Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz

Einleitung

Der Cauchy-Integralsatz (nach Augustin Louis Cauchy) ist ein zentraler Satz der Funktionentheorie. Er handelt von Wegintegralen für holomorphe (auf einer offenen Menge komplex-differenzierbare) Funktionen. Im Kern besagt dieser Satz für konvexe Gebiete, dass das Wegintegral zwischen zwei Punkten unabhängig von dem gewählten Wege ist.

Cauchy-Integralsatz (CIS) - Cauchy-Integralformel (CIF)

Der Cauchy-Integralsatz (CIS) hat eine besondere Bedeutung, da man mit dem CIS die Cauchy-Integralformel und den Residuensatz beweisen kann.

Holomorphiekriterium

Die Eigenschaft, dass $\oint \limits _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0$ für beliebige geschlossene Wege in einem konvexen bzw. einfach zusammenhängenden Gebiet gilt, ist einerseits nach dem CIS eine Eigenschaft von holomorphen Funktionen $f:G\to \mathbb {C}$ und andererseits ist bei Gültigkeit der Eigenschaft die Funktion $f$ holomorph. Damit wird $\oint \limits _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0$ auf konvexen bzw. allgemeiner einfach zusammenhängenden Gebieten ein Holomorphiekriterium.

Bemerkung - Holomorphiekriterium

Mit der Eigenschaft $\oint \limits _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0$ für beliebige geschlossene Wege in dem Gebiet $G$ besitzt $f$ eine Stammfunktion $F$ mit $F'=f$ . Damit ist $F$ und auch jede höhere Ableitung holomorph, da holomorphe Funktionen mit der Cauchy-Integralformel beliebig oft differenzierbar sind. Damit ist auch $f$ holomorph.

Geschichte

Die erste Formulierung des Satzes stammt von 1814, als Cauchy ihn für rechteckige Gebiete bewies. Dies verallgemeinerte er in den nächsten Jahren, allerdings setzte er dabei den jordanschen Kurvensatz als selbstverständlich voraus. Moderne Beweise kommen durch das Lemma von Goursat ohne diese tiefgreifende Aussage aus der Topologie aus.

Formulierungen des Satzes

Der Integralsatz wurde in zahlreichen Versionen formuliert.

(CIS-KG) für konvexe Gebiete
(CIS-SG) für sternförmige Gebiete
(CIS-EZ) für einfach zusammenhängende Gebiete
(CIS-HW) für holomologe Wege

Implikationen

Es gilt die Implikationskette

{\mbox{(CIS-HW)}}\Longrightarrow {\mbox{(CIS-EZ)}}\Longrightarrow {\mbox{(CIS-SG)}}\Longrightarrow {\mbox{(CIS-KG)}}

Die Eigenschaft (CIS-HW) gilt auch in nicht einfach zusammenhängenden Gebieten für homologe Wege. Die anderen Implikationen ergeben sich aus der Beziehung, dass konvexes Gebiet ein sternförmiges Gebiet ist und jedes sternförmige Gebiet einfach zusammenhängend ist.

Cauchyscher Integralsatz für konvexe Gebiete

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein konvexes Gebiet und $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, dann gilt

\oint \limits _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0

für jeden geschlossene Weg $\gamma \colon [a,b]\to G$ (wobei $a,b\in \mathbb {R}$ und $a<b$ ).

Notation

Für das Integralzeichen mit Kreis siehe Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven.

1/z auf Gebiet mit Loch

Die Bedingung, dass $G$ ein Elementargebiet ist, ist eine notwendige Bedingung für die Gültigkeit des Satzes. Für $G=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ hat $G$ in 0 ein Loch und ist damit kein Elementargebiet. Für diesen Fall ist die Aussage falsch, denn für $f(z)={\frac {1}{z}}$ ist $f$ auf dem Gebiet $G=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ holomorph, dennoch verschwindet $\textstyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz$ nicht über jeden geschlossene Integrationsweg:

\;\oint \limits _{\partial U_{r}(0)}{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\gamma (t)}}\cdot \gamma {\,}'(t)\,dt=2\pi \mathrm {i} \neq 0

für $\gamma (t)=r\cdot e^{it}$ und $\gamma {\,}'(t)=i\cdot r\cdot e^{it}$ die einfach durchlaufene Randkurve einer Kreisscheibe um $0$ mit positivem Radius $r$ .

Cauchyscher Integralsatz (Homotopie-Version)

Ist $U\subseteq {C}$ offen und sind $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [0,1]\to U$ zwei zueinander homologe Wege in $U$ , dann ist

\int \limits _{\gamma _{1}}f(z)\,dz=\int \limits _{\gamma _{2}}f(z)\,dz

für jede holomorphe Funktion $f\colon U\to {C}$ .

Homologie-Version CIS-HW

$G=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ist kein einfach zusammenhängendes Gebiet, dennoch gilt für zwei holomologe Wege, dass diese das gleiche Integral liefern. Die folgende Aufgabe definiert zwei homologe Wege $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ in einem $G=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ .

Aufgabe - CIS-HW

Untersuchen Sie die beiden Wege $\gamma _{1}$ bzw. $\gamma _{2}$ , skizzieren Sie die Spur der Wege und berechnen Sie das Wegintegral über $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ :

{\begin{array}{rrcl}\gamma _{1}:&\left[0,1\right]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma _{1}(t)=e^{i\cdot {\frac {\pi }{2}}\cdot t}\end{array}}

und die Konvexkombination zwischen $z_{1}=1$ und $z_{2}=i$

{\begin{array}{rrcl}\gamma _{2}:&\left[0,1\right]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma _{1}(t)=(1-t)\cdot 1+t\cdot i\end{array}}

Bemerkung - Homotopieversion CIS-HW

Ist $G$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, dann verschwindet das Integral nach der Homotopie-Version für jede geschlossene Kurve, d. h. $D$ ist ein Elementargebiet.

Bei erneuter Betrachtung des obigen Beispiels bemerkt man, dass ${C}\setminus \{0\}$ nicht einfach zusammenhängend ist.

Cauchyscher Integralsatz (Homologie-Version)

Ist $D\subseteq {C}$ ein Gebiet und $\Gamma$ ein Zyklus in $D$ , dann verschwindet

\int \limits _{\Gamma }f(z)\,dz

genau dann für jede holomorphe Funktion $f\colon D\to {C}$ , wenn $\Gamma$ nullhomolog in $D$ ist.

CIS für einfach zusammenhängende Gebiete

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein einfach zusammenhängend und $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, dann gilt

\oint \limits _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0

für jeden geschlossene Weg $\gamma \colon [a,b]\to G$ (wobei $a,b\in \mathbb {R}$ und $a<b$ ).

Isolierte Singularitäten

Bei der Betrachtung des Residuensatzes wird deutlich, warum die Eigenschaft "nullhomolog" für Zyklus bedeutsam für die Gültigkeit vom Cauchy-Integralsatz ist, denn wenn der Zykus eine Teilmenge aus Komplement des Gebietes $G$ umrundet, kann in diesem Gebiet eine isolierte Singularität liegen, die einen Betrag zum Wegintegral liefert und damit das Integral aus dem CIS nicht mehr 0 ist.

Folgerungen

Der Cauchysche Integralsatz ermöglicht unmittelbar Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra, welcher besagt, dass jedes komplexe Polynom über $\mathbb {C}$ in Linearfaktoren zerfällt, d. h., dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.

Literatur

Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 143, Satz 4.7.3
Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 57, Kapitel 3, Satz 1.4 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).
Günter Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage, 1. korrigierter Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München u. a. 2009, ISBN 978-3-8274-1688-9.
Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6.

Siehe auch

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