Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke

Einleitung

In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der Definition der Flächenintegrale erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe.

Approximationssatz für Dreiecke

Ein beliebiges Dreieck $\Delta :=\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ lässt sich durch $n$ eingeschriebene achsenparallele Rechtecke $R_{(n,k)}\subset \Delta$ mit $k\in \{1,\ldots ,n\}$ beliebig genau approximieren, d.h. es gilt:

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\iint _{\gamma _{_{R_{(n,k)}}}}f(z)\,d^{2}\!z

Bemerkung - Approximationslemma

In dem Beweis des Satzes wird zunächst das Integral über die orientierte Fläche über eine Wegintegral $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ bzgl. einer lokale Stammfunktion $F$ der holomorphen Funktion $f$ auf konvexen Gebieten ausgedrückt. Die Aussage gilt dann für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen Katheten in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dabei wird im Beweis das Doppelte des orientierten Flächeninhalt des Dreiecks durch den doppelten Flächeninhalt der eingeschriebenen Rechtecke $R_{(n,k)}$ und einem Rest von Wegintegralen ausgedrückt, der dann in einem Grenzwertübergang die Approximationsaussage wachsender Feinheit $n$ der Zerlegung darstellt.

Bemerkung - Untersummen beim Riemannintegral

Diese Grundidee ist analog zur Approximation eines Riemannintegrals in der Oberstufe durch Untersummen in der reellen Analysis.

Approximationssatz - beliebige Dreiecke

Das Approximationslemma wird hier für achsenparallel rechtwinklige Dreieck geführt. Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck durch Subtraktion und Addition von mehrere achsenparalle rechtwickligen Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann der Approximationssatz angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden.

Veranschaulichung - Dreieckszerlegung

Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt.

Nullmengen - additive Zerlegung

Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf ${\mathcal {B}}(\mathbb {C} )$ und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der $\sigma$ -Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein.

Approximationslemma für Dreiecke

Ein rechtwickliges Dreieck $\Delta :=\Delta (z_{3},z_{2},z_{1})$ mit achsenparallelen Katheten in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke $R_{(n,k)}\subset \Delta$ mit $k\in \{1,\ldots ,n\}$ beliebig genau approximieren:

\iint _{\Delta }f(z)\,d^{2}\!z=F_{_{\Box }}(z_{1})-F_{_{\Box }}(z_{2})=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\iint _{R_{(n,k)}}f(z)\,d^{2}\!z

Beweisidee - Approximationslemma

Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:

das Randwegintegral bzgl. $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ in Teilwege zerlegt,
die Fläche des Dreiecks $\Delta$ wird durch eingeschriebene Rechtecke $R_{(n,k)}$ approximiert und
die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit Flächenintegralsatz für Dreiecke die orientierte Fläche des Dreiecks dar.

Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke

Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über $f$ ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion $F$ von $f$ .

Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke

Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke $R_{(n,k)}:=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem Lemma für Rechteckintegrale wie folgt über die Flächenstammfunktion $F_{\Box }(z)$ berechnet werden:

\iint _{R_{(n,k)}}\!\!\!f\,dz=F_{\Box }{\big (}z_{(4,n,k)}{\big )}-F_{\Box }{\big (}z_{(3,n,k)}{\big )}-F_{\Box }{\big (}z_{(2,n,k)}{\big )}+F_{\Box }{\big (}z_{(1,n,k)}{\big )}

Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche

In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke $R_{(n,1)}$ und $R_{(n,2)}$ eingezeichnet. Mit wachsendem $n$ wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck $\Delta$ .

Approximation der Dreiecksfläche

Um den komplexen Flächenintegrale von $f$ über eine Dreiecksfläche $\Delta$ berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen $R_{(n,k)}$ durch eine Summe von Integralen ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\int _{R_{(n,k)}}f(z)\,dz}$ ausgedrückt. Die natürliche Zahl $n$ gibt dabei die Zerlegung der Diagonale in $n$ Teilstrecken an. Insgesamt ist das Flächenintegrale von $f$ über die orientierte Fläche $\gamma _{_{\Delta }}$ erhält man wie folgt:

\int _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\int _{R_{(n,k)}}f(z)\,dz

Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke $R_{(n,k)}$ über Konvexkombinationen definiert.

