Analog zum Darstellungslemma für Rechteckintergrale kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über Wegintegrale und Flächenstammfunktionen finden. Ferner werden alternierende Randwege für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen.
[ Bearbeiten ] Sei
f
:
G
→
C
{\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }
holomorphe Funktion bei der die Eckpunkte
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
G
{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}\in G}
konvexe Hülle
C
o
n
v
(
{
z
1
,
z
2
,
z
3
}
)
⊂
G
{\displaystyle Conv(\{z_{1},z_{2},z_{3}\})\subset G}
z
o
∈
K
{\displaystyle z_{o}\in K}
K
⊆
G
{\displaystyle K\subseteq G}
orienterte Rechteckfläche
γ
Δ
{\displaystyle \gamma _{_{\Delta }}}
[ Bearbeiten ] Mit der Stammfunktion
F
:
G
→
C
{\displaystyle F:G\to \mathbb {C} }
f
{\displaystyle f}
∬
γ
Δ
f
(
z
)
d
2
z
=
∫
⟨
z
1
,
z
3
⟩
F
(
z
)
d
z
−
∫
⟨
z
1
,
z
2
⟩
F
(
z
)
d
z
=
∫
⟨
z
2
,
z
3
⟩
F
(
z
)
d
z
=
F
◻
(
z
3
)
−
F
◻
(
z
2
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle {\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(z)\,dz-{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(z)\,dz={\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}F(z)\,dz\\&=&F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})\\\end{array}}}
[ Bearbeiten ] Mit der Stammfunktion
F
:
G
→
C
{\displaystyle F:G\to \mathbb {C} }
f
{\displaystyle f}
alternierenden Randweg :
∬
γ
Δ
f
(
z
)
d
2
z
=
−
∫
⟨
z
1
,
z
2
⟩
1
2
⋅
F
(
z
)
d
z
+
∫
⟨
z
2
,
z
3
⟩
1
2
⋅
F
(
z
)
d
z
−
∫
⟨
z
3
,
z
1
⟩
1
2
⋅
F
(
z
)
d
z
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle -\!\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}\!\!{\tfrac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz+\!\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}\!\!{\tfrac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz-\!\!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}\!\!{\tfrac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz\\\end{array}}}
Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen [ Bearbeiten ] Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur Orientierung bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion
F
◻
{\displaystyle F_{_{\Box }}}
F
{\displaystyle F}
f
{\displaystyle f}
Darstellungslemma für Rechteckintergrale kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen.
Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen [ Bearbeiten ] Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen
F
◻
{\displaystyle F_{_{\Box }}}
Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg
−
⟨
z
1
,
z
2
⟩
{\displaystyle -\langle z_{1},z_{2}\rangle }
⟨
z
2
,
z
3
⟩
{\displaystyle \langle z_{2},z_{3}\rangle }
⟨
z
3
,
z
1
⟩
{\displaystyle \langle z_{3},z_{1}\rangle }
1
2
⋅
F
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot F}
alternierenden Randweges (hier
z
1
{\displaystyle z_{1}}
Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen [ Bearbeiten ] Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen.
Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity Nach dem Cauchy-Integralsatz liefert die Summe den beiden rot markierten Wegintegrale den gleichen Wert wie das Wegintegral über den grün markierten Weg (siehe auch Wegunabhängigkeit der Wegintegrale , wenn Stammfunktionen existieren)
Da
f
:
G
→
C
{\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }
holomorphe Funktion besitzt
f
{\displaystyle f}
Holomorphiekriterien lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck
Δ
:=
Δ
(
z
1
,
z
2
,
z
3
)
{\displaystyle \Delta :=\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})}
Δ
⊂
G
{\displaystyle \Delta \subset G}
U
⊃
Δ
{\displaystyle U\supset \Delta }
f
{\displaystyle f}
lokale Stammfunktion
F
{\displaystyle F}
Stammfunktion als Wegintegral ). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung . Die Darstellung (D1) ergibt sich aus Flächenintegralsatz für Dreiecke . (D2) ist noch zu zeigen.
