Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil

Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion bei der die Eckpunkte $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\in K\subseteq G$ und eine weiterer Punkt $z_{o}\in K$ auf einer konvexen offenen Teilmengen $K\subseteq G$. Das Rechteck $R$ sei mit $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in \mathbb {R}$ als $R:=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ gegeben. Dann wird das Doppelintegral über Real- und Imaginärteil von $f:G\to \mathbb {C}$ wie folgt definiert:

$\iint _{R}f(x+iy)\,dx\,dy=\int _{a_{2}}^{b_{2}}\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(x+iy)\,dx\,dy$

Bemerkung 1 - Bezug zur mehrdimensionalen Analysis

Die Integration in der mehrdimensionalen Analysis betrachtet integrable Funktionen $g:U\to \mathbb {R}$, die von $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R}$ abbilden. Wenn $g\geq 0$ gilt, kann man das mehrdimensional Integral kann man zwischen

$R:=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [b_{n},b_{n}]\subset U$

und dem Graph von $g$ eingeschlossene Volumen interpretieren. Allgemein ist das oben genannte Doppelintegral ein Spezialfall des Mehrfachintegral in der reellen Analysis:

$\int _{a_{n}}^{b_{n}}\ldots \int _{a_{1}}^{b_{1}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\,\ldots \,dx_{n}$

Bemerkung 2 - Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion

Um den Bezug zur reellen Analysis deutlich zu machen, wird $\mathbb {C}$ mit $\mathbb {R} ^{2}$ identifiziert und die Funktion $f$ in die Realteilfunktion $f=f_{1}+i\cdot f_{2}$ zerlegt:

${\begin{array}{rcl}f_{_{\mathbb {R} }}(x,y)&:=&f(x+i\cdot y)=f_{1}(x+i\cdot y)+i\cdot f_{2}(x+i\cdot y)\\&=&f_{_{\mathbb {R} ,1}}(x,y)+i\cdot f_{_{\mathbb {R} ,2}}(x,y)\\\end{array}}$

Dabei gilt $f_{_{\mathbb {R} }}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C}$ und die Funktionen $f_{_{\mathbb {R} ,1}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ und $f_{_{\mathbb {R} ,2}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ sind klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis.

Beispiel 1 - Doppelintegral über Rechtecke

Sei $R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]$ und $f(z):=z^{2}$ erhält man:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{R}\!\!\!f(x+iy)\,dx\,dy&=&\displaystyle \int _{+3}^{+5}\int _{-1}^{+2}f(x+iy)\,dx\,dy\\&=&\displaystyle \int _{+3}^{+5}\int _{-1}^{+2}(x^{2}-y^{2})+i\cdot (2\cdot x\cdot y)\,dx\,dy\\&=&\displaystyle \int _{+3}^{+5}\left[\left({\tfrac {x^{3}}{3}}-xy^{2}\right)+ix^{2}y\right]_{-1}^{+2}\,dy\\&=&\displaystyle \left[\left[\left({\tfrac {x^{3}y-xy^{3}}{3}}+i{\tfrac {x^{2}y^{2}}{2}}\right)\right]_{-1}^{+2}\right]_{+3}^{+5}=-92+24i\\\end{array}}$

Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben

Wendet man die Definition des Doppelintegrals für die holomorphe Funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ mit $f(z)=z^{2}$ an. Im Beispiel erhält man als Integral auf der Kreisscheibe ${\overline {D_{r}(z_{0})}}:=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,|z-z_{0}|\leq r\}$ mit der Transformationsformel für den Mittelpunkt $z_{0}:=2+i\not =0$ und Polarkoordinatentransformation der Kreisscheibe und dem Radius $r_{0}:=3>0$ den Wert über die folgende Berechnung.

Berechnung des Doppelintegrals

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\underset {\overline {D_{r_{o}}(z_{o})}}{\quad \iint \quad }}f(x+iy)\,dx\,dy&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r_{o}}f(z_{o}+r\cdot e^{it})\cdot r\,dr\,dt\\&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r_{o}}{\big (}z_{o}^{2}+2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o}+(r\cdot e^{it})^{2}{\big )}\cdot r\,\,dr\,dt\\&=&\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\!z_{0}^{2}\cdot r_{o}^{2}\,dt+\underbrace {\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\!{\tfrac {2}{3}}\cdot r_{o}^{3}\cdot e^{it}\cdot z_{0}+{\tfrac {1}{3}}\cdot r_{o}^{3}\cdot e^{i2t}\,dt} _{=0}\\&=&\displaystyle \underbrace {z_{o}^{2}} _{\in \mathbb {C} }\cdot \underbrace {r_{o}^{2}\cdot \pi } _{\in \mathbb {R} }=(3+4i)\cdot 9\cdot \pi =27\pi +36\pi \cdot i\not =0\end{array}}$

Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege

In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem Wegintegral über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das Wegintegral über den Kreisrand ist nach dem Cauchy-Integralsatz für holomorphe Funktionen immer 0. Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der Transformationsformel in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet.

Aufgabe für Studierende

Erläutern Sie die Unterschiede in der Integraldefinition von folgenden 3 Integralbegriffen für holomorphe Funktionen $f:G\to \mathbb {C}$ auf einem Gebiet $G$:

• Wegintegral,
• komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen,
• Doppelintegral über Real- und Imaginärteil.

Siehe auch

• Flächenintegrale über Dreiecke
• Flächenintegrale über Kreisscheiben
• Flächenintegrale über Rechtecke
• Definition - komplexe Flächenintegrale
• Wegintegrale und Flächenintegrale
• Kurs:Funktionentheorie

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