Beweis - Approximationslemma für Dreiecke

Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke $R_{(n,k)}$ über Konvexkombinationen. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über $\Delta$ berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. $\Delta$ durch eine Summe von Integralen ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\int _{R_{(n,k)}}f(z)\,dz}$ :

\int _{\Delta }f(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\int _{R_{(n,k)}}f(z)\,dz

Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke $R_{(n,k)}$ werden dafür zunächst definiert.

Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck

Die Diagonale zwischen $z_{2}$ und $z_{3}$ im Rechteck wird in $n$ Punkte über Konvexkombinationen zerlegt. Für diese Punkte $d_{k}$ mit $k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ gilt:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle z_{(4,n,0)}&=&z_{2}\quad \quad z_{(4,n,n)}\,\,=\,\,z_{3}\\z_{(4,n,k)}&=&(1-{\frac {k}{n}})\cdot z_{2}+{\frac {k}{n}}\cdot z_{3}\\\end{array}}

Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks

Die vertikale Seite zwischen $z_{1}$ und $z_{2}$ im Rechteck wird ebenfalls in $n$ Punkte über Konvexkombinationen zerlegt. Für diese Punkte $z_{(1,n,k)}$ mit $k\in \{1,\ldots ,n\}$ gilt:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle z_{(1,n,1)}&=&z_{1}\quad \quad z_{(1,n,n+1)}\,\,=\,\,z_{3}\\z_{(1,n,k)}&=&(1-{\frac {k-1}{n}})\cdot z_{1}+{\frac {k-1}{n}}\cdot z_{3}\\\end{array}}

Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke $R_{(n,k)}$ als linke untere Ecke $z_{(1,n,k)}$ korrekt indiziert wird.

Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation

Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung

Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen $R_{(n,k)}$ benötigt man noch die obere link Ecke $z_{(3,n,k)}$ . Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte $z_{(3,n,k)}$ vergeben. Für diese Punkte $z_{(1,n,k)}$ mit $k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ gilt:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle z_{(3,n,0)}&=&z_{1}\quad \quad z_{(3,n,n)}\,\,=\,\,z_{3}\\z_{(3,n,k)}&=&(1-{\frac {k}{n}})\cdot z_{1}+{\frac {k}{n}}\cdot z_{3}\\\end{array}}

Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation

Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke

Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte $z_{(2,n,k)}$ mit $k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ als rechte untere Ecke des Rechtecks $R_{(n,k)}$ berechnet. Die Differenz $z_{(4,n,k)}-z_{(3,n,k)}$ liefert als Realteil die Breite des Rechtecks $R_{(n,k)}$ man erhält für $k\in \{1,\ldots ,n-1\}$ :

{\begin{array}{lcl}\displaystyle z_{(2,n,k)}&=&z_{(1,n,k)}+z_{(4,n,k)}-z_{(3,n,k)}\\z_{(2,n,n)}&=&z_{(1,n,n)}\\\end{array}}

Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte

Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks

Damit bilden $z_{(1,n,k)},z_{(2,n,k)},z_{(3,n,k)}$ und $z_{(2,n,k)}$ die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks $R_{(n,k)}$ bei einer Zerlegung der Feinheit $n\in \mathbb {N}$ . Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0.

Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche

Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung $n\to \infty$ und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. $R_{(n,k)}$ zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben:

\iint _{\Delta }f(z)\,d^{2}\!z=2\cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\iint _{R_{(n,k)}}\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z

Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der orientierten Fläche für das Dreieck $\Delta$ .

Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke

Mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke mit Korollar 3erhält man für $\Delta =\Delta (z_{3},z_{2},z_{1})$ folgende Integraldarstellung über eine lokale Stammfunktion $F$ von $f$ :

\iint _{\Delta }f(z)\,d^{2}\!z=\underbrace {\int _{\langle z_{2},z_{3}\rangle }F(z)\,dz+\int _{\langle z_{3},z_{1}\rangle }F(z)\,dz} _{=\int _{\langle z_{2},z_{1}\rangle }F(z)\,dz}

Der Integrationweg $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ wird nun als Integrationsweg unterteilt und in $n$ Teilwege als Kette zerlegt.

Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n

Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen

Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ als Summe von $n$ Wegintegralen dar:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\Delta }f(z)\,d^{2}\!z-\int _{\langle z_{3},z_{1}\rangle }\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz&=&\displaystyle \int _{\langle z_{2},z_{3}\rangle }\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz\\&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\,\,\,\,{\underset {\left\langle z_{(4,n,k)},z_{(4,n,k-1)}\right\rangle }{\int }}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz\\\end{array}}

Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke

Durch die Zerlegung des Wegintegrals $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ in Teilwege $\langle z_{(4,n,k)},z_{(4,n,k+1)}\rangle$ kann man diese Zerlegung mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke als Summe der orientierten Flächenintegrale von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem Satz jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) Wegintegrale über eine Stammfunktion $F$ von $f$ darstellen.

Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n

Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung

Der Flächenintegralsatz für Dreiecke liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von $n$ grünen Teildreiecken $\Delta (z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})$ mit $k\in \{1,\ldots ,n\}$ :

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\langle z_{2},z_{3}\rangle }\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\,\,\,\,{\underset {\left\langle z_{(4,n,k)},z_{(4,n,k-1)}\right\rangle }{\int }}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz\\&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\,\left({\underset {\left\langle z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k)}\right\rangle }{\int }}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz\,\,\,\,\,\,-\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\underset {\left\langle z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)}\right\rangle }{\int }}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz\right)\\\end{array}}

Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen

Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck $\Delta$ nicht. Für $k\in \{0,\ldots ,n-1\}$ werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt:

{\begin{array}{rcl}0&=&\displaystyle {\underset {\left\langle z_{(1,n,k+1)},z_{(4,n,k)}\right\rangle }{\int }}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz\,\,\,\,\,\,+\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\underset {\left\langle z_{(4,n,k)},z_{(1,n,k+1)}\right\rangle }{\int }}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz\\\end{array}}

Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über $\left\langle z_{(4,n,k)},z_{(1,n,k+1)}\right\rangle$ und dem kurzen rot markierten Weg $\left\langle z_{(2,n,k+1)},z_{(4,n,k)}\right\rangle =-\left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)}\right\rangle$ .

Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale

Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke

Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg $\left\langle z_{1},z_{2}\right\rangle$ , der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss.

Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke

Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit $\left\langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)}\right\rangle =-\left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)}\right\rangle$ einfügen, von denen der Weg $\left\langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)}\right\rangle$ für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über $\left\langle z_{(1,n,n)},z_{3}\right\rangle$ und $-2\cdot \left\langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)}\right\rangle$ als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden.

Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen

Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit $\left\langle z_{1},z_{3}\right\rangle =-\left\langle z_{3},z_{1}\right\rangle$ ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral $\left\langle z_{3},z_{1}\right\rangle$ in Wegintegrale $\left\langle z_{(1,n,k)},z_{(1,n,k-1)}\right\rangle$ erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über $\left\langle z_{1},z_{3}\right\rangle$ und ein ungenutzter Teilweg $\left\langle z_{3},z_{(1,n,n)}\right\rangle$ , der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg $\left\langle z_{(1,n,n)},z_{3}\right\rangle$ aus Beweisschritt 7.3.

Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck

Insgesamt kann man nun das Wegintegral über $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über $R_{(n,k)}$ , ungenutzten Wegintegralen $\langle z_{1},z_{3}\rangle$ , $\langle z_{1},z_{2}\rangle$ und $-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)}\rangle$ darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem Darstellungslemma für Rechteckintergrale in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst.

Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale

Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke

In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor $-2$ bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0.

{\begin{array}{rcl}\displaystyle {\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\quad \int \quad }}\!\!\!\!F(z)\,dz&=&\displaystyle {\underset {\left\langle z_{1},z_{2}\right\rangle }{\int }}\!\!F(z)\,dz+{\underset {\left\langle z_{1},z_{3}\right\rangle }{\int }}\!\!F(z)\,dz-\,\,\,\,\,\,\,2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\underset {\left\langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)}\right\rangle }{\int }}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz\\&&\quad \displaystyle +2\cdot \sum \limits _{k=1}^{n-1}\,\,\,\,{\underset {\gamma _{_{R_{(n,k)}}}}{\iint }}f(z)\,d^{2}\!z\\\end{array}}

Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral

In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen.

Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke

Nach dem Darstellungslemma für Rechteckintergrale wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ über die Stammfunktion $F$ von $f$ dargestellt werden kann (siehe Darstellungslemma für Dreiecksintegrale).

Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke

Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke $R_{(n,k)}$ an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der Flächenstammfunktion $F_{_{\Box }}$ mit dem Lemma für Rechteckintegrale:

\iint _{R_{(n,k)}}\!\!\!f\,d^{2}\!z=F_{\Box }{\big (}z_{(4,n,k)}{\big )}-F_{\Box }{\big (}z_{(3,n,k)}{\big )}-F_{\Box }{\big (}z_{(2,n,k)}{\big )}+F_{\Box }{\big (}z_{(1,n,k)}{\big )}

Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks

In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ , $\langle z_{1},z_{2}\rangle$ und $\langle z_{3},z_{1}\rangle$ . Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege $\langle z_{1},z_{2}\rangle =-\langle z_{2},z_{1}\rangle$ und $\langle z_{3},z_{1}\rangle =-\langle z_{1},z_{3}\rangle$ erhält die folgende Summe der Wegintegrale:

{\underset {\left\langle z_{2},z_{3}\right\rangle }{\quad \int \quad }}\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz+\!\!\!\!\!\!\underbrace {{\underset {\left\langle z_{2},z_{1}\right\rangle }{\int }}\!\!F(z)\,dz+\!\!\!\!\!\!{\underset {\left\langle z_{1},z_{3}\right\rangle }{\int }}\!\!F(z)\,dz} _{={\underset {\left\langle z_{2},z_{3}\right\rangle }{\int }}\!\!F(z)\,dz}=2\cdot \!\!\!\!\!\!\!{\underset {\left\langle z_{2},z_{3}\right\rangle }{\quad \int \quad }}\!\!F(z)\,dz

Beweisschritt 8.4 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks

Wenn man die Darstellung aus 8.3 auf die Gleichung in 7.7 anwendet, erhält man:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \underbrace {2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\quad \int \quad }}\!\!\!\!F(z)\,dz} _{=2\cdot \iint _{\gamma _{_{\Delta }}}\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z}&=&\displaystyle -2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace {{\underset {\left\langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)}\right\rangle }{\int }}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz} _{{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}0}+2\cdot \sum \limits _{k=1}^{n-1}\,\,\,\,{\underset {\gamma _{_{R_{(n,k)}}}}{\iint }}f(z)\,d^{2}\!z\\\end{array}}

Beweisschritt 8.5 - Rechteckintegral als Wegintegrale

Nach dem Darstellungslemma für Rechteckintegrale finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke $R_{(n,k)}$ jeweils 2x die Rechteckintegrale über die orientierte Fläche, denn es gilt mit Umbenennung der Punkte:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{R_{(n,k)}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle {\underset {\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle }{\int }}F(z)\,dz-{\underset {\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle }{\int }}F(z)\,dz\\&=&\displaystyle {\underset {\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle }{\int }}F(z)\,dz-{\underset {\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle }{\int }}F(z)\,dz\\\end{array}}

Beweisschritt 9 - Integraldarstellung

Insgesamt erhält man mit den obigen Beweisschritten sogar eine exakte Integraldarstellung über $n-1$ Rechteckintegrale bzgl. $R_{(n,k)}$ und eine Rest von Wegintegralen, der bei einem Grenzwertübergang von $n\to \infty$ verschwindet und man die Approximationsaussage der Behauptung erhält:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\Delta }f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \int _{\langle z_{2},z_{3}\rangle }\!\!\!\!\!\!F(z)\,dz\\&=&\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\iint _{R_{(n,k)}}\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z\\\end{array}}

$q.e.d$

Aufgabe - Parallelogramme - Approximationssatz

Analysieren Sie die Beweisschritte im Approximationssatz. Verallgemeinern Sie die obige Aussage durch eine Approximation eine beliebigen Dreiecks durch eine Summe von orientierten Flächenintegralen über Parallelogramme, dessen Integral sich als orientierte Fläche analog zu Recheckintegralen darstellen lässt.

Siehe auch

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