Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige

Einleitung

Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines einfach zusammenhängenden Gebietes $G$ mit $0\notin G$ und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges $z_{0}\in G$ der gesamte Zweig des Logarithmus bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig $\ln(z)$ und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus $\ln _{\,i}(z)$ unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für $\ln(z)$ entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für $\ln _{\,i}(z)$ in $G$ fehlt.

Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige

Sei $G$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet $G$ mit $0\notin G$ . Wählt man ein beliebiges $z_{o}\in G$ mit $z_{o}=|z_{o}|\cdot e^{it_{o}}$ mit $t\in \mathbb {R}$ , so ist der Zweig des Logarithmus auf $G$ eindeutig durch folgendes Integral definiert:

\ln _{_{(G,z_{o},t_{o})}}(z)=\int _{\gamma _{z}}{\frac {1}{\xi }}\,d\xi

Dabei ist $\gamma _{z}:[a,b]\to G$ ein stetig differenzierbarer Weg von $z_{o}$ nach $z\in G$ .

Beweis - Eindeutigkeitslemma

Wegen $z_{0}\not =0$ kann man mit $r:=|z_{o}|$ und einem beliebigen $z\in G$ mit $|z-z_{o}|<r$ kann man ${\tfrac {1}{n}}$ lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um $z_{o}$ entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen).

f(z)={\frac {1}{z}}={\frac {1}{z_{o}}}\cdot {\frac {1}{1-\underbrace {\frac {z-z_{o}}{-z_{o}}} _{=q}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\frac {(-1)^{n}}{z_{o}^{n+1}}} _{=a_{n}}\cdot (z-z_{o})^{n}

Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen

Nach den Holomorphiekriterien besitzt jede holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ lokale Stammfunktionen. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für ${\tfrac {1}{z}}$ mit Entwicklungspunkt $z_{o}\in G$ kann man summandenweise integrieren (siehe auch Normalverteilung). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf $D_{r}(z_{o})$ :

F_{z_{o}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\frac {(-1)^{n}}{z_{o}^{n+1}\cdot (n+1)}} _{=a_{n}}\cdot (z-z_{o})^{n+1}

Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges

Für die Definition des Zweiges des Logarithmus ist $\gamma _{z}:[a,b]\to G$ ein stetig differenzierbarer Weg von $z_{o}$ nach $z\in G$ .

\ln _{_{(G,z_{o},t_{o})}}(z)=\int _{\gamma _{z}}{\frac {1}{\xi }}\,d\xi

Die Spur des Wege $Spur(\gamma _{z})$ eine kompakte Menge.

Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten

Man überdeckt nun $Spur(\gamma _{z})$ mit beliebigen Kreisscheiben $D_{z}$ um $z\in G$ , wobei die Kreischeiben $D_{z}\subset G$ ganz in der offenen Menge $G$ . Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit $D_{z_{o}}:=D_{r}(z_{o})$ :

Spur(\gamma _{z})\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}D_{z_{k}}\subseteq \bigcup _{k=0}^{n}D_{z_{k}}

Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben

Für alle $k\in \{1,\ldots ,n\}$ gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um $z_{o}$ auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf $D_{r_{k}}(z_{k})$ :

F_{z_{k}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\frac {(-1)^{n}}{z_{k}^{n+1}\cdot (n+1)}} _{=a_{(n,k)}}\cdot (z-z_{k})^{n+1}

Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges

Man startet mit der offenen Kreisscheibe $D_{z_{o}}=D_{r}(z_{o})$ , die $z_{o}$ als Startpunkt des Weges $\gamma _{z}$ in der Spur von $\gamma _{z}$ enthalten ist. Wenn $D_{z_{o}}$ bereits die ganze Spur $Spur(\gamma _{z})$ abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit $F_{z_{o}}$ erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem Identitätssatz eindeutig auf der Kreissscheibe $D_{r}(z_{o})$ ist.

Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben

Falls offene Kreisscheibe $D_{o}:=D_{z_{o}}$ die Menge $Spur(\gamma _{z})$ nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt $w_{1}\in \partial (D_{z_{o}})$ der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. $w_{1}\in \partial (D_{z_{o}})\cap Spur(\gamma _{z})$ . Mit der Überdeckung der Spur gilt dann:

w_{1}\in Spur(\gamma _{z})\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}D_{z_{k}}\subseteq \bigcup _{k=0}^{n}D_{z_{k}}

Also muss es ein $k_{1}\in \{1,\ldots ,n\}$ mit $w_{1}\in D_{z_{k_{1}}}$ . Bezeichne $D_{1}:=D_{z_{k_{1}}}$ , damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu $w_{1}\in D_{1}$ gewählt wurde.

Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben

Da $w_{1}\in D_{1}$ nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt $w_{1}\in D_{0}\cup D_{1}$ auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist $w_{1}$ auch ein Randpunkt von $D_{0}$ . Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung $U$ von $w_{1}$ mit $D_{0}$ nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge $D_{1}$ . Da der Schnitt $D_{0}\cap D_{1}\not =\emptyset$ eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem Identitätssatz, dass der Zweig des Logarithmus auch auf $D_{0}\cup D_{1}$ eindeutig definiert.

Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur

Falls $D_{0}\cup D_{1}$ die $Spur(\gamma _{z})$ vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf $Spur(\gamma _{z})$ erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt $w_{2}\in \partial (D_{0}\cup D_{1})$ , der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. $w_{2}\in \partial (D_{0}\cup D_{1})\cap Spur(\gamma _{z})$ . Mit der Überdeckung der Spur gilt dann:

w_{2}\in Spur(\gamma _{z})\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}D_{z_{k}}\subseteq \bigcup _{k=0}^{n}D_{z_{k}}

Also muss es ein $k_{2}\in \{1,\ldots ,n\}$ mit $w\in D_{z_{k_{2}}}$ . Bezeichne $D_{2}:=D_{z_{k_{2}}}$ wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit $w_{2}\in D_{2}$ .

Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben

Da der Schnitt $(D_{0}\cup D_{1})\cap D_{2}\not =\emptyset$ wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem Identitätssatz wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf $D_{0}\cup D_{1}\cup D_{2}$ . Nach maximal $n$ Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung $U_{z}:=D_{0}\cup D_{1}\cup \ldots D_{m}$ erhalten wobei $m\leq n$ gilt.

Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg

Man hat nur für ein beliebiges $z\in G$ eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für $U_{z}$ gilt: $z_{o},z\in U_{z}\quad {\mbox{ und }}\quad D_{0}\subseteq U_{z}\subseteq G$ Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege $\gamma _{z_{1}}$ mit $z_{1},z_{2}\in G$ , so gilt $D_{0}\subseteq U_{z_{1}}\cap U_{z_{2}}$ . Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf $U_{z_{1}}\cup U_{z_{2}}$ mit dem Identitätssatz wieder eindeutig definiert.

Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges

Da $U_{z}\subseteq G$ gilt und man $G$ als Vereinigung der $U_{z}$ wegen $z\in U_{z}$ darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf $G$ . $\quad \Box$

Bemerkung - geschlitzte Ebene

Eine geschlitzte Ebene $G_{z_{o}}$ für $z_{o}\not =0$ definiert man wie folgt:

G_{z_{o}}:=\mathbb {C} \setminus \{z\in \mathbb {C} \,:\,z=-\lambda \cdot z_{o}{\mbox{ mit }}0\leq \lambda \in \mathbb {R} \}

Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen $G_{z_{o}}$ wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete $G$ , die 0 nicht enthalten.

Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus

Wählt man die geschlitzte Ebene $G_{i}$ für die imaginäre Einheit $i\not =0$ , so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus $\ln _{i}$ , der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen $z=|z|\cdot e^{i\pi }\in \mathbb {R} ^{-}$ ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: