Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen

Einleitung

Aus der reellen Analysis ist bekannt, dass sich zwei Stammfunktionen $F$ und ${\widehat {F}}$ von einer Funktion $f:D\to \mathbb {R}$ um eine Konstante $a\in \mathbb {R}$ unterscheiden (d.h. $F-{\widehat {F}}=c$ ). Dieses Aussage wird mit dem Differenzsatz für Stammfunktionen auf Stammfunktionen beliebiger hoher Ordnung erweitert. Für holomorphe Funktionen $f$ existieren immer lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung. Allgemeiner unterscheiden sich zwei $F_{(n)}$ und ${\widehat {F}}_{(n)}$ um ein Polynom $p$ der Ordnung $n-1$ .

Lernvoraussetzungen

Stammfunktion für die Anwendung der aus der Analysis bekannten Definition übertragen auf die komplexe Differenzierbarkeit
vollständige Induktion als Beweistyp
Satz über lokale Stammfunktionen, weil holomorphe Funktion

Differenzsatz für Stammfunktionen

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion und $D_{r}(z_{0})$ eine Kreisscheibe mit ${\overline {D_{r}(z_{0})}}\subset G$ . Seien ferner $F_{(n)}:D_{r}(z_{0})\to \mathbb {C}$ und ${\widehat {F}}_{(n)}:D_{r}(z_{0})\to \mathbb {C}$ zwei Stammfunktionen der Ordnung $n\in \mathbb {N}$ , dann existiert der Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb {C}$ der Ordnung $n-1$ mit:

F_{(n)}(z)-{\widehat {F}}_{(n)}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\cdot (z-z_{o})^{k}

Aufgabe für Studierende

Beweisen Sie den obigen Satz induktiv und starten bei zwei lokalen Stammfunktionen $F:D_{r}(z_{0})\to \mathbb {C}$ und ${\widehat {F}}:D_{r}(z_{0})\to \mathbb {C}$ mit $F=F_{(1)}$ und ${\widehat {F}}={\widehat {F}}_{(1)}$ und betrachten Sie $(F-{\widehat {F}})'$ . Für den Induktionsschritt von $n$ auf $n+1$ betrachten Sie die Differenz der Stammfunktionen $n+1$ -ter Ordnung bzgl. $(F_{(n+1)}-{\widehat {F}}_{(n+1)})'$ und verwenden Sie jeweils die Induktionsvorausetzung für die Stammfunktionen $n$ -ter Ordnung! Stellen Sie den Beweis in der Übung zur Vorlesung vor und erläutern Sie den Zusammenhang zu Flächenintegralen über eine holomorphe Funktion $f$ .

Induktionsanfang

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ holomorph. Für $n=1$ gilt die folgende Gleichung:

(F_{(1)}-{\widehat {F}}_{(1)})'=(F-{\widehat {F}})'=F'-{\widehat {F}}\,'=f-f=0

Damit ist $F_{(1)}-{\widehat {F}}_{(1)}$ konstant. Man wählt dazu ein $z$ aus dem Definitionsbereich, auf dem sowohl $F_{(1)}$ als auch ${\widehat {F}}_{(1)}$ definiert sind. Man setzt $a_{0}:=F_{(1)}(z)-{\widehat {F}}_{(1)}(z)\in$ kann beliebig gewählt werden.

Induktionsvoraussetzung

Die Differenz der Stammfunktionen $n$ -ter Ordnung sei durch das folgende Polynom beschrieben.

F_{(n)}(z)-{\widehat {F}}_{(n)}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}{\widehat {a_{k}}}\cdot (z-z_{o})^{k}

Ferner gilt nach Definition der Stammfunktion der Ordnung $n+1$ , dass $F\,'\!_{(n+1)}=F_{(n)}$ und ${\widehat {F}}\,'\!_{(n+1)}={\widehat {F}}_{(n)}$ gilt.

Induktionsbehauptung

Die Differenz der Stammfunktionen $n+1$ -ter Ordnung lässt durch das folgende Polynom beschrieben mit $a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {C}$ .

F_{(n+1)}(z)-{\widehat {F}}_{(n+1)}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot (z-z_{o})^{k}

Induktionsschritt

Durch Verwendung der Induktionsvoraussetzung für $n=1$ erhält man:

p(z)=\sum _{k=0}^{n-1}{\widehat {a_{k}}}\cdot (z-z_{o})^{k}=F_{(n)}(z)-{\widehat {F}}_{(n)}=(F_{(n+1)}(z)-{\widehat {F}}_{(n+1)}(z))'

Um die Differenz von $F_{(n+1)}(z)-{\widehat {F}}_{(n+1)}$ darzustellen, muss man eine Stammfunktion von ${\textstyle p(z)=\sum _{k=0}^{n-1}{\widehat {a_{k}}}\cdot (z-z_{o})^{k}}$ . Die lautet für ein beliebiges $a_{0}\in \mathbb {C}$ als Konstante: