Kurs:Funktionentheorie/8/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 7 }
\renewcommand{\asechs}{ 8 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {obere Halbebene} {} in ${\mathbb C}$.
}{Der
\stichwort {Konvergenzradius} {}
einer komplexen Potenzreihe
\mathdisp {\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n} { . }
}{Ein \stichwort {lokaler} {} Ring.
}{Eine
\stichwort {holomorphe Differentialform} {}
auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {äußere Ableitung} {}
einer differenzierbaren $W$-wertigen Differentialform auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
bezeichnen.
}{Ein \stichwort {einfach zusammenhängender} {} topologischer Raum $X$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung} {.}}{Das \stichwort {Lemma von Goursat} {} \zusatzklammer {Quadratversion} {} {.}}{Der Satz über die Offenheit von holomorphen Funktionen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (0.5+1+0.5)}
{
\aufzaehlungdreiabc{Berechne
\mathdisp {(4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})} { . }
}{Bestimme das inverse Element
\mathl{z^{-1}}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { 3+4 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (3+2)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { z^2+z+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass $f$ auf dem offenen Ball
\mathl{U { \left( 0 , { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }}{}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
} {Zeige, dass $f$ auf dem abgeschlossenen Ball
\mathl{B \left( 0 , { \frac{ 1 }{ 2 } } \right)}{} injektiv ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0)
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ K ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+2+2+1)}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { ydx+zdy +xdz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^3$ und die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^3
} { \left( u , \, v \right) } { \left( u^2 , \, v^2 , \, uv \right)
} {.}
\aufzaehlungvier{Berechne die äußere Ableitung von $\omega$.
}{Berechne den Rückzug $\varphi^* \omega$ von $\omega$ unter $\varphi$.
}{Berechne die äußere Ableitung von $\varphi^* \omega$ auf $\R^2$.
}{Berechne den Rückzug $\varphi^* d \omega$ von $d\omega$ unter $\varphi$ unabhängig von (3).
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Maxima von
\mathl{\betrag { z-1 }}{} auf
\mathl{B \left( 0 ,1 \right)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {lokalen Exponenten}{}{}
von
\maabbeledisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { z } { z^3+4z^2 -5
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz von Casorati-Weierstrass.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
Es sei
\maabbdisp {h} {\R } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}
wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ \defeq} { \exp \circ h \circ \ln
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f (x)
}
{ \defeq} { \exp \left( h { \left( \ln x \right) } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $\R_+$.
\aufzaehlungzwei {Bestimme für die lineare Funktion
\zusatzklammer {mit dem Proportionalitätsfaktor $c$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(t)
}
{ =} { ct
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige Funktion
\mathl{f(x)}{.}
} {Es sei nun $h$ eine beliebige
\definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$ die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f \left( \frac{ 1 }{ x } \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f(x) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
im Nullpunkt von
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\sin \left( { \frac{ 1 }{ z } } \right)}{,}
} {
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sin z } }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass es
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{}
Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die nicht zur abgeschlossenen Kreisscheibe
\mathl{B \left( 0 ,1 \right)}{}
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \Gamma ( U , {\mathcal O} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge von
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
auf $U$, die
\definitionsverweis {lokal beschränkt}{}{}
sei. Zeige, dass dann jede Folge in $T$ eine
\definitionsverweis {kompakt konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
besitzt.
}
{} {}