Kurs:Funktionalanalysis/Umgebung

Einleitung

In einem topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$ definieren die offenen Mengen den Umgebungsbegriff. Ein Umgebung $U$ um einen Punkt $x_{0}\in X$ muss selbst keine offene Menge sein, aber sie muss eine offene Menge ${\stackrel {\circ }{U}}$ enthalten, die den Punkt $x_{0}$ .

Offene Mengen als Umgebungen

Eine offene Menge ${\stackrel {\circ }{U}}\in {\mathcal {T}}$ ist automatisch eine Umgebung von jedem Punkt $x_{o}\in {\stackrel {\circ }{U}}$ . In der Abbildung enthält die Mengen $U$ teilweise Randpunkte und ist damit weder abgeschlossen noch offen (gestrichelter bzw. durchgezogener Rand). Die Menge ${\stackrel {\circ }{U}}$ ist offen und enthält damit keine Randpunkte (gestrichelter Rand).

Umgebung und Konvergenz

Mit einem Umgebungsbegriff erhält man in einem beliebigen topologischen Raum auch einen Konvergenzbegriff, den man z.B. über Netze definieren kann.

Definition - Umgebung

Sei $x_{o}\in X$ und $U\subseteq X$ eine Menge in einem topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$ , dann heißt der $U$ Umgebung von $x_{o}$ , wenn eine offene Menge ${\stackrel {\circ }{U}}\in {\mathcal {T}}$ existiert mit:

x_{o}\in {\stackrel {\circ }{U}}\subseteq U

Die Menge aller Umgebungen von $x_{o}$ bzgl. der Topologie ${\mathcal {T}}$ wird mit ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{o})$ bezeichnet. ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {U}}}_{\mathcal {T}}(x_{o})$ bezeichnet die Menge aller offenen Umgebungen von $x_{o}$ .

Quiz für Studierende

Überprüfen Sie mit einem Quiz zur Topologie Ihr Wissen zu topologischen Räumen! In dem Quiz werden die klassische euklidische Topologie und andere Topologien verglichen und die Fragen beziehen sich auch topologische Eigenschaften von Mengen.

Definition - Umgebungsbasis

Sei $x_{o}\in X$ und ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ ein Mengensystem in einem topologischen Raum $(X,{\cal {T)}}$ , dann heißt ${\mathcal {B}}$ Umgebungsbasis von $x_{o}$ , wenn gilt:

(B1) ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{o})$
(B2) zu jeder Umgebung $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{o})$ eine Umgebung $B\in {\mathcal {B}}$ mit $B\subseteq U$

Beispiel

Die Menge der offenen $\varepsilon$ -Umgebungen $(x_{o}-\varepsilon ,x_{o}+\varepsilon )\subset \mathbb {R}$ in $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ mit der vom Betrag $|\cdot |$ erzeugten euklidischen Topologie ${\mathcal {T}}_{\mathbb {R} }$ ist eine Umgebungsbasis von ${\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{\mathbb {R} }}(x_{o})$ .

Bemerkung

Die Begriff der Umgebungsbasis hilft dabei, Konvergenzaussagen nur für die Umgebungsbasis nachzuweisen und damit auch die Aussagen für beliebige Umgebungen ebenfalls zu erhalten. In der Analysis verwendet man $\varepsilon$ -Umgebungen in Definitionen ohne den topologischen Aspekt der Umgebungsbasis explizit zu thematisieren. Man hat die Aussagen streng genommen nicht für beliebige Umgebungen gezeigt hat, sondern nur für die Umgebungsbasis aus den $\varepsilon$ -Umgebungen.

Definition - Basis der Topologie

Sei ${\mathcal {B}}\subseteq \wp {(X)}$ ein Mengensystem in einem topologischen Raum $(X,{\cal {T)}}$ , dann heißt ${\mathcal {B}}_{\mathcal {T}}$ Basis von ${\mathcal {T}}$ , wenn gilt:

(BT1) ${\mathcal {B}}_{\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {T}}$
(BT2) zu jeder offenen Menge $U\in {\mathcal {T}}$ gibt es eine offene Menge $B\in {\mathcal {B}}_{\mathcal {T}}$ mit $B\subseteq U$

Beispiel

Die Menge aller offenen Intervalle $(a,b)\subset \mathbb {R}$ ist eine Basis der Topologie in dem topologischen $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ mit der vom Betrag $|\cdot |$ erzeugten euklidischen Topologie ${\mathcal {T}}_{\mathbb {R} }$ .

Bemerkung - Merkhilfe

Für die Unterscheidung der Begriffe

"Umgebungsbasis" und
"Basis der Topologie"

für einen topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$ kann man folgende Merkhilfe aus der Terminologie ableiten.

Merkhilfe - Umgebungsbasis

Der Begriff "Umgebungsbasis" enthält den Begriff "Umgebung". Damit ist die Umgebungsbasis eine Teilmenge aller Umgebungen ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{o})$ von einem Punkt $x_{o}\in X$ .

Merkhilfe - Basis der Topologie

Der Begriff der "Basis der Topologie" bezieht auf die "Topologie" ${\mathcal {T}}$ - also auf das System aller offenen Menge in dem Raum $X$ .

Siehe auch

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