Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke

Einleitung

Ausgehend von Definition von orientierten Flächen und Flächenintegralen wird die Berechnung von orientierten Flächen für holomorphe Funktionen $f$ behandelt.

Lernvoraussetzungen

Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt

Sei $A\in {\mathcal {B}}(G)$ eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet $G\subset \mathbb {C}$ und die Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ integrierbar, dann kann dann das folgende komplexes Flächenintegral als Maß $\mu _{f}(A)$ auffassen, wobei $f$ die Dichtefunktion des Lebesgue-Maßes ist.

\mu _{f}(A):=\int _{A}f(z)\,dz

Gilt für die Funktion $f:G\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ und $\mu _{f}(G)=1$ , dann ist $\mu _{f}:{\mathcal {B}}(G)$ sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Messraum $(G,{\mathcal {B}}(G))$

Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck

Ist $\Delta =\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})\subset \mathbb {C}$ mit den Eckpunkten $z_{1},z_{2},z_{3}$ , dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ mit $f(z)=1$ für alle $z\in \mathbb {C}$ . Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:

\mu _{f}(\Delta )=\int _{\Delta }1\,dx

Im Allgemeinen ist $f$ als holomorphe Funktion nicht konstant.

Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie

Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie $\textstyle \mu _{f}(\Delta )=\int _{\Delta }1\,dx$ . Die bekannten Kongruenzsätze für Dreiecke aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion $f$ konstant ist (nicht notwendig $f(z)=1$ ). Die Flächeninhaltsformel ${\tfrac {g\cdot h}{2}}$ basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale bei beliebigen holomorphen Funktionen $f$ in der Funktionentheorie aufwendiger.

Lemma von Goursat

Im Lemma von Goursat wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das Flächenintegral über alle Dreiecksflächen immer 0.

Dreieck als orientierte Fläche

Zunächst wird ein Dreieck $\Delta :=\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ mengentheoretisch über Konvexkombinationen beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer orientierten Fläche $\gamma _{\Delta }$ ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt $\gamma _{\Delta }(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C}$ durch den Gradienten $Grad(\gamma _{\Delta })(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C} ^{2}$ berechnet werden.

Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination

Ein abgeschlossenes Dreieck $\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})\subset \mathbb {C}$ bezeichnet die Menge aller Konvexkombinationen der Eckpunkte (siehe auch Satz von Krein-Milman). Jeder Punkt $z\in \Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ lässt sich damit über $0\leq \lambda _{i}\leq 1$ und $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ wie folgt beschreiben:

z=\lambda _{1}\cdot z_{1}+\lambda _{2}\cdot z_{2}+\lambda _{3}\cdot z_{3}

Dreiecksfläche als Abbildung

Durch die Abhängigkeit der Skalare $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat $[0,1]\times [0,1]$ als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren.

Konvexkombination als Integrationsweg

Eine Konvexkombination wurde beim Lemma von Goursat für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination $K$ wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche $\gamma _{\Delta }$ verwendet:

K(t,z,{\widehat {z\,}}):=(1-t)\cdot z+t\cdot {\widehat {z\,}}

Orientierte Fläche über Konvexkombinationen

Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden:

{\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}:[0,1]\times [0,1]&\to &\mathbb {C} \\(t_{1},t_{2})&\mapsto &K{\big (}t_{2},K(t_{1},z_{1},z_{2}),K(t_{1},z_{1},z_{3}){\big )}\end{array}}

Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten

Durch Einsetzen der Definition der Konvexkombination erster Ordnung erhält man:

{\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})&=&(1-t_{2}){\big (}\underbrace {(1-t_{1})z_{1}+t_{1}z_{2}} _{=z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}}{\big )}+t_{2}{\big (}\underbrace {(1-t_{1})z_{1}+t_{1}z_{3}} _{=z_{1}+(z_{3}-z_{1})\cdot t_{1}}{\big )}\\&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\end{array}}

Dabei wurde $(1-t_{2})\cdot {\big (}z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}{\big )}$ und $t_{2}\cdot {\big (}z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}{\big )}$ zu $z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}$ zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term $(z_{3}-z_{1})\cdot t_{2}$ durchgeführt.

Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen

Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein Randintegral für Dreiecksflächen den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst $t_{1}$ von 0 zu 1, während $t_{2}={\tfrac {1}{5}}$ gewählt wurde.

Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export

Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen

Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst $t_{1}$ von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das $t_{2}$ mit $t_{2}={\tfrac {3}{4}}$ gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt $z=\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})$ bei wachsendem $t_{1}$ an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt $z\in \Delta (z_{1},z_{2},3)$ über $\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})=z$ mit $(t_{1},t_{2})\in [0,1]\times [0,1]$ dargestellt.

Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen

Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen $z_{2,t_{1}}:=K(t_{1},z_{1},z_{2})$ und $z_{3,t_{1}}:=K(t_{1},z_{1},z_{3})$ gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg $\gamma _{3,t_{1}}$ der Punkt $z\in \mathbb {C}$ als Konvexkombination $\gamma _{3,t_{1}}(t_{2})=K(t_{2},z_{2,t_{1}},z_{2,t_{1}})$ berechnet.

Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche

Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen:

{\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\Grad\left(\gamma _{_{\Delta }}\right)(t_{1},t_{2})&=&{\bigg (}(z_{2}-z_{1})+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{2}\,\,\,,\,\,\,(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}{\bigg )}\in \mathbb {C} ^{2}\end{array}}

Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen

Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle $z=\gamma (t_{1},t_{2})$ im Dreieck $\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ eingetragen.

Flächenintegralsatz für Dreiecke

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Das Integral über das konvexe Dreieck $\Delta =\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ mit den Eckpunkte mit $z_{1},z_{2},z_{3}\in G$ ist über die folgende orientierte Fläche auf $[0,1]\times [0,1]$ :

\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})=z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{1})\cdot t_{1}\cdot t_{2}

definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion $F$ und Flächenstammfunktion $F_{\Box }$ von $f$ :

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z={\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi =F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})

Beweis - Flächenintegralsatz

Der Beweis zum Flächenintegralsatz für Dreiecke nutzt die Definition der orientierten Flächen und die Definition Flächenintegrale für die Berechnung des Flächenintegrals über Dreiecke.

Bemerkung - Randwegintegrale für Dreiecksfläche

Für eine holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ wird damit das Integral über Dreieck $\Delta =\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ mit den Eckpunkte mit $z_{1},z_{2},z_{3}\in G$ als Randwegintegral für Dreiecke dargestellt und liefert damit eine Zusammenhang zwischen Flächenintegralen für $f$ zu der Summe von zwei Wegintegralen über die Stammfunktion $F$ von $f$ :

{\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}z:={\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi

Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke

Gleichzeitig stellt die obige Summe von zwei Wegintegralen bzgl. der Randwege von einem Dreieck über $F$ auch das Flächenintegral über Dreiecke $f$ über $\gamma _{_{\Delta }}$ dar.

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z={\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}z={\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi

Nach dem Flächenintegralsatz für Dreiecke kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen $F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})$ berechnen.

Notation der Wegintegrale

Die Notation ${\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}\ldots$ bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion $F$ von $f$ gebildet werden und

bei dem Eckpunkt $z_{1}$ in dem konstanten Weg $\langle z_{1},z_{1}\rangle =\gamma _{_{\Delta }}(0,\cdot )$ starten und
mit wachsenden $t_{1}$ Integrationsweg $\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},\cdot )$ gegen den Integrationsweg $\langle z_{2},z_{3}\rangle =\gamma _{_{\Delta }}(1,\cdot )$ läuft.
Konvergiert $t_{1}$ gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt $z_{1}$ bzw. zu dem Weg $\langle z_{1},z_{1}\rangle$ .