Kurs:Funktionentheorie/Abelsches Lemma

Abelsches Lemma

Sei $p(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}$ eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $z_{0}\in \mathbb {C}$ , die für eine komplexe Zahl $z_{1}\in \mathbb {C}$ absolut konvergiert mit $r:=|z_{1}-z_{0}|>0$ , dann konvergiert die Reihe auch absolute für alle $z$ mit $|z-z_{0}|<r=|z_{1}-z_{0}|$ .

Beweis:

Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte:

Betrachtung des Konvergenzradius
Abschätzung gegen eine geometrische Reihe.

Schritt 1: Definition des Konvergenzradius

Nach der Cauchy-Hadamard-Formel ist der Konvergenzradius $R$ der Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ gegeben durch:

$R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}$

Schritt 2: Anwendung der absoluten Konvergenz

Da die Reihe absolut für $z=z_{1}$ konvergiert, gilt:

$\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}|=\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|\cdot |z_{1}-z_{0}|^{n}<\infty$

Schritt 3: Konvergenzbedingung für beliebige $z$

Für ein beliebiges $z$ mit $|z-z_{0}|<|z_{1}-z_{0}|=r$ betrachtet man:

|a_{n}(z-z_{0})^{n}|=|a_{n}|\cdot |z-z_{0}|^{n}

Da $|z-z_{0}|<|z_{1}-z_{0}|$ , gilt $|z-z_{0}|^{n}<|z_{1}-z_{0}|^{n}\quad {\text{für alle }}n\in \mathbb {N}$ und man erhält:

|a_{n}(z-z_{0})^{n}|=|a_{n}|\cdot |z-z_{0}|^{n}<|a_{n}|\cdot |z_{1}-z_{0}|^{n}

Schritt 4: Vergleichsverfahren

Mit der Abschätzung der Summanden der Reihe nach oben kann man mit dem Majorantenkriterium die absolute Konvergenz der Reihe für $z\in D_{r}(z_{0})$ nachweisen, denn es gilt mit $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}||z_{1}-z_{0}|^{n}<\infty$ (absolute Konvergenz für $z_{1}$ ), können wir das Vergleichskriterium anwenden:

$\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}(z-z_{0})^{n}|=\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}||z-z_{0}|^{n}<\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}||z_{1}-z_{0}|^{n}<\infty$

Schritt 5: Schlussfolgerung

Da die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}(z-z_{0})^{n}|$ konvergiert, konvergiert die ursprüngliche Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ absolut.