_{D}$ gleich

$\triangle =4D,{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

bzw.

$\triangle =D,{\text{ wenn }}D=1\mod 4$

ist.

Lösung

Im Fall  ${}D=2,3\mod 4$  ist nach Satz 20.9 (Zahlentheorie (Osnabrück 2025))  ${}A_{D}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)$  und daher bilden ${}1$ und ${}X$ eine Ganzheitsbasis. Die möglichen Produkte zu dieser Basis sind in Matrixschreibweise

${\begin{pmatrix}1&X\\X&D\end{pmatrix}}.$

Wendet man darauf komponentenweise die Spur an so erhält man

${\begin{pmatrix}2&0\\0&2D\end{pmatrix}}$

und die Determinante davon ist ${}4D$.

Im Fall  ${}D=1\mod 4$  ist hingegen

${}A_{D}=\mathbb {Z} [\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,$

und eine Ganzheitsbasis ist ${}1$ und ${}\omega$. Die Matrix der Basisprodukte ist dann

${\begin{pmatrix}1&\omega \\\omega &\omega +{\frac {D-1}{4}}\end{pmatrix}}.$

Wendet man darauf die Spur an (die Spur von ${}\omega$ ist ${}1$), so erhält man

${\begin{pmatrix}2&1\\1&1+{\frac {D-1}{2}}\end{pmatrix}}$

und die Determinante davon ist

${}2{\left(1+{\frac {D-1}{2}}\right)}-1=2+D-1-1=D\,.$

Aufgabe (10 Punkte)

Es sei  ${}R=A_{-17}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-17$.  Bestimme die Klassengruppe von ${}R$.

Lösung

Die Diskriminante ist ${}-78$, jede Idealklasse wird nach Lemma 27.5 (Zahlentheorie (Osnabrück 2025)) durch ein Ideal der Norm ${}\leq {\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}$ repräsentiert, also ${}\leq 6$. Da die Idealklassengruppe durch Primideale erzeugt wird, müssen wir nur Primideale betrachten, die auf ${}(2),(3)$ oder ${}(5)$ runterschneiden. Der Ganzheitsring ist

${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-17}}]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+17)\,.$

Für ein Element ${}a+b{\sqrt {-17}}$ ist die Norm gleich ${}a^{2}+17b^{2}$.

Der Ring oberhalb von  ${}p=2$  ist

${}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+17)\right)}/(2)=\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+1)=\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y+1)^{2}\,.$

Das einzige Primideal oberhalb von ${}(2)$ ist also

${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-17}})\,.$

Dessen Norm ist ${}2$, es ist kein Hauptideal, da ${}2$ nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist

${}(2)={\mathfrak {p}}^{2}\,.$

Insbesondere ist ${}{\mathfrak {p}}$ ein Element der Ordnung ${}2$ in der Klassengruppe.

Der Ring oberhalb von  ${}p=3$  ist

${}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+17)\right)}/(3)=\mathbb {Z} /(3)[Y]/(Y^{2}+2)=\mathbb {Z} /(3)[Y]/(Y+1)(Y+2)\,.$

Die Primideale oberhalb von ${}(3)$ sind also

${}{\mathfrak {q}}=(3,1+{\sqrt {-17}})\,$

und

${}(3,2+{\sqrt {-17}})=(3,-1+{\sqrt {-17}})=(3,1-{\sqrt {-17}})={\overline {\mathfrak {q}}}\,.$

Die Norm der beiden Ideale ist ${}3$, es sind keine Hauptideale, da ${}3$ nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist

${}(3)={\mathfrak {r}}{\overline {\mathfrak {r}}}\,.$

Die Norm von ${}{\mathfrak {r}}^{k}$ ist ${}3^{k}$, dies sind für  ${}k=1,2,3$  keine Hauptideale. Dagegen besitzt

${}{\begin{aligned}{\mathfrak {r}}^{4}&=(3,1+{\sqrt {-17}})^{4}\\&={\left(9,3+3{\sqrt {-17}},-16+2{\sqrt {-17}}\right)}^{2}\\&={\left(81,27+27{\sqrt {-17}},\right)}\end{aligned}}$

die Norm ${}81$ und es gibt auch Elemente der Norm ${}81$, beispielsweise ${}8+{\sqrt {-17}}$. Daher muss es ein Hauptideal sein.

Der Ring oberhalb von  ${}p=5$  ist

${}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+17)\right)}/(5)=\mathbb {Z} /(5)[Y]/(Y^{2}+2)\,.$

Dies ist ein Körper und ${}5$ ist träge und in der Klassengruppe trivial.

Wir wissen also, dass die Klassengruppe von den beiden Primidealen ${}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}$ erzeugt wird, mit Ordnung zwei bzw. Ordnung vier. Wir betrachten das Produkt

${}{\begin{aligned}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}^{2}&={\left(2,1+{\sqrt {-17}}\right)}{\left(3,1+{\sqrt {-17}}\right)}{\left(3,1+{\sqrt {-17}}\right)}\\&={\left(18,6+6{\sqrt {-17}},9+9{\sqrt {-17}},-32+4{\sqrt {-17}},...\right)}.\end{aligned}}$

Das Element

${}-4\cdot 18+{\left(9+9{\sqrt {-17}}\right)}-2{\left(-32+4{\sqrt {-17}}\right)}=-72+73+{\sqrt {-17}}=1+{\sqrt {-17}}\,$

gehört zu diesem Produktideal. Es besitzt die Norm ${}18$ wie das Ideal, deshalb ist es ein Hauptideal. Daher ist dieses Ideal in der Klassengruppe trivial und ${}{\mathfrak {p}}$ ist isomorph zum Quadrat von ${}{\mathfrak {q}}$. Deshalb ist die Klassengruppe isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(4)$.