Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale

Einleitung

Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine orientierte Fläche, die einen zweidimensionalen Definitionsbereich $[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\subset \mathbb {R} ^{2}$ besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche $[a,b]\subset \mathbb {R}$ . Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der orientierten Fläche abhängig.

Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche

Im Gegensatz zu Wegintegralen holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der Orientierung der Fläche abhängig.
Ist $f:G\to \mathbb {C}$ holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$ , das das Bild der orientierten Fläche enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte $\gamma (a_{1},a_{2}),\,\gamma (a_{1},b_{2}),\,\gamma (b_{1},a_{2}),\,\gamma (b_{1},b_{2})\in G$ der orientierten Fläche in diesem Gebiet $G$ .

Lerneinheiten

Residuen

Das Residuum einer Funktion $f(z)$ an einer isolierten Singularität $z_{0}$ misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität.
Es gibt Formeln zur Berechnung von Residuen, abhängig von der Ordnung des Pols (z.B. einfacher Pol).

Siehe auch