[ Bearbeiten ] Für die holomorphe Funktion
f
:
G
→
C
{\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }
Flächenintegral über das Dreieck
Δ
:=
Δ
(
z
1
,
z
2
,
z
3
)
{\displaystyle \Delta :=\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})}
Δ
⊂
G
{\displaystyle \Delta \subset G}
orientierte Fläche
γ
Δ
:
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
→
C
{\displaystyle \gamma _{_{\Delta }}:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb {C} }
γ
Δ
(
t
1
,
t
2
)
:=
z
1
+
(
z
2
−
z
1
)
⋅
t
1
+
(
z
3
−
z
2
)
⋅
t
1
⋅
t
2
{\displaystyle \gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2}):=z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}}
a
1
=
a
2
=
0
{\displaystyle a_{1}=a_{2}=0}
b
1
=
b
2
=
1
{\displaystyle b_{1}=b_{2}=1}
∬
γ
Δ
f
(
z
)
d
2
z
=
∫
a
1
b
2
(
∫
a
1
b
1
f
(
γ
Δ
(
t
1
,
t
2
)
)
⋅
d
γ
Δ
d
t
1
(
t
1
,
t
2
)
d
t
1
)
⋅
d
γ
Δ
d
t
2
(
t
1
,
t
2
)
d
t
2
{\displaystyle \iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z=\int _{a_{1}}^{b_{2}}\left(\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2}))\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})\,dt_{1}\right)\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}}
Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen [ Bearbeiten ] Die partiellen Ableitungen von
γ
Δ
(
t
1
,
t
2
)
{\displaystyle \gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})}
orientierte Fläche sind
d
γ
Δ
d
t
1
(
t
1
,
t
2
)
=
(
z
2
−
z
1
)
+
(
z
3
−
z
2
)
⋅
t
2
{\displaystyle {\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})=(z_{2}-z_{1})+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{2}}
d
γ
Δ
d
t
2
(
t
1
,
t
2
)
=
(
z
3
−
z
2
)
⋅
t
1
{\displaystyle {\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})=(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}}
Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals [ Bearbeiten ] Eine holomorphe Funktion besitzt auf einfach zusammenhängenden Gebieten (also inbesondere konvexen Mengen ) eine Stammfunktion .
Sei
F
{\displaystyle F}
f
{\displaystyle f}
U
⊂
G
{\displaystyle U\subset G}
Δ
⊂
U
{\displaystyle \Delta \subset U}
f
{\displaystyle f}
F
{\displaystyle F}
[
a
1
,
b
1
]
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle [a_{1},b_{1}]=[0,1]}
U
{\displaystyle U}
∬
γ
Δ
f
(
z
)
d
2
z
=
∫
a
2
b
2
(
F
(
γ
Δ
(
b
1
,
t
2
)
⏟
=
F
γ
Δ
(
1
,
t
2
)
)
−
F
(
γ
Δ
(
a
1
,
t
2
)
⏟
=
F
γ
Δ
(
0
,
t
2
)
)
)
⋅
d
γ
Δ
d
t
2
(
t
1
,
t
2
)
d
t
2
{\displaystyle \iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z=\int _{a_{2}}^{b_{2}}{\bigg (}F{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(b_{1},t_{2})} _{=F\gamma _{_{\Delta }}(1,t_{2})}{\big )}-F{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(a_{1},t_{2})} _{=F\gamma _{_{\Delta }}(0,t_{2})}{\big )}{\bigg )}\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}}
Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die Substitutionsregel bei Wegintegralen.
Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung [ Bearbeiten ] Da auch die Stammfunktion
F
{\displaystyle F}
konvexen offenen Menge
U
{\displaystyle U}
Δ
⊂
U
⊂
G
{\displaystyle \Delta \subset U\subset G}
holomorphe Funktion ist, existiert auch für
F
{\displaystyle F}
F
◻
{\displaystyle F_{\Box }}
F
◻
:
U
→
C
{\displaystyle F_{\Box }:U\to \mathbb {C} }
Flächenstammfunktion und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung . Es gilt daher alle
z
∈
U
{\displaystyle z\in U}
(
F
◻
)
″
(
z
)
=
F
′
(
z
)
=
f
(
z
)
{\displaystyle (F_{\Box })''(z)=F'(z)=f(z)}
Nach dem Differenzsatz für Stammfunktionen unterscheiden sich zwei beliebige Flächenstammfunktionen um einen affinen Term
p
(
z
)
=
a
1
⋅
z
+
a
0
{\displaystyle p(z)=a_{1}\cdot z+a_{0}}
a
0
,
a
1
∈
C
{\displaystyle a_{0},a_{1}\in \mathbb {C} }
[ Bearbeiten ] Mit der Flächenstammfunktion
F
◻
{\displaystyle F_{\Box }}
f
{\displaystyle f}
U
⊂
G
{\displaystyle U\subset G}
R
⊂
U
{\displaystyle R\subset U}
F
{\displaystyle F}
[
a
2
,
b
2
]
:=
[
0
,
1
]
{\displaystyle [a_{2},b_{2}]:=[0,1]}
U
{\displaystyle U}
∬
γ
Δ
f
(
z
)
d
2
z
=
∫
a
2
b
2
(
F
(
γ
Δ
(
1
,
t
2
)
)
−
F
(
γ
Δ
(
0
,
t
2
)
)
)
⋅
d
γ
Δ
d
t
2
(
t
1
,
t
2
)
d
t
2
=
[
F
◻
◻
(
γ
Δ
(
1
,
t
2
)
)
]
0
1
−
[
F
◻
(
γ
Δ
(
0
,
t
2
)
)
]
0
1
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{\Delta }}}\!\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \int \limits _{a_{2}}^{b_{2}}\!\!\!{\bigg (}F{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,t_{2}){\big )}-F{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,t_{2}){\big )}{\bigg )}\!\cdot \!{\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}\\&=&\displaystyle {\bigg [}F_{_{\Box }}\Box {\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{1}-{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{1}\\\end{array}}}
Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals [ Bearbeiten ] Durch die Differenz der Flächenstammfunktionen
F
◻
{\displaystyle F_{_{\Box }}}
f
{\displaystyle f}
Δ
{\displaystyle \Delta }
[
a
1
,
b
1
]
=
[
0
,
1
]
=
[
a
2
,
b
2
]
{\displaystyle [a_{1},b_{1}]=[0,1]=[a_{2},b_{2}]}
[
F
◻
(
γ
Δ
(
1
,
t
2
)
)
]
a
2
b
2
−
[
F
◻
(
γ
Δ
(
0
,
t
2
)
)
]
a
2
b
2
=
(
F
◻
(
γ
Δ
(
1
,
b
2
)
)
−
F
◻
(
γ
Δ
(
1
,
a
2
)
)
)
−
(
F
◻
(
γ
Δ
(
0
,
b
2
)
)
−
F
◻
(
γ
Δ
(
0
,
a
2
)
)
)
=
F
◻
(
γ
Δ
(
1
,
1
)
⏟
=:
z
3
)
−
F
◻
(
γ
Δ
(
1
,
0
)
⏟
=:
z
2
)
−
F
◻
(
γ
Δ
(
0
,
1
)
⏟
=:
z
1
)
+
F
◻
(
γ
Δ
(
0
,
0
)
⏟
=:
z
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{lc}{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{a_{2}}^{b_{2}}-{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{a_{2}}^{b_{2}}&=\\\displaystyle {\bigg (}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,b_{2}){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,a_{2}){\big )}{\bigg )}-{\bigg (}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,b_{2}){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,a_{2}){\big )}{\bigg )}&=\\F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(1,1)} _{=:z_{3}}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(1,0)} _{=:z_{2}}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(0,1)} _{=:z_{1}}{\big )}+F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(0,0)} _{=:z_{1}}{\big )}\end{array}}}
Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral [ Bearbeiten ] Für die Berechnung des Integrals wurde die Flächenstammfunktionen
F
◻
{\displaystyle F_{_{\Box }}}
f
{\displaystyle f}
γ
Δ
(
1
,
⋅
)
{\displaystyle \gamma _{_{\Delta }}(1,\cdot )}
γ
Δ
(
0
,
⋅
)
{\displaystyle \gamma _{_{\Delta }}(0,\cdot )}
F
◻
(
z
3
)
−
F
◻
(
z
2
)
−
F
◻
(
z
1
)
+
F
◻
(
z
1
)
⏟
=
0
=
2
⋅
1
2
⋅
F
◻
(
z
3
)
−
2
⋅
1
2
⋅
F
◻
(
z
2
)
−
1
2
⋅
F
◻
(
z
1
)
+
1
2
⋅
F
◻
(
z
1
)
⏟
=
0
=
−
1
2
⋅
(
F
◻
(
z
2
)
−
F
◻
(
z
1
)
)
+
1
2
⋅
(
F
◻
(
z
3
)
−
F
◻
(
z
2
)
)
−
1
2
⋅
(
F
◻
(
z
1
)
−
F
◻
(
z
3
)
)
{\displaystyle {\begin{array}{lc}F_{_{\Box }}{\big (}z_{3}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}z_{2}{\big )}\underbrace {-F_{_{\Box }}{\big (}z_{1}{\big )}+F_{_{\Box }}{\big (}z_{1}{\big )}} _{=0}&=\\2\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot F_{_{\Box }}{\big (}z_{3}{\big )}-2\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot F_{_{\Box }}{\big (}z_{2}{\big )}\underbrace {-{\tfrac {1}{2}}\cdot F_{_{\Box }}{\big (}z_{1}{\big )}+{\tfrac {1}{2}}\cdot F_{_{\Box }}{\big (}z_{1}{\big )}} _{=0}&=\\-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\big (}F_{_{\Box }}{\big (}z_{2}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}z_{1}{\big )}{\big )}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\big (}F_{_{\Box }}{\big (}z_{3}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}z_{2}{\big )}{\big )}-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\big (}F_{_{\Box }}{\big (}z_{1}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}z_{3}{\big )}{\big )}\end{array}}}
Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral [ Bearbeiten ] Die obige Zerlegung als Differenzen der Flächenstammfunktionen führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2):
∬
γ
Δ
f
(
z
)
d
2
z
=
−
∫
⟨
z
1
,
z
2
⟩
1
2
⋅
F
(
z
)
d
z
+
∫
⟨
z
2
,
z
3
⟩
1
2
⋅
F
(
z
)
d
z
−
∫
⟨
z
3
,
z
1
⟩
1
2
⋅
F
(
z
)
d
z
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle -\!\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}\!\!{\tfrac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz+\!\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}\!\!{\tfrac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz-\!\!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}\!\!{\tfrac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz\\\end{array}}}
Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen.
◻
{\displaystyle \quad \Box }
[ Bearbeiten ] Für die Berechnung von Integralen ist (D1) von Bedeutung, da mit (D1) eine Flächenstammfunktion
F
◻
{\displaystyle F_{_{\Box }}}
konvexen Menge ausgewertet werden muss. Die Darstellung (D2) ist für die Berechnung von Flächenintegrale für Vielecke (Polygone) als orientierte Fläche wesentlich, da die Dreieckzerlegung damit einen alternierenden Randweg erzeugt.
Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für
f
(
z
)
=
e
x
p
(
z
)
{\displaystyle f(z)=exp(z)}
Δ
:=
Δ
(
z
1
,
z
2
,
z
3
)
{\displaystyle \Delta :=\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})}
z
1
:=
1
+
i
{\displaystyle z_{1}:=1+i}
z
2
:=
5
+
i
⋅
2
{\displaystyle z_{2}:=5+i\cdot 2}
z
3
:=
2
+
i
⋅
6
{\displaystyle z_{3}:=2+i\cdot 6}
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![{\displaystyle \gamma _{_{\Delta }}:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f2c530294b0dcb27cdfb61ad4f1b95fa3e56bd)
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}]=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d030c697c1464ab160b7405fd00bf7c02a5c94d9)
![{\displaystyle [a_{2},b_{2}]:=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a09d20ca034e52a9122a28b241838414281c86)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{\Delta }}}\!\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \int \limits _{a_{2}}^{b_{2}}\!\!\!{\bigg (}F{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,t_{2}){\big )}-F{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,t_{2}){\big )}{\bigg )}\!\cdot \!{\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}\\&=&\displaystyle {\bigg [}F_{_{\Box }}\Box {\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{1}-{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{1}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8007292dec98c54ad9f78810d37d028f3353d2)
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}]=[0,1]=[a_{2},b_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803686224e79e202b8e10bc2f6333c5ed2bbf32c)
![{\displaystyle {\begin{array}{lc}{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{a_{2}}^{b_{2}}-{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{a_{2}}^{b_{2}}&=\\\displaystyle {\bigg (}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,b_{2}){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,a_{2}){\big )}{\bigg )}-{\bigg (}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,b_{2}){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,a_{2}){\big )}{\bigg )}&=\\F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(1,1)} _{=:z_{3}}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(1,0)} _{=:z_{2}}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(0,1)} _{=:z_{1}}{\big )}+F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(0,0)} _{=:z_{1}}{\big )}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db031831d3faf2fd1a0dbf9386d42e67670ecaac)
