Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale

Einleitung

Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die Flächenintegrale über Rechtecke korrekt darstellen und andererseits verträglich mit Wegintegralen für holomorphe Funktionen sein.

Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Die Rechtecke in $G$ stellen den Erzeuger der Borelschen $\sigma$-Algebra ${\mathcal {B}}(G)$ auf einer konvexen Menge $G$. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das Lebesgue-Maß auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion $f:G\to \mathbb {C}$, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke $R=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]\subset G$ auf ganz ${\mathcal {B}}(G)$ erweitert wird.

Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring

Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke $R=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ wird für die Maßerweiterung auf ${\mathcal {B}}(G)$ zu einem Mengenring erweitert und dann mit dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory zu einem Maß auf ${\mathcal {B}}(G)$ erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt.

Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen

Ein Rechteck $R=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ oder eine offene Kreisscheibe $D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z-z_{o}|<r\}$ um $z_{0}$ mit Radius $r>0$ sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der Funktionentheorie werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ als Abbildung von einem Rechteck $[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\subset \mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {C}$ betrachtet.

Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen

Definition - komplexe orientierte Fläche

Sei $\gamma :[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ eine stetig partiell differenzierbare Abbildung mit den partiellen Ableitungen ${\tfrac {d\gamma }{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C}$ und ${\tfrac {d\gamma }{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C}$, dann bezeichnet $\gamma$ eine komplexe orientierte Fläche und Gradient $Grad(\gamma )=({\tfrac {d\gamma }{dt_{1}}},{\tfrac {d\gamma }{dt_{2}}})$ gibt in einem Punkt $\gamma (t_{1},t_{2})\in \mathbb {C}$ die komplexe Orientierung $Grad(\gamma )(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C} ^{2}$ an.

Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation

orientierte Fläche als Animation

Definition - normalisierte orientierte Fläche

Eine komplexwertige orientierte Fläche $\gamma :[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in $[0,1]\times [0,1]\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist.

Beispiel 1 - Rechteck

Ein Rechteck $R=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck $R$ kann man als komplexe orientierte Fläche auffassen, wenn man Bild von $R$ z.B. durch die Abbildung $\gamma (t_{1},t_{2})=t_{1}+i\cdot t_{2}$ mit dem Definitionsbereich $[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]$ beschreibt. Die Orientierung ist dann $Grad(\gamma )(t_{1},t_{2})=(1,i)\in \mathbb {C} ^{2}$ in $\gamma (t_{1},t_{2})$ definiert.

Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche

Behält man das Rechteck $R=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ als Teilmenge von $\mathbb {C}$ bei, so kann man die orientierte Fläche $\gamma$ mit dem Definitionsbereich $[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]$ über die Substitutionsregel der Integration als Spezialfall der Transformationsformel für die Transformation von $\gamma$ zu $\gamma _{1}$ mit dem Definitionsbereich $[0,1]\times [0,1]$. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann $Grad(\gamma _{1})(t_{1},t_{2})={\big (}b_{1}-a_{1},i\cdot (b_{2}-a_{2}){\big )}\in \mathbb {C} ^{2}$ in $\gamma _{1}(t_{1},t_{2})$ definiert.

Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche

Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von $\gamma$ zu $\gamma _{1}$ nicht verändert. Verwenden Sie dazu die Substitutionsregel der Integration!

Beispiel 2 - Rechteck

Ein Rechteck $R=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ ist eine Teilmenge von $\mathbb {C}$ und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung $\gamma$ ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von $R$ als komplexe Zahlen

Definition der Eckpunkte vom Rechteck

Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von $R=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$:

• $z_{1}=a_{1}+i\cdot a_{2}$
• $z_{2}=b_{1}+i\cdot a_{2}$
• $z_{3}=a_{1}+i\cdot b_{2}$
• $z_{4}=a_{2}+i\cdot b_{2}$

