Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/8/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	5	2	3	4	6	2	4	7	6	4	4	4	7	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Exponent zu einer endlichen Gruppe ${}G$.
2. Eine Fermatsche Primzahl.
3. Eine ${}R$-Algebra ${}A$, wobei ${}R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
4. Die Diskriminante zu Elementen ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ vom Grad ${}n$.
5. Ein Dedekindbereich.
6. Ein effektiver Divisor in einem Zahlbereich ${}R$.

Lösung

1. Der Exponent ${}\operatorname {exp} (G)$ von ${}G$ ist die kleinste positive Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass ${}x^{n}=1$ für alle ${}x\in G$ ist.
2. Eine Primzahl der Form ${}2^{s}+1$, wobei ${}s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
3. Eine ${}R$-Algebra ${}A$ ist ein Ring mit einem fixierten Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow A$.
4. Die Diskriminante von ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ wird durch

   ${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det(S(b_{i}b_{j})_{i,j})\,$

   definiert.

5. Einen Integritätsbereich ${}R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.
6. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe

   $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$

   die sich über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ natürliche Zahlen sind mit ${}n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Quadratcharakterisierung von ${}-1$ für Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$.
2. Der Satz von Dirichlet über die Verteilung von Primzahlen.
3. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.

Lösung

1. Es sei ${}p$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen. Für  ${}p=2$  ist  ${}-1=1$  ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(2)$. Für  ${}p=1\mod 4$  ist ${}-1$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$. Für  ${}p=3\mod 4$  ist ${}-1$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.
2. Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}a$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo ${}n$ den Rest ${}a$ haben.
3. Es sei  ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$  die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$. Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann ist die reelle Zahl

   $n^{\frac {1}{k}}$

   irrational.

Aufgabe (5 Punkte)

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichne ${}r(n)$ die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von zwei Quadratzahlen darzustellen, d.h. ${}r(n)$ ist die Anzahl der ${}2$-Tupel

$(x_{1},x_{2})\in \mathbb {Z} ^{2}{\text{ mit }}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=n.$

Beweise die Beziehung

${}r(2n)=r(n)\,.$

Lösung

Eine Lösung ${}(x_{1},x_{2})$ mit

${}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=n\,$

ordnen wir das Tupel

${}(y_{1},y_{2})=\left(x_{1}+x_{2},\,x_{1}-x_{2}\right)\,$

zu. Wegen

${}y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{1}^{2}2+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}=2n\,$

ist das eine Lösung für ${}2n$. Wenn umgekehrt ein Tupel ${}(y_{1},y_{2})$ mit

${}y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=2n\,$

gegeben ist, so sind entweder ${}y_{1},y_{2}$ beide gerade oder ungerade. In beiden Fällen ist

${}(x_{1},x_{2})=\left({\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},\,{\frac {y_{1}-y_{2}}{2}}\right)\,$

eine ganzzahliges Lösungstupel für ${}n$. Die beiden Zuordnungen sind invers zueinander. Deshalb entsprechen sich die ganzzahligen Tupel ${}(x_{1},x_{2})$ mit

${}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=n\,$

und die ganzzahligen Tupel ${}(y_{1},y_{2})$ mit

${}y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=2n\,.$

Also ist die Anzahl der Lösungstupel gleich.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}831600$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}831600&=2^{2}\cdot 5^{2}\cdot 8316\\&=2^{3}\cdot 5^{2}\cdot 4158\\&=2^{4}\cdot 5^{2}\cdot 2079\\&=2^{4}\cdot 3\cdot 5^{2}\cdot 693\\&=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 231\\&=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 77\\&=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}3146$ und ${}1515$ und man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}3146$ und ${}1515$ mittels dieser Zahlen an.

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert:

$3146=2\cdot 1515+116$

$1515=13\cdot 116+7$

$116=16\cdot 7+4$

$7=1\cdot 4+3$

$4=1\cdot 3+1.$

Die Zahlen ${}3146$ und ${}1515$ sind also teilerfremd und ${}1$ ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der ${}1$ erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also

${}{\begin{aligned}1&=4-1\cdot 3\\&=4-(7-1\cdot 4)\\&=2\cdot 4-7\\&=2(116-16\cdot 7)-7\\&=2\cdot 116-33\cdot 7\\&=2\cdot 116-33(1515-13\cdot 116)\\&=-33\cdot 1515+(2+13\cdot 33)\cdot 116\\&=-33\cdot 1515+431\cdot 116\\&=-33\cdot 1515+431(3146-2\cdot 1515)\\&=-895\cdot 1515+431\cdot 3146.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  ${}n\geq 2$.  Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im ${}n$-System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob ${}n$ eine Primzahl ist.

Lösung

Die Zahl ${}n$ ist genau dann eine Primzahl, wenn im Kleinen Einmaleins zur Basis ${}n$ keine ${}0$ als Endziffer der Tabelleneinträge auftaucht. Wenn nämlich ${}n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Zerlegung

${}n=a\cdot b\,$

mit  ${}a,b<n$.  Die Ziffern ${}a,b$ kommen also im kleinen Einmaleins vor. Das zugehörige Produkt ${}ab$ hat in dem System die Ziffernentwicklung ${}10$ und somit taucht als Endziffer die ${}0$ auf.

Wenn umgekehrt die ${}0$ im kleinen Einmaleins als Endziffer auftaucht, so bedeutet dies, dass es Ziffern  ${}1\leq i,j<n$  derart gibt, dass ${}ij$ ein Vielfaches von ${}n$ ist. Es ist also

${}ij=cn\,.$

Wenn ${}n$ prim wäre, so müsste nach dem Lemma von Euklid ${}n$ einen der Faktoren teilen, doch das geht nicht, da diese beiden kleiner als ${}n$ sind.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen ${}a$ und ${}b$ durch Induktion über das Maximum von ${}a$ und ${}b$.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über das Maximum von ${}a$ und ${}b$, wobei wir ohne Einschränkung  ${}a\leq b$  wählen können. Wenn das Maximum ${}0$ ist, so sind beide Zahlen ${}0$ und somit nicht teilerfremd. Wenn das Maximum ${}1$ ist, so ist  ${}b=1$  und somit ergeben  ${}r=0$  und  ${}s=1$  eine Darstellung der ${}1$. Es seien nun  ${}a\leq b$  teilerfremd,  ${}b\geq 2$  und die Aussage sei für alle Zahlenpaare, deren Maxima kleiner als ${}b$ sind, schon bewiesen. Dann ist  ${}a<b$,  da bei  ${}a=b$  die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind. Ebenso können wir  ${}a=0$  ausschließen. Wir betrachten das Zahlenpaar ${}(a,b-a)$ und wollen darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Das Maximum dieses neuen Paares ist jedenfalls kleiner als ${}b$. Allerdings müssen wir, damit die Induktionsvoraussetzung wirklich angewendet werden kann, wissen, dass auch ${}a$ und ${}b-a$ teilerfemd sind. Dazu führen wir einen Widerspruchsbeweis.  Nehmen wir also an, dass ${}a$ und ${}b-a$ nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine natürliche Zahl  ${}t\geq 2$,  die sowohl ${}a$ als auch ${}b-a$ teilt. Dies bedeutet wiederum, dass es natürliche Zahlen ${}m,n$ mit ${}a=mt$ und ${}b-a=nt$ gibt. Doch dann ist

${}b=(b-a)+a=nt+mt=(n+m)t\,$

ebenfalls ein Vielfaches von ${}t$, im Widerspruch zur Teilerfremdheit von ${}a$ und ${}b$.  Die Induktionsvoraussetzung ist also auf ${}a$ und ${}b-a$ anwendbar und somit gibt es ganze Zahlen ${}r,s$ mit

${}ra+s(b-a)=1\,.$

Dann ist aber auch

${}(r-s)a+sb=ra+s(b-a)=1\,$

und wir haben eine Darstellung der ${}1$ mit ${}a$ und ${}b$ gefunden.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine primitive Einheit  ${}v\in \mathbb {Z} /(5)$  und ein Urbild  ${}u\in \mathbb {Z} /(25)$  von ${}v$, das in ${}\mathbb {Z} /(25)$ nicht primitiv ist.

Lösung

Es ist  ${}2\in \mathbb {Z} /(5)$  eine primitive Einheit. Das Urbild ${}7$ davon erfüllt moduo ${}25$ die Bedingungen

${}7^{4}=7^{2}\cdot 7^{2}=49\cdot 49=(-1)\cdot (-1)=1\,.$

Seine Ordnung ist also ${}4$ und nicht ${}20$, wie das bei einer primitiven Einheit von ${}\mathbb {Z} /(25)$ sein müsste.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {2333}{3673}}\right).$

