Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale

Einleitung

Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei holomorphen Funktionen. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt.

Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck

Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral)

Darstellungslemma für Rechteckintegrale

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion bei der die Eckpunkte $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\in K\subseteq G$ und eine weiterer Punkt $z_{o}\in K$ auf einer konvexen offenen Teilmengen $K\subseteq G$ . Dabei ist $z_{o}\in K$ der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion $F$ und es gilt $z_{2}-z_{1},z_{4}-z_{3}\in \mathbb {R}$ und $z_{3}-z_{1},z_{4}-z_{2}\in i\cdot \mathbb {R}$ . Dann hat das komplexe Flächenintegral über die orienterte Rechteckfläche $\gamma _{_{R}}$ folgende Darstellungen (W1-W2):

(R1) Wegintegralsumme über Stammfunktion

Mit der Stammfunktion $F:G\to \mathbb {C}$ von $f$ folgende Darstellung (W1):

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle {\underset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\int }}F(z)\,dz-{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(z)\,dz\\&=&\displaystyle {\underset {\langle z_{2},z_{4}\rangle }{\int }}F(z)\,dz-{\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(z)\,dz\\\end{array}}

(R2) Alternierende Randweg über Stammfunktion

Mit der Stammfunktion $F:G\to \mathbb {C}$ von $f$ hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den alternierenden Randweg:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle -{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}{\frac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz+{\underset {\langle z_{2},z_{4}\rangle }{\int }}{\frac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz\\&&\displaystyle -{\underset {\langle z_{4},z_{3}\rangle }{\int }}{\frac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz+{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}{\frac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz\\\end{array}}

Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare

Das komplexwertige Flächenintegral über orientierte Fläche kann neben der Berechnung über eine Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen nicht nur mit der Flächenstammfunktion $F_{_{\Box }}$ berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion $F$ von $f$ . Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege

$\langle z_{3},z_{4}\rangle$ und $\langle z_{1},z_{2}\rangle$ sind die waagerechten Seitenpaare und
$\langle z_{2},z_{4}\rangle$ und $\langle z_{1},z_{3}\rangle$ sind die senkrechten Seitenpaare und

Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale

Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen $F_{_{\Box }}$ im Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges $\langle z_{1},z_{2}\rangle$ vom Integral über den Weg $\langle z_{3},z_{4}\rangle$ .

Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen

In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet $\gamma :=\langle z_{i},z_{k}\rangle$ einen Integrationweg, der als Konvexkombination wie folgt definiert ist.

{\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=(1-t)\cdot z_{i}+t\cdot z_{k}\end{array}}

Ferner gilt ${\textstyle \int _{\langle z_{k},z_{i}\rangle }F(z)\,dz=-\int _{\langle z_{i},z_{k}\rangle }F(z)\,dz}$ über die innere Ableitung der Parametertransformation.

Beweis

(R1) Da $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion ist, besitzt diese lokale Stammfunktionen. Sei $K\subseteq G$ eine konvexe Menge mit $z_{0},z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\in K$ . Für $z\in K$ wird die Stammfunktion $F:K\to \mathbb {C}$ als Wegintegral $\gamma _{z}:={\langle z_{0},z\rangle }$ , wobei $\gamma _{z}(t):=z_{0}\cdot (1-t)+t\cdot z$ als Konvexkombination in der Menge $K$ definiert ist.

Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral

Da $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion ist und die Eckpunkte $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\in K\subseteq G$ und der Startpunkt $z_{0}$ der Stammfunktion als Wegintegral in der konvexen Menge $K\subseteq G$ liegen, ist die Stammfunktion $F$ als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit:

F(z):=\int _{\langle z_{o},z\rangle }f(\xi )\,d\xi

Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals

Nun wendet man das Lemma für Rechteckintegrale an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion $F_{\Box }$ auszudrücken:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{R}f(z)\,dz&=&\displaystyle F_{_{\Box }}(z_{4})-F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})+F_{_{\Box }}(z_{1})\\&=&\underbrace {{\underset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\int }}F(z)\,dz} _{=F_{_{\Box }}(z_{4})-F_{_{\Box }}(z_{3})}\,\,\,-\,\,\,\underbrace {{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(z)\,dz} _{=F_{_{\Box }}(z_{2})-F_{_{\Box }}(z_{1})}\\&=&\underbrace {{\underset {\langle z_{2},z_{4}\rangle }{\int }}F(z)\,dz} _{=F_{\Box }(z_{4})-F_{\Box }(z_{2})}\,\,\,-\,\,\,\underbrace {{\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(z)\,dz} _{=F_{\Box }(z_{3})-F_{\Box }(z_{1})}\\\\\end{array}}

Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare

Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (R1) und dieses zeigt, dass das Flächenintegrals über Rechtecke unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (R2) wird (R1) benötigt.

Schritt 4 - Alternierender Randweg

Mit (R1) erhält man zwei alternative Darstellung des orientierten Flächenintegrals über $\gamma _{_{R}}$ . Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von $\gamma _{_{R}}$

{\begin{array}{rcl}\displaystyle 2\cdot \iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle {\bigg (}{\underset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\int }}F(z)\,dz-{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(z)\,dz{\bigg )}\\&&\displaystyle +{\bigg (}{\underset {\langle z_{2},z_{4}\rangle }{\int }}F(z)\,dz-{\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(z)\,dz{\bigg )}\\\end{array}}

Schritt 5 - Alternierender Randweg

Bei Multiplikation mit ${\tfrac {1}{2}}$ erhält man dann auch (R2).

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot {\bigg (}{\underset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\int }}F(z)\,dz-{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(z)\,dz\\&&\displaystyle +{\underset {\langle z_{2},z_{4}\rangle }{\int }}F(z)\,dz-{\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(z)\,dz{\bigg )}\\\end{array}}

Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro Konvexkombination zwischen Eckpunkten über ${\tfrac {1}{2}}F$ . Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen $\langle z_{k},z_{n}\rangle =-\langle z_{n},z_{k}\rangle$ . $\quad \Box$

Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion

Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet.

Korollar - Darstellungslemma

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, bei der die Eckpunkte $z_{k}\in K\subseteq G$ eines Rechtecks mit $k\in \{1,2,3,4\}$ in einer konvexen offenen Menge $K$ liegen. Die lokale Stammfunktion $F_{k}:G\to \mathbb {C}$ hat $z_{k}$ Startpunkt des Wegintegrals als Stammfunktion. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen $F_{_{k,\Box }}:G\to \mathbb {C}$ :

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{R}f(z)\,dz&=&\displaystyle \!\!\!\!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\int }}F_{1}(z)\,dz-F_{_{1,\Box }}(z_{2})={\underset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\int }}F_{2}(z)\,dz+F_{_{2,\Box }}(z_{1})\\&=&\displaystyle F_{_{3,\Box }}(z_{4})-\!\!\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(z)\,dz=-F_{_{4,\Box }}(z_{3})-\!\!\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(z)\,dz\\\end{array}}

Beweis des Korollars

Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für $F_{k}$ und $F_{_{k,\Box }}$ mit $F_{_{k,\Box }}(z_{k})=0$ die obige Behauptung.

{\underset {\langle z_{i},z_{j}\rangle }{\quad \int \quad }}F_{k}(z)\,dz=F_{_{k,\Box }}(z_{j})-F_{_{k,\Box }}(z_{i})

Dabei wurden wieder Stammfunktionen als Wegintegrale verwendet.

Bemerkung 1 - Korollar

In der Funktionentheorie kann man den Wert $F(z)$ einer Stammfunktionen $F$ von $f$ als Wegintegrale von $z_{0}$ nach $z$ darstellen. In einem konvexen Menge $K$ kann man diesen Startpunkt $z_{0}$ frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt.