Kurs:Funktionentheorie/Differentialgleichung - Exponentialfunktion

Einleitung

In dieser Lehreinheit wird allgemein vorausgesetzt, dass eine ganze Funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ gegeben sein soll, die an der Stelle $z=0$ den Wert $f(0)=1$ besitzen soll und die Ableitung der Funktion $f'$ soll mit $f$ übereinstimmen. In dem Beweis soll man dann zeigen, dass für diese Funktion nur ein holomorphe ganze Funktion existiert, die die angegebene Eigenschaft ist. Dabei wird der Identitätssatz verwendet.

Lemma - Exponentialfunktion - Differentialgleichung

Sei $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ eine ganze Funktion, die die folgenden beiden Eigenschaften besitzt:

(E1) $f(0)=1$
(E2) $f'(z)=f(z)$ für alle $z\in \mathbb {C}$ ,

dann ist $f$ die Exponentialfunktion.

Beweis

Um zu zeigen, dass eine ganze Funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ mit den Eigenschaften $f'(z)=f(z)$ und $f(0)=1$ die Exponentialfunktion sein muss, wird gezeigt, dass die Potenzreihenentwicklung der Funktion $f$ mit dem Entwicklungspunkt $z_{o}=0$ auf einer offenen Kreisscheibe $D_{r}(0)$ mit der Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion übereinstimmt, wird zunächst die lokale Entwickelbarkeit in eine Potenzreihe als Holomorphiekriterium verwendet und dann mit dem Identitätssatz, dass diese auf ganz $\mathbb {C}$ mit der im Folgenden genannten Reihendarstellung übereinstimmt.

Beweisschritt 1 - Reihendarstellung der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion $e^{z}$ hat die bekannte Reihendarstellung:

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

In dem folgenden Beweis wird gezeigt, dass $f$ genau diese Reihendarstellung mit Entwicklungspunkt $z_{o}=0$ besitzt.

Beweisschritt 2 - Potenzreihenentwicklung

Da $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion ist, kann man diese Funktion lokal in eine Potenzreihe entwickeln:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n},

wobei $a_{n}$ die Koeffizienten der Potenzreihe sind. Mit (E1) erhält man ferner:

1=f(0)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot 0^{n}=a_{0}

Beweisschritt 3 - Ableitung der Potenzreihe

Auf jeder offenen Kreisscheibe $D_{r}(0)$ konvergieren die Partialsummen der Potenzreihe gleichmäßig gegen die Potenzreihen. Daher darf man Grenzwertprozesse und Differentiation vertauschen. Die Ableitung der Potenzreihe $f(x)$ ist auf $D_{r}(0)$ mit $r>0$ :

f'(z)=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot a_{n}\cdot z^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)\cdot a_{n+1}\cdot z^{n}.

Beweisschritt 4 - Verwendung der Differentialgleichung

Nach Voraussetzung (E2) soll $f'(z)=f(z)$ für alle $z\in \mathbb {C}$ gelten. Setzt man nun die Ableitung gleich der Funktion selbst, erhält man:

f'(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {(n+1)\cdot a_{n+1}} _{=a_{n}}\cdot z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}=f(z).

Mit Koeffizientenvergleich erhält man $a_{n}=(n+1)\cdot a_{n+1}$ .

Beweisschritt 5 - Koeffizientenvergleich

Aus dem Koeffizientenvergleich der Reihen erhält eine Rekursionsformel für die weiteren Koeffizienten der Potenzreihe mit $a_{0}=1$ die Werte mit höherem Index:

a_{n+1}={\frac {a_{n}}{n+1}}\quad {\text{für}}\quad n\geq 1.

Beweisschritt 6 - Rekursive Bestimmung der Koeffizienten

Durch Koeefizientenvergleich der beiden Potenzreihen erhält man die folgende Gleichung als Rekursionsformel:

a_{n}={\frac {a_{n-1}}{n}}.

Beweisschritt 7 - Rekursive Bestimmung der Koeffizienten

Da $f(0)=1$ , gilt $a_{0}=1$ . Durch rekursive Anwendung der obigen Formel erhalten wir:

a_{1}={\frac {a_{0}}{1}}=1,

a_{2}={\frac {a_{1}}{2}}={\frac {1}{2}},

a_{3}={\frac {a_{2}}{3}}={\frac {1}{3!}},{\mbox{ und }}a_{n}={\frac {1}{n!}}.

Beweisschritt 8 - Reihendarstellung

Man erhält damit die Koeffizienten $a_{n}={\frac {1}{n!}}$ in die Potenzreihe auf der Kreisscheibe $D_{r}(0)$ .

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

Beweisschritt 9 - Schlussfolgerung

Die Reihendarstellung von $f(z)$ stimmt mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion auf der Kreisscheibe $D_{r}(0)$ überein. Mit dem Identitätssatz muss $f$ auf ganz $\mathbb {C}$ mit der Exponentialfunktion übereinstimmen und es gilt $f(x)=e^{x}$ .

Damit wurde gezeigt, dass eine ganze Funktion $f$ mit den Eigenschaften $f'(x)=f(x)$ und $f(0)=1$ nur die Exponentialfunktion auf $\mathbb {C}$ sein.

Siehe auch