Lösung Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

$\left({\frac {2333}{3673}}\right)$	=	$\left({\frac {3673}{2333}}\right)$$2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
	=	$\left({\frac {1340}{2333}}\right)$Reduktion des Zählers.
	=	$\left({\frac {2}{2333}}\right)$ $\left({\frac {2}{2333}}\right)$ $\left({\frac {335}{2333}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
	=	$\left({\frac {2333}{335}}\right)$Vorne steht ein Quadrat. $2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
	=	$\left({\frac {323}{335}}\right)$Reduktion des Zählers.
	=	$-\left({\frac {335}{323}}\right)$$323$ und $335$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$.
	=	$-\left({\frac {12}{323}}\right)$Reduktion des Zählers.
	=	$-\left({\frac {2}{323}}\right)$ $\left({\frac {2}{323}}\right)$ $\left({\frac {3}{323}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
	=	$\left({\frac {323}{3}}\right)$Vorne steht ein Quadrat. $323$ und $3$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$.
	=	$\left({\frac {2}{3}}\right)$Reduktion des Zählers.
	=	$-1$$3=3\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $3$.

Also ist $2333$ kein Quadratrest modulo $3673$.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel mit ${}y$ gerade und mit  ${}z\neq -x$.  Zeige, dass es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen ${}(u,v)$ gibt mit  ${}v>0$  und  ${}a\in \mathbb {Z}$  und mit

$x=a(v^{2}-u^{2}),\,y=a(2uv),\,z=a(u^{2}+v^{2}).$

Lösung

Es sei ${}(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel. Der Fall  ${}z=0$  ist ausgeschlossen. Dann ist ${}\left({\frac {x}{z}},\,{\frac {y}{z}}\right)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten. Nach Satz 10.4 (Zahlentheorie (Osnabrück 2025)) gibt es, da  ${}z\neq -x$  vorausgesetzt wurde, eine eindeutig bestimmte rationale Zahl ${}t$ mit

${}\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=\left({\frac {x}{z}},\,{\frac {y}{z}}\right)\,.$

Dann gibt es eine rationale Zahl  ${}q\neq 0$  mit

$x=q(1-t^{2}),\,y=q2t,\,z=q(1+t^{2}).$

Sei  ${}t={\frac {u}{v}}$  mit ganzen teilerfremden Zahlen ${}u,v$,  ${}v>0$.  Wir ersetzen ${}q$ durch

${}{\tilde {q}}={\frac {q}{v^{2}}}\,$

und haben dann

$x={\tilde {q}}(v^{2}-u^{2}),\,y={\tilde {q}}2uv,\,z={\tilde {q}}(u^{2}+v^{2}).$

Da ${}u$ und ${}v$ teilerfremd sind, sind auch ${}u,v,v^{2}-u^{2}$ paarweise teilerfremd. Ein Primteiler des Nenners von ${}{\tilde {q}}$ teilt ${}2uv$ und ${}v^{2}-u^{2}$. Daher kommt nur ${}2$ in Frage. In diesem Fall wären aber ${}v^{2}-u^{2}$ und ${}u^{2}+v^{2}$ gerade, und ${}u$ und ${}v$ wären beide ungerade. Dann wäre aber  ${}y={\tilde {q}}2uv$  ungerade im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist ${}{\tilde {q}}$ eine ganze Zahl.

Wenn das pythagoreische Tripel primitiv ist, so muss in dieser Darstellung  ${}{\tilde {q}}=1$  oder ${}-1$ sein. Außerdem können dann ${}u$ und ${}v$ nicht beide ungerade sein, sonst wäre ${}2$ ein gemeinsamer Teiler des Tripels. Wenn umgekehrt diese Bedingungen erfüllt sind, so ist das Tripel primitiv.

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien ${}I$ und ${}J$ Ideale in einem kommutativen Ring ${}R$ und sei  ${}n\in \mathbb {N}$.  Zeige die Gleichheit

${}(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.$

Lösung

Zum Beweis der Inklusion ${}\subseteq$ sei ${}f\in (I+J)^{n}$. Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass

${}f=f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{k}\,,$

wobei

${}f_{\ell }=c_{\ell 1}\cdot c_{\ell 2}\cdots c_{\ell n}\,$

mit ${}c_{\ell r}\in I+J$ ist. Dies bedeutet wiederum, dass

${}c_{\ell r}=a_{\ell r}+b_{\ell r}\,$

mit ${}a_{\ell r}\in I$ und ${}b_{\ell r}\in J$ ist. Somit ist

${}f_{\ell }={\left(a_{\ell 1}+b_{\ell 1}\right)}{\left(a_{\ell 2}+b_{\ell 2}\right)}\cdots {\left(a_{\ell n}+b_{\ell n}\right)}\,.$

Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit ${}n$ Faktoren, wobei ${}s$ Faktoren zu ${}I$ und ${}n-s$ Faktoren zu ${}J$ gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die ${}f_{\ell }$ und auch ${}f$.