Rechteck als Konvexkombination

Das Rechteck $R$ kann man nun alternativ auch über Konvexkombinationen darstellen. Die komplexe orientierte Fläche ${\widehat {\gamma }}$ ist dann die Abbildung:

${\widehat {\gamma }}(t_{1},t_{2})=z_{1}+t_{1}\cdot (z_{2}-z_{1})\,\,\,+\,\,\,t_{2}\cdot (z_{3}-z_{1})$

Die Orientierung ist dann über den Gradienten

$Grad({\widehat {\gamma }})(t_{1},t_{2})=(z_{2}-z_{1},z_{3}-z_{1})\in \mathbb {C} ^{2}$

in ${\widehat {\gamma }}(t_{1},t_{2})$ definiert.

Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen

Ein abgeschlossenes Dreieck $\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})\subset \mathbb {C}$ bezeichnet die Menge aller Konvexkombinationen der Eckpunkte (siehe auch Satz von Krein-Milman). Jeder Punkt $z\in \Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ lässt sich damit über $0\leq \lambda _{i}\leq 1$ und $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ wie folgt beschreiben (siehe Flächenintegrale über Dreiecke):

$z=\lambda _{1}\cdot z_{1}+\lambda _{2}\cdot z_{2}+\lambda _{3}\cdot z_{3}$

Dreieck als Abbildung

Durch die Abhängigkeit der Skalare $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat $[0,1]\times [0,1]$ als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei

$K(t,z,{\widehat {z\,}}):=(1-t)\cdot z+t\cdot {\widehat {z\,}}$

Orientierte Fläche über Konvexkombinationen

Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden:

${\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}:[0,1]\times [0,1]&\to &\mathbb {C} \\(t_{1},t_{2})&\mapsto &K{\big (}t_{2},K(t_{1},z_{1},z_{2}),K(t_{1},z_{1},z_{3}){\big )}\end{array}}$

Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten

Durch Einsetzen der Definition der Konvexkombination erster Ordnung erhält man:

${\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})&=&(1-t_{2}){\big (}\underbrace {(1-t_{1})z_{1}+t_{1}z_{2}} _{=z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}}{\big )}+t_{2}{\big (}\underbrace {(1-t_{1})z_{1}+t_{1}z_{3}} _{=z_{1}+(z_{3}-z_{1})\cdot t_{1}}{\big )}\\&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\end{array}}$

Dabei wurde $(1-t_{2})\cdot {\big (}z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}{\big )}$ und $t_{2}\cdot {\big (}z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}{\big )}$ zu $z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}$ zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term $(z_{3}-z_{1})\cdot t_{2}$ durchgeführt.

Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen

Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst $t_{1}$ von 0 zu 1, während $t_{2}={\tfrac {1}{5}}$ gewählt wurde.

Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export

Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen

Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst $t_{1}$ von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das $t_{2}$ mit $t_{2}={\tfrac {3}{4}}$ gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt $z=\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})$ bei wachsendem $t_{1}$ an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt $z\in \Delta (z_{1},z_{2},3)$ über $\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})=z$ mit $(t_{1},t_{2})\in [0,1]\times [0,1]$ dargestellt.

Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export

Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen

Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen $z_{2,t_{1}}:=K(t_{1},z_{1},z_{2})$ und $z_{3,t_{1}}:=K(t_{1},z_{1},z_{3})$ gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg $\gamma _{3,t_{1}}$ der Punkt $z\in \mathbb {C}$ als Konvexkombination $\gamma _{3,t_{1}}(t_{2})=K(t_{2},z_{2,t_{1}},z_{2,t_{1}})$ berechnet.

Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche

Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen:

${\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\Grad\left(\gamma _{_{\Delta }}\right)(t_{1},t_{2})&=&{\bigg (}(z_{2}-z_{1})+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{2}\,\,\,,\,\,\,(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}{\bigg )}\in \mathbb {C} ^{2}\end{array}}$

Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen

Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle $z=\gamma (t_{1},t_{2})$ im Dreieck $\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ eingetragen.

Visualization of gradient for surface integral in complex analysis

Beispiel 3 - Kreisscheibe

Eine abgeschlossene Kreisscheibe ${\overline {D_{r}(z_{0})}}=\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z-z_{0}|\leq r\}$ parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe Cauchy-Integralformel) mit Polarkoordninaten für eine Mittelpunkt $z_{0}$ der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von $\gamma$:

${\begin{array}{rcl}\gamma :[0,r]\times [0,2\pi ]&\to &\mathbb {C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\(t_{1},t_{2})&\mapsto &\gamma (t_{1},t_{2})=z_{0}+t_{1}\cdot e^{i\cdot t_{2}}\\\end{array}}$

Die Orientierung an der Stelle $\gamma (t_{1},t_{2})$ kann wieder über den Gradienten direkt angeben:

$Grad(\gamma )(t_{1},t_{2})={\big (}e^{i\cdot t_{2}},i\cdot t_{1}e^{i\cdot t_{2}}{\big )}$

Definition - orientiertes Flächenintegral

Sei $\gamma :[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ eine komplexe orientierte Fläche eine stetigen partiellen Ableitungen ${\tfrac {d\gamma }{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C}$ und ${\tfrac {d\gamma }{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C}$, dann wird das Flächenintegral über $\gamma$ wie folgt definiert:

$\iint _{\gamma }f(z)\,d^{2}\!z:=\int _{a_{2}}^{b_{2}}\left(\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(\gamma (t_{1},t_{2}))\cdot {\tfrac {d\gamma }{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})\,dt_{1}\right)\cdot {\tfrac {d\gamma }{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}$

Notation - Flächenintegrale

Die Flächenintegral über $\gamma$ werden mit einem Doppenintegral $\iint _{\gamma }\ldots$ und $\ldots \,d^{2}\!z\,$ notiert, um diese von einem Wegintegral über einen Integrationsweg $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche $\gamma :[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ unterscheiden zu können. Ferner zeigt $d^{2}\!z\,$, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen.

Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral

Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten Gradient $Grad(\gamma )=({\tfrac {d\gamma }{dt_{1}}},{\tfrac {d\gamma }{dt_{2}}})$ gehen wie bei der Definition der Wegintegralen jeweils komponentenweisen für $t_{1}$ und $t_{2}$ in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann.

Aufgabe für Studierende

Welchen Bedeutung hat der Gradient $Grad(\gamma )=({\tfrac {d\gamma }{dt_{1}}},{\tfrac {d\gamma }{dt_{2}}})$? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument $t_{2}$ festhalten und dann ${\tfrac {d\gamma }{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})$ in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle $\gamma (t_{1},t_{2})$ als komplexen Vektor mit Anfangspunkt $\gamma (t_{1},t_{2})\in \mathbb {C}$ einzeichnen.

Bemerkungen zu Geogebra

Wenn man in Geogebra einen Punkt $Z\in \mathbb {R} ^{2}$ als komplexe Zahl $z=z_{1}+iz_{2}\in \mathbb {C}$ interpretieren möchte, so kann man den Realteil $z_{1}$ über $x(Z)$ und den Imaginärteil $z_{1}$ über $y(Z)$ darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen $a=a_{1}+ia_{2}\in \mathbb {C}$ als Punkt $A$ und $b=b_{1}+ib_{2}\in \mathbb {C}$ als Punkt $B$ kann so auch algebraisch dargestellt werden:

 M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) )

Siehe auch

• Differentialgeometrie
• Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen
• Flächenintegrale in der Funktionentheorie
• Flächenintegrale über Rechtecke
• Flächenintegrale über Dreiecke
• Flächenintegrale über Kreisscheiben
• Kurvenintegral
• orientierte Fläche
• Satz von Krein-Milman
• Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen
• Flächenintegralsatz für Dreiecke
• Riemannsche Fläche
• Substitutionsregel
• Transformationsformel

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