Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen

Einführung

Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion $f$ in Abhängigkeit von den Werten der Funktion $|f|$ auf einem Kreisrand. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch innere Punkte der betrachteten Kreisschreibe gegen eine Term in Abhängigkeit Werte von $|f|$ auf einem Kreisrand abschätzen.

Cauchy-Ungleichung

Sei $f$ eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$, und sei ${\overline {D_{r}(z_{0})}}\subseteq G$ ein abgeschlossener Kreis mit Radius $r$ und Mittelpunkt $z_{0}$. Dann gilt für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$:

$|f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\max _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|$

Beweis der Cauchy-Ungleichung

Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte

• Anwendung der Cauchy-Integralformel
• Abschätzung des Integrals
• Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral
• Schlussfolgerung

Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:

Die Cauchy-Integralformel besagt, dass es für eine holomorphe Funktion $f$ mit einen Punkt $z_{0}\in G$ auf einer offenen Kreischeibe $D_{r}(z_{o})$ innerhalb eines Gebiets $G$ die $n$-te Ableitung für ${\widetilde {z}}\in D_{r}(z_{o})$ die folgende Darstellung besitzt:

$f^{(n)}({\widehat {z}})={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-{\widehat {z}})^{n+1}}}\,dz$

wobei $\int _{|z-z_{0}|=r}$ das Integral über den Kreis mit Radius $r$ und Mittelpunkt $z_{0}$ bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt $z_{0}$ der Kreisscheibe ${\widehat {z}}:=z_{0}\in D_{r}(z_{o})$.

Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals

Betrachte den Betrag der $n$-ten Ableitung:

$|f^{(n)}(z_{0})|=\left|{\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}\,dz\right|$

Durch Anwendung der Standabschätzung des Integrals für den Betrag der $f$ auf dem Kreis $|z-z_{0}|=r$ erhält man:

$|f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}\left|{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}\right|\,dz$

Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral

Da $f$ eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere $|f|$ eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer kompakten Menge (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei $M:=\max _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|$. Dann gilt mit den Abschätzungen für Wegintegrale für $\gamma (t):=z_{0}+r\cdot e^{it}$:

${\begin{array}{rcl}|f^{(n)}(z_{0})|&\leq &\displaystyle {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {|f(z)|}{{\underbrace {|z-z_{0}|} _{=r}}^{n+1}}}\,dz\\&\leq &\displaystyle {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {M}{r^{n+1}}}\,dz={\frac {n!}{2\pi }}\cdot {\frac {M}{r^{n+1}}}\int _{|z-z_{0}|=r}1\,dz\\&\leq &{\frac {n!}{2\pi }}\cdot {\frac {M}{r^{n+1}}}\cdot {\mathcal {L}}(\gamma )={\frac {n!}{2\pi }}\cdot {\frac {M}{r^{n+1}}}\cdot 2\pi r={\frac {n!}{r^{n}}}\cdot M\end{array}}$

Beweischritt 4 - Schlussfolgerung

Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius $r$ und Maximum der Funktion $|f|$ auf dem Kreisrand abhängt:

$|f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\max _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|$

Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung.

Aufgabe - Erweiterung

In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für ${\widehat {z}}\in D_{r-\delta }(z_{0})$ erweitert werden. Als zusätzlich zur Bedingung wird also verlangt, dass $z$ mindestens den Abstand $\delta >0$ von Punkten auf dem Kreisrand besitzt, d.h. $|{\widehat {z}}-z_{0}|\leq r-\delta$ bzw. für $|w-z_{0}|=r$ gilt dann $|w-{\widehat {z}}|\leq \delta$. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage:

$|f^{(n)}({\widehat {z}})|\leq {\frac {n!\cdot r}{\delta ^{n+1}}}\cdot \max _{|\xi -z_{0}|=r}|f(\xi )|$

Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung.

Beweis - Erweiterung -Cauchy-Ungleichung

Stellen den Beweis in den Übungen vor und nennen Sie für den folgenden Beweis die Beweisidee gegliedert in die folgenden Teilschritte

• (E1) Anwendung der Cauchy-Integralformel
• (E2) Abschätzung des Integrals
• (E3) Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral
• (E4) Schlussfolgerung

Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:

Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die Cauchy-Integralformel, mit der für eine holomorphe Funktion $f$ mit einen Punkt $z_{0}\in G$ auf einer offenen Kreischeibe $D_{r}(z_{o})$ innerhalb eines Gebiets $G$ die $n$-te Ableitung für ${\widehat {z}}\in D_{r}(z_{o})$ die folgende Darstellung besitzt:

$f^{(n)}({\widehat {z}})={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-{\widehat {z}})^{n+1}}}\,dz$

wobei $\int _{|z-z_{0}|=r}$ das Integral über den Kreis mit Radius $r$ und Mittelpunkt $z_{0}$ bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für ${\widehat {z}}:=z_{0}\in D_{r}(z_{o})$.

Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals

Mit der Standardabschätzung für den Betrag im Integranden (UG-BI) gilt für die $n$-te Ableitung auf dem Kreis $|z-z_{0}|=r$:

$|f^{(n)}({\widehat {z}})|\leq {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}\left|{\frac {f(z)}{(z-{\widehat {z}})^{n+1}}}\right|\,dz$

Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral

Da $f$ eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere $|f|$ eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer kompakten Menge (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei $M:=\max _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|$. Dann gilt mit den Abschätzungen für Wegintegrale für $\gamma (t):=z_{0}+r\cdot e^{it}$:

${\begin{array}{rcl}|f^{(n)}({\widehat {z}})|&\leq &\displaystyle {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {|f(z)|}{{\underbrace {|z-{\widehat {z}}|} _{\geq \delta }}^{n+1}}}\,dz\\&\leq &\displaystyle {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {M}{\delta ^{n+1}}}\,dz={\frac {n!}{2\pi }}\cdot {\frac {M}{\delta ^{n+1}}}\int _{|z-z_{0}|=r}1\,dz\\&\leq &{\frac {n!}{2\pi }}\cdot {\frac {M}{\delta ^{n+1}}}\cdot {\mathcal {L}}(\gamma )={\frac {n!}{2\pi }}\cdot {\frac {M}{\delta ^{n+1}}}\cdot 2\pi r={\frac {n!}{\delta ^{n+1}}}\cdot r\cdot M\end{array}}$

Beweischritt 4 - Schlussfolgerung

Damit haben wir für ${\widehat {z}}\in D_{r-\delta }(z_{o})$ gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius $r$, dem minimalen Abstand $\delta$ vom Kreisrand und dem Maximum der Funktion $|f|$ auf dem Kreisrand abhängt:

$|f^{(n)}(z)|\leq {\frac {n!}{\delta ^{n+1}}}\cdot r\cdot \max _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|$

Dies liefert die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung.

Bemerkung - Anwendung der Ungleichung

Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für Taylorreihen auf abgeschlossenen Kreisschreiben $D_{r}(z_{0})$ mit Entwicklungspunkt $z_{o}\in \mathbb {C}$.

Siehe auch

• Ungleichungen für Wegintegrale

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