Zum Beweis der Inklusion ${}\supseteq$ genügt es, die Inklusion ${}I^{s}J^{n-s}\subseteq (I+J)^{n}$ für jedes ${}s$ zu zeigen. Wegen ${}I,J\subseteq I+J$ ist aber sofort

${}I^{s}J^{n-s}\subseteq (I+J)^{s}\cdot (I+J)^{n-s}=(I+J)^{n}\,.$

Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms  ${}F=X^{3}+X+2$  in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$.

b) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)\,$

ein Körper mit ${}25$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von  ${}F=X^{3}+X+2$  über  ${}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$. 

Lösung erstellen

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}Q(R)$ sein Quotientenkörper. Es sei  ${}R\subseteq S\subseteq Q(R)$  ein Zwischenring. Zeige, dass ${}Q(R)$ auch der Quotientenkörper von ${}S$ ist.

Lösung

Es sei ${}Q(S)$ der Quotientenkörper von ${}S$. Wegen

${}R\subseteq S\subseteq Q(S)\,$

gibt es nach Satz . (Zahlentheorie (Osnabrück 2025)) einen injektiven Ringhomomorphismus

$Q(R)\longrightarrow Q(S).$

Wir behaupten, dass dieser auch surjektiv ist. Sei  ${}q\in Q(S)$  mit der Darstellung

${}q={\frac {s}{t}}\,$

mit  ${}s,t\in S$.  Wegen  ${}S\subseteq Q(R)$  gibt es wiederum Darstellngen  ${}s={\frac {a}{b}}$  und  ${}t={\frac {c}{d}}$  mit  ${}a,b,c,d\in R$.  Es ist

${}q={\frac {s}{t}}=st^{-1}={\frac {a}{b}}\left({\frac {c}{d}}\right)^{-1}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}\,.$

Daher ist ${}q$ das Bild von ${}{\frac {ad}{bc}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Zahlbereich. Zeige, dass dann ${}R$ ein Hauptidealbereich ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.

Lösung

Siehe die entsprechende Argumentation im Beweis zu Satz 25.2 (Zahlentheorie (Osnabrück 2025)).

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei  ${}A_{-10}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-10}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-10$.  Berechne den Hauptdivisor zu

${}q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}\,.$

Lösung

Sei $R=A_{-10}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$. Wir bringen $q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}$ auf einen Hauptnenner, also

$q={\frac {10-3{\sqrt {-10}}}{15}}$ .

Der Nenner ist $15=3\cdot 5$. Die Zerlegung für diese Primzahlen ist:

Modulo $3$.

$R/(3)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)$.

Das Polynom $X^{2}+1$ hat keine Nullstelle über $\mathbb {Z} /(3)$, also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist $(3)$ ein Primideal in $R$.

Modulo $5$.

$R/(5)=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2})$.

Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {p}}=(5,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(5)={\mathfrak {p}}^{2}$ in $R$.

Für den Zähler betrachten wir die Norm, also

$(10-3{\sqrt {-10}})(10+3{\sqrt {-10}})=100-9(-10)=190=2\cdot 5\cdot 19$ .

Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren.

Modulo $2$.

$R/(2)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2})$.

Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {q}}=(2,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(2)={\mathfrak {q}}^{2}$ in $R$.

Modulo $19$.

$R/(19)=\mathbb {Z} /(19)[X]/(X^{2}+10)$.

Das Polynom $X^{2}+10$ ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen $3$ und $-3$, und die Zerlegung $X^{2}+10=(X+3)(X-3)$. Damit gibt es die beiden Primideale $(X-3)$ und $(X+3)$, die den beiden konjugierten Primidealen ${\mathfrak {m}}=(19,-3+{\sqrt {-10}})$ und ${\overline {\mathfrak {m}}}=(19,3+{\sqrt {-10}})$ entsprechen.

Damit ist

$(190)={\mathfrak {q}}^{2}{\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {m}}{\overline {\mathfrak {m}}}$ .

Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In ${\mathfrak {m}}$ kann man $19+3(-3+{\sqrt {-10}})=10+3{\sqrt {-10}}$ schreiben, sodass $10-3{\sqrt {-10}}$ zu ${\overline {\mathfrak {m}}}$ gehört, und man erhält

$(10-3{\sqrt {-10}})={\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {m}}}$.

Damit ist der Hauptdivisor gleich

$\operatorname {div} (q)={\mathfrak {q}}+{\mathfrak {p}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-2{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-{\mathfrak {p}}$ .