Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone

Einleitung

Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg $\gamma _{k}$ und $\gamma _{k+1}$ , die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des $n$ -Ecks $\langle z_{1},\ldots ,z_{k},z_{k+1},\ldots ,z_{n}\rangle$ durch das Flächenintegral eines $n-1$ -Ecks ersetzen, wobei die Kanten $\gamma _{k}$ und $\gamma _{k+1}$ durch eine einzige Kante ersetzt ${\widetilde {\gamma _{k}}}$ ersetzt werden kann.

Veranschaulichung

Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege $\langle z_{3},z_{2}\rangle$ und $\langle z_{4},z_{3}\rangle$ , die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen.

Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg

In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege $\langle z_{3},z_{2}\rangle$ und $\langle z_{4},z_{3}\rangle$ auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über ${\widetilde {\gamma _{k}}}:=\langle z_{4},z_{2}\rangle$ ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der Cauchy-Integralsatz über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet.

Polygone - nicht konvex

In den Voraussetzungen wird verlangt, dass die konvexe Hülle der Eckpunkte ganz in dem Gebiet $G$ als Definitionsbereich der holomorphen Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ liegen. Die Bedeutung dieser Voraussetzung wird bei der Ersetzung von Wegintegralen deutlich, wenn das Polygon selbst nicht konvex ist. Dies zeigt die folgende Abbildung, bei der der Weg ${\widetilde {\gamma _{1}}}$ ggf. nicht mehr in dem Definitionsbereich $G$ der Funktion $f:\to \mathbb {C}$ liegt, wenn die konvexe Hülle der Eckpunkte nicht ganz in $G$ liegt.

Veranschaulichung - Polygon - nicht konvex

Eckenreduktionssatz für Polygone

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion bei der die konvexe Hülle $Conv(\{z_{1},\ldots ,z_{n}\})\subset G$ der Eckpunkte $z_{1},\ldots ,z_{n}\in G$ eines $n$ -Ecks $V_{n}:={\mathcal {P}}(z_{1},\ldots ,z_{n})\in G$ in $G$ liegt. $\gamma _{k}:[0,1]\to G$ Wege, die $z_{k}$ mit $z_{k+1}$ und $z_{n+1}:=z_{1}$ verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über $\gamma _{_{V_{n}}}:[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ durch eine alternierendes Randintegral über $\gamma _{_{V_{m}}}:[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus $\{z_{1},\ldots ,z_{n}\}$ , wobei mit $z_{k_{m+1}}:=z_{k_{1}}$ die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{_{V_{n}}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \iint _{_{V_{m}}}f(z)\,d^{2}\!z={\tfrac {1}{2}}\cdot \sum _{j=1}^{m}(-1)^{m-j}{\underset {\langle z_{k_{j}},z_{k_{j+1}}\rangle }{\int }}F(\xi )\,d\xi \\&=&\displaystyle \sum _{j=1}^{m}(-1)^{m-j}\cdot F_{_{\Box }}(z_{k_{j}})\end{array}}

Bemerkung - Randwege

Die Randwege $\gamma _{k}:[0,1]\to G$ sind Konvexkombinationen, die einen Eckpunkt $z_{k}$ mit einem Eckpunkt $z_{k+1}$ verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind:

{\begin{array}{rclcl}\displaystyle \gamma _{k}(t)&=&(1-t)\cdot z_{k}&+&t\cdot z_{k+1}\\-\gamma _{k}(t)&=&(1-t)\cdot z_{k+1}&+&t\cdot z_{k}\end{array}}

Startpunkt und Endpunkt von Wegen

Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion $F$ von $f$ existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion $F$ in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert.

Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges

Sei $\gamma :[a,b]\to G$ ein Weg in dem Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$ . Der Anfangspunkt/Startpunkt des Weges ist $z_{_{A}}:=\gamma (a)\in G$ und der Endpunktist $z_{_{E}}:=\gamma (b)\in G$ . Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet ${\mathfrak {A}}(\gamma ):=z_{_{A}}$ und ${\mathfrak {E}}(\gamma ):=z_{_{E}}$ .

Beweis

Man startet bei dem Randweg $\gamma _{_{V_{n}}}$ über orientierte Fläche eines $n$ -Eck $V_{n}$ über ein $n$ -Eck in dem Gebiet $G$ . Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg $\Gamma _{n}:=\sum _{k=1}^{n}\gamma _{k}$ besteht als Kette aus $n$ Teilwegen mit $z_{n+1}=z_{1}$ und $\gamma _{k}=\langle z_{k},z_{k+1}\rangle$ oder $\gamma _{k}=\langle z_{k+1},z_{k}\rangle$ .

Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit

Nun gibt es für $\Gamma _{n}$ 2 Möglichkeiten:

$\Gamma _{n}$ ist bereits ein alternierender Randweg - dann ist nichts mehr zu zeigen.
$\Gamma _{n}$ ist kein alternierender Randweg und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können.

Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen

Wenn $\Gamma _{n}$ kein alternierender Randweg ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit

(W1) ${\mathfrak {A}}(\gamma _{k})={\mathfrak {E}}(\gamma _{k+1})$ d.h. Anfangspunkt des ersten Weges $\gamma _{k}$ ist Endpunkt des zweiten Weges $\gamma _{k+1}$ ,
(W2) ${\mathfrak {E}}(\gamma _{k})={\mathfrak {A}}(\gamma _{k+1})$ , d.h. Endpunkt des ersten Weges $\gamma _{k}$ ist Anfangspunkt des zweiten Weges $\gamma _{k+1}$

Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt

In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege $\gamma _{2}=\langle z_{3},z_{2}\rangle$ und $\gamma _{3}=\langle z_{4},z_{3}\rangle$ zu, denn es gilt

{\mathfrak {A}}(\gamma _{k})={\mathfrak {A}}(\langle z_{3},z_{2}\rangle )=z_{3}={\mathfrak {E}}(\langle z_{4},z_{3}\rangle )={\mathfrak {E}}(\gamma _{k+1})

In diesem Fall würden die beiden Wege $\gamma _{2}=\langle z_{3},z_{2}\rangle$ und $\gamma _{3}=\langle z_{4},z_{3}\rangle$ durch den Weg ${\widetilde {\gamma _{2}}}=\langle z_{4},z_{2}\rangle$ ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert.

Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege

Man definiert nun einen neuen Weg ${\widetilde {\gamma _{k}}}$ für die beiden Fälle (W1) und (W2):

(W1) ${\widetilde {\gamma _{k}}}:=\langle {\mathfrak {A}}(\gamma _{k+1}),{\mathfrak {E}}(\gamma _{k})\rangle$ d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges $\gamma _{k+1}$ ist auch Anfangspunkt von ${\widetilde {\gamma _{k}}}$ und der Endpunkt des ersten Weges $\gamma _{k}$ ist der Endpunkt von ${\widetilde {\gamma _{k}}}$
(W2) ${\widetilde {\gamma _{k}}}:=\langle {\mathfrak {A}}(\gamma _{k}),{\mathfrak {E}}(\gamma _{k+1})\rangle$ d.h. Anfangspunkt des ersten Weges $\gamma _{k}$ ist auch Anfangspunkt von ${\widetilde {\gamma _{k}}}$ und der Endpunkt des zweiten Weges $\gamma _{k+1}$ ist der Endpunkt von ${\widetilde {\gamma _{k}}}$

Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion

Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem $n$ -Eck zu einem $n$ -Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der Cauchy-Integralsatzes, denn $\gamma _{k}+\gamma _{k+1}-{\widetilde {\gamma _{k}}}$ bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen Integrationsweg in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die Kette 0. Daher ist das Integral über $\gamma _{k}+\gamma _{k+1}$ und ${\widetilde {\gamma _{k}}}$ bzgl. der holomorphen Funktion $F$ bzw. ${\tfrac {1}{2}}F$ gleich.

Bemerkung - Wegindizierung

Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege $\gamma _{k}$ und $\gamma _{k+1}$ mindestens einen gemeinsame Punkt in $G$ gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h.

\{{\mathfrak {A}}(\gamma _{k}),{\mathfrak {E}}(\gamma _{k})\}\,\,\,\cap \,\,\,\{{\mathfrak {A}}(\gamma _{k+1}),{\mathfrak {E}}(\gamma _{k+1})\}\,\,\,\not =\,\,\,\emptyset

Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken

Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben $z_{k+1}$ geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt ${\mathfrak {E}}(\gamma _{k})={\mathfrak {A}}(\gamma _{k+1})$ oder umgekehrt ${\mathfrak {A}}(\gamma _{k})={\mathfrak {E}}(\gamma _{k+1})$ . Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich.

Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion

Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg $\Gamma _{n-1}$ . Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob $\Gamma _{n-1}$ bereits ein alternierender Randweg ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter alternierender Randweg $\Gamma _{m}$ .

Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen

In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege $\gamma _{k}$ und $\gamma _{k+1}$ veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. $q.e.d.$

Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte

Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim Darstellungslemma für Dreiecksintegrale, denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem alternierenden Randwegintegral mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt alternierenden Randwegintegrals auf.

Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck

In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt $z_{1}$ die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von $z_{2}$ nach $z_{3}$ ersetzen.

Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion

Da bei dem alternierenden Randwegintegral über im Integranden über ${\tfrac {1}{2}}F$ wird dann über 2x über den Integrationsweg $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ integriert und man erhält als Flächenintegral $F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})$ über das Darstellungslemma für Dreiecksintegrale.

Reduktion im Dreieck auf einen Eckpunkt

Bei geschlossenen Wege (wie im Lemma von Goursat) lässt sich das Randwegintegral durch sukzessive Anwendung auf ein Integral $\langle z_{1},z_{1}\rangle$ reduzieren. Bei der Differenz der Flächenstammfunktionen $F_{_{\Box }}$ ist damit Integral 0. Dies stellt den Zusammenhang zwischen dem Eckenreduktionssatz und dem Cauchy-Integralsatz her, wenn man diesen auf geschlossene Polygone und geschlossene Integrationswege über den Rand des Polygons anwendet. Die wesentliche Aussage ist aber beim Eckenreduktionssatz, dass nur wechselnde Integralrichtungen (so wie beim Lemma für Rechteckintegrale) bzw. wechsende Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen einen Beitrag zum orientierten Flächenintegral liefern.

Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck

Lesen sind näherungsweise die Eckpunkte des 7-Ecks in der folgenden Abbildung ab und berechnen Sie den orientierten Flächeninhalt möglichst effizient. Wenden Sie vorab den Eckenreduktionssatz an, um das orientierte Flächenintegral möglichst effizient über das alternierende Randwegintegral eines 6-Ecks berechnen zu können.

Veranschaulichung - Polygon

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