Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben

Einleitung

Wegintegrale über einen Kreisrand wurden bei der Cauchy-Integralformel verwendet, um eine holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ im Inneren eine Kreisscheibe $D_{r}(z_{0})$ über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle $z\in D_{r}(z_{0})$ gilt:

$f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\displaystyle \oint _{\partial D_{r}(z_{0})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta .$

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als orientierte Flächen im Vergleich zu Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil behandelt.

Aufgabe für Studierende

Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe $\gamma _{\circ }$ als orientierte Fläche.

• Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen?
• Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen?

Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

Extremalpunkte eines Kreise

Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den Extremalpunkten der Fläche festgelegt ist. Die Extremalpunkte eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. Extremalpunkte einer Kreisschreibe als konvexe Menge besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im Cauchy-Integralsatz). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten $\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})$ mit $(t_{1},t_{2})\in {\big \{}(a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2}){\big \}}$ als orientierte Fläche ab.

Doppelintegral über Kreisscheiben

Mit einem Doppelintegral über den Realteil $x\in \mathbb {R}$ und den Imaginärteil $y\in \mathbb {R}$ mit $z=x+iy\in \mathbb {C}$ für die holomorphe Funktion $f=f_{1}+if_{2}$ auf dem Definitionsbereich $G\subseteq \mathbb {C}$ betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von $G_{_{\mathbb {R} }}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ für $f_{1}$ und $f_{2}$ die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in $\mathbb {R} ^{2}$ liefert. Eine orientierte Fläche berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in $\mathbb {C}$.

Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben

Bevor allgemein über orientierte Kreisscheiben integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für die holomorphe Funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ mit $f(z)=z^{2}$. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe ${\overline {D_{r}(z_{0})}}:=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,|z-z_{0}|\leq r\}$ mit Mittelpunkt $z_{0}$ und Radius $r_{0}>0$. Über die Anwendung der Transformationsformel wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe $z_{0}=3+2i\not =0$ und dem Radius $r_{0}:=3>0$ berechnet.

Berechnung des Doppelintegrals

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\underset {\overline {D_{r_{o}}(z_{o})}}{\quad \iint \quad }}\!\!\!\!\!\!f(x+iy)\,dx\,dy\!\!\!\!&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r_{o}}f(z_{o}+r\cdot e^{it})\cdot r\,dr\,dt\\&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r_{o}}{\big (}z_{o}^{2}+2\,r\,e^{it}\,z_{o}+(r\,e^{it})^{2}{\big )}\cdot r\,\,dt\,dr\\&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!z_{0}^{2}\,r_{o}\,dt+\underbrace {\int _{0}^{2\pi }\!{\tfrac {2}{3}}\,r_{o}^{3}\,e^{it}\cdot z_{0}+{\tfrac {1}{3}}\,r_{o}^{3}\,e^{i2t}\,dt} _{=0}\\&=&\displaystyle \underbrace {z_{o}^{2}} _{\in \mathbb {C} }\cdot \underbrace {r_{o}\cdot 2\pi } _{\in \mathbb {R} }=\underbrace {(3+2i)^{2}} _{=5+12i}\cdot 6\pi =30\pi +72\pi i\not =0\end{array}}$

Hinweise zur Berechnung

$z_{o}^{2}\in \mathbb {C}$ ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable $r$. Die Stammfunktion von $z_{o}^{2}$ ist daher $z_{o}^{2}\cdot r$ $\int _{0}^{r_{o}}z_{o}^{2}\,dr=\left[z_{o}^{2}\cdot r\right]_{0}^{r_{o}}=z_{o}^{2}\cdot r_{o}$

Transformationsformel

Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der Transformationsformel in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum $z_{o}$ der Kreisschreibe und vom Radius $r_{0}$ ab.

Rechteck und Kreisscheibe

Bei einer orientierten Fläche wird mit

$\gamma _{\circ }:[a_{1},b_{1}]\times [a_{1},b_{1}]\to {\overline {D_{r}(z_{o})}}\subset \mathbb {C}$

Ein Rechteck $[a_{1},b_{1}]\times [a_{1},b_{1}]\subset \mathbb {R} ^{2}$ auf die abgeschlossene Kreisscheibe ${\overline {D_{r}(z_{o})}}\subset \mathbb {C}$ mit Radius $r>0$ und bijektiv $z_{o}\in \mathbb {C}$ abgebildet.

Animation der orientierten Fläche

Das Argument $t_{1}\in [0,1]$ ist in der Animation monoton wachsend und das Argument $t_{2}\in [0,1]$ oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF

Aufgabe zur Animation

Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument $t_{1}\in [0,1]$, sodass der Parameter $t_{2}:=\psi (t_{1})\in [0,1]$ in Abhängigkeit von $t_{1}$ oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung $\psi$, sodass $t_{2}:=\psi (t_{1})$ dann $n$-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter $a,b,c\in \mathbb {R}$.

$t_{2}=\psi (t_{1}):=a\cdot \cos(b\cdot t_{1})+c$

Hilfen zur Aufgabe zur Animation

Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter $a,b,c\in \mathbb {R}$ zu bestimmen:

• Die Funktion $\psi _{1}(t_{1}):=\cos(t_{1})+1$ oszilliert zwischen 0 und 2,
• Die Funktion $\psi _{2}(t_{1}):=\cos(2\pi \cdot t_{1})+1$ erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn $t_{1}\in [0,1]$ von 0 bis 1 monoton wächst.

Abbildung der Ecken auf Kreisrand

Die Ecken des Rechtecks $\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})$ mit

$(t_{1},t_{2})\in {\big \{}(a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2}){\big \}}\subset [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\subset \mathbb {R} ^{2}$

werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe ${\overline {D_{r}(z_{o})}}\subset \mathbb {C}$ als orientierte Fläche abgebildet.

Bezeichnung der Eckpunkte

Die Bildpunkte $\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})$ der orientierten Fläche der Ecken von $[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]$ (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit $t_{i}\in [0,2\pi ]$:

• $\gamma _{\circ }(a_{1},a_{2})=w_{1}=z_{o}+r\cdot e^{i{\tfrac {5}{4}}\pi }$,
• $\gamma _{\circ }(b_{1},a_{2})=w_{2}=z_{o}+r\cdot e^{i{\tfrac {7}{4}}\pi }$,
• $\gamma _{\circ }(b_{1},b_{2})=w_{3}=z_{o}+r\cdot e^{i{\tfrac {1}{4}}\pi }$,
• $\gamma _{\circ }(a_{1},b_{2})=w_{4}=z_{o}+r\cdot e^{i{\tfrac {3}{4}}\pi }$.

Bemerkung - Winkel und Eckpunkte

In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von ${\tfrac {\pi }{2}}$ abgetragen. Damit bilden die Punkte $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ die Eckpunkte eines Quadrates in $\mathbb {C}$. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte

Bildpunkt $\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})=z\in {\overline {D_{r}(z_{o})}}$ bewegt sich mit $(t_{1},t_{2})\in [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]$ wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe ${\overline {D_{r}(z_{o})}}$.

Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation

Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche

Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der orientierten Fläche für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche $\gamma _{\circ }$ hat dann statt $[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]$ nun das Einheitsquadrat $[0,1]\times [0,1]$ als vereinfachter Parameterraum.

Definition der orientierten Kreisfläche

Die orientierte Kreisfläche $\gamma _{\circ }$ wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:

${\begin{array}{rccccl}\gamma _{\circ }:&[0,1]\times [0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&(t_{1},t_{2})&\mapsto &\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})&=&\gamma _{1}(t_{1})\cdot (1-t_{1})\cdot (1-t_{2})\\&&&&+&\gamma _{2}(t_{2})\cdot t_{1}\cdot (1-t_{2})\\&&&&+&\gamma _{3}(t_{1})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\&&&&+&\gamma _{4}(t_{2})\cdot (1-t_{1})\cdot t_{2}\end{array}}$

Dabei sind $\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\gamma _{4}$ Weg über den Rand von Kreissegmenten, die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

Randwege auf dem Kreisrand

Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege $\gamma _{k}$ auf dem Kreisrand von ${\overline {D_{r}(z_{o})}}$ mit $k\in \{1,2,3,4\}$:

${\begin{array}{rrcl}\gamma _{_{k}}:&[0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma _{k}(t)=z_{o}+r\cdot e^{i{\big (}(1-t)\cdot \alpha _{_{k}}+t\cdot \beta _{_{k}}{\big )}}\end{array}}$

Dabei werden die Winkel $\alpha _{k},\beta _{k}\in {\big \{}{\tfrac {3}{4}}\pi +n\cdot {\tfrac {\pi }{2}}\ \colon \ n\in \mathbb {Z} {\big \}}$, so gewählt, dass $|\beta _{k}-\alpha _{k}|={\tfrac {\pi }{2}}$ gilt. Die Punkte $z_{o}+r\cdot e^{i\cdot \alpha _{k}}$ bzw. $z_{o}+r\cdot e^{i\cdot \beta _{k}}$ liegen auf dem Kreisrand von ${\overline {D_{r}(z_{o})}}$.

Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente

Sind $\alpha _{_{k}},\beta _{_{k}}\in [-2\pi ,2\pi ]$ zwei Winkel, dann bewegt sich $\gamma _{k}(t)$ auf dem Kreisrand ${\overline {D_{r}(z_{o})}}$ von $z_{0}+r\cdot e^{i\alpha _{k}}$ von $z_{0}+r\cdot e^{i\beta _{k}}$. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation $\alpha _{_{k}},\beta _{_{k}}\in [-{\tfrac {\pi }{4}},{\tfrac {7\pi }{4}}]$ zeigt die Position der Punkte $\gamma _{k}(t_{i})$ in Abhängigkeit von $(t_{1},t_{2})\in [0,1]\times [0,1]$.

Veranschaulichung der Randwege 1

Der rot markierte Punkt $z:=\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})$ in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes $z\in {\overline {D_{r}(z_{0})}}$ in Abhängigkeit von dem Argument $(t_{1},t_{2})\in [0,1]\times [0,1]$ an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments $(t_{1},t_{2})$ im Einheitsquadrat aus $\mathbb {R} ^{2}$ für $z:=\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})$ angegeben.

Veranschaulichung der Randwege 2

oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export

Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1

Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt $\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})=z$ additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.

• $\gamma _{\circ }(0\,,\,0)=w_{1}=z_{o}+r\cdot e^{i{\tfrac {5}{4}}\pi }$,
• $\gamma _{\circ }(1\,,\,0)=w_{2}=z_{o}+r\cdot e^{i{\tfrac {7}{4}}\pi }$,
• $\gamma _{\circ }(1\,,\,1)=w_{3}=z_{o}+r\cdot e^{i{\tfrac {1}{4}}\pi }$,
• $\gamma _{\circ }(0\,,\,1)=w_{4}=z_{o}+r\cdot e^{i{\tfrac {3}{4}}\pi }$.

Die Punkte $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen $\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\gamma _{4}$ auf dem Kreisrand.

Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2

Die 4 Randwegen $\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\gamma _{4}$ auf dem Kreisrand:

• $\gamma _{1}(t_{1}):=\gamma _{\circ }(t_{1}\,,\,0)=z_{o}+r\cdot e^{i{\big (}{\tfrac {5}{4}}+{\tfrac {t_{1}}{2}}{\big )}\pi }$,
• $\gamma _{2}(t_{2}):=\gamma _{\circ }(1\,,\,t_{2})=z_{o}+r\cdot e^{i{\big (}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {t_{2}}{2}}{\big )}\pi }$,
• $\gamma _{3}(t_{1}):=\gamma _{\circ }(t_{1}\,,\,1)=z_{o}+r\cdot e^{i{\big (}{\tfrac {3}{4}}-{\tfrac {t_{1}}{2}}{\big )}\pi }$,
• $\gamma _{4}(t_{2}):=\gamma _{\circ }(0\,,\,t_{2})=z_{o}+r\cdot e^{i{\big (}{\tfrac {5}{4}}-{\tfrac {t_{2}}{2}}{\big )}\pi }$.

Definition der orientierten Fläche - Schritt 3

Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt $\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})=z\in {\overline {D_{r}(z_{0})}}$ durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren $v_{1},v_{2}$ zerlegt wurde.

oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4

Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4

Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion $e^{i\cdot \ldots }$ sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von $2\pi$ von $e^{it}$ und $-{\tfrac {5}{4}}\pi +2\pi ={\tfrac {3}{4}}\pi$:

${\begin{array}{rcl}{\overline {\gamma _{1}(t_{1})-z_{0}}}&=&{\overline {r\cdot e^{i{\big (}{\tfrac {5}{4}}+{\tfrac {t_{1}}{2}}{\big )}\pi }}}=r\cdot e^{-i{\big (}\overbrace {{\tfrac {5}{4}}+{\tfrac {t_{1}}{2}}{\big )}\pi } ^{\in \mathbb {R} }}\\&=&r\cdot e^{i{\big (}{\tfrac {3}{4}}-{\tfrac {t_{1}}{2}}{\big )}\pi }=\gamma _{3}(t_{1})-z_{0}\\\end{array}}$

Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt

Durch den Punkt $z_{0}$ wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil $e^{i\cdot \ldots }$ der Exponentialfunktion betrachtet und $\gamma _{3}(t_{1})-z_{0}$ und $\gamma _{1}(t_{1})-z_{0}$ verwendet.

Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5

Addiert man zu einer komplexen Zahl $z=z_{1}+iz_{2}\in \mathbb {C}$ die komplex konjugiert Zahl ${\overline {z}}=z_{1}-iz_{2}\in \mathbb {C}$ erhält man $z+{\overline {z}}=2\cdot {\mathfrak {Re}}(z)$. Wendet man das auf die Summe von $\gamma _{1}(t_{1})-z_{0}$ $\gamma _{3}(t_{1})-z_{0}={\overline {\gamma _{1}(t_{1})-z_{0}}}$ an, so liefert das mit der Eulerschen Formel die Gleichung:

$(\gamma _{1}(t_{1})-z_{0})+\underbrace {\overline {\gamma _{1}(t_{1})-z_{0}}} _{=\gamma _{3}(t_{1})-z_{0}}=2\cdot r\cdot \cos \left({\big (}{\tfrac {5}{4}}+{\tfrac {t_{1}}{2}}{\big )}\pi \right)$

Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6

Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen $-1$ und $+1$ in Abhängigkeit von $t_{1}\in [0,1]$ parametrisieren. Mit $t_{1}\in [0,1]$ ist $2\cdot t_{1}-1\in [-1,+1]$:

Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4

Setzt man die obigen Wege $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{4}$ in Definition der orientierten Kreisfläche $\gamma _{\circ }$ ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von $z_{0}$ zu $1\cdot z_{0}$, denn es gilt:

${\begin{array}{lc}\underbrace {z_{0}\cdot (1-t_{1})\cdot (1-t_{2})+z_{0}\cdot t_{1}\cdot (1-t_{2})} _{=z_{0}\cdot (1-t_{2})}+&\\\underbrace {z_{0}\cdot (1-t_{1})\cdot t_{2}+z_{0}\cdot t_{1}\cdot t_{2}} _{=z_{0}\cdot t_{2}}&=\\z_{0}\cdot (1-t_{2})+z_{0}\cdot t_{2}=z_{0}&\\\end{array}}$

Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5

${\begin{array}{rccl}\gamma _{\circ }:&[0,1]\times [0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&(t_{1},t_{2})&\mapsto &\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})=z_{0}+\\&&&r\cdot e^{i{\big (}{\tfrac {5}{4}}+{\tfrac {t_{1}}{2}}{\big )}\pi }\cdot (1-t_{1})\cdot (1-t_{2})\\&&&r\cdot e^{i{\big (}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {t_{2}}{2}}{\big )}\pi }\cdot t_{1}\cdot (1-t_{2})\\&&&r\cdot e^{i{\big (}{\tfrac {3}{4}}-{\tfrac {t_{1}}{2}}{\big )}\pi }\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\&&&r\cdot e^{i{\big (}{\tfrac {5}{4}}-{\tfrac {t_{2}}{2}}{\big )}\pi })\cdot (1-t_{1})\cdot t_{2}\end{array}}$

Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8

Setzt man die obigen Wege $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{4}$ in Definition der orientierten Kreisfläche $\gamma _{\circ }$ ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von $z_{0}$ zu $1\cdot z_{0}$, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:

${\begin{array}{lc}\gamma _{1}(t_{1})\cdot (1-t_{1})\cdot (1-t_{2})+\gamma _{3}(t_{1})\cdot t_{1}\cdot t_{2}&=\\\left(z_{o}+r\cdot e^{i{\big (}{\tfrac {5}{4}}+{\tfrac {t_{1}}{2}}{\big )}\pi }\right)\cdot (1-t_{1})\cdot (1-t_{2})+&\\\left(z_{o}+r\cdot e^{i{\big (}{\tfrac {3}{4}}-{\tfrac {t_{1}}{2}}{\big )}\pi }\right)\cdot t_{1}\cdot t_{2}&=\\\end{array}}$

Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9

Setzt man die obigen Wege $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{4}$ in Definition der orientierten Kreisfläche $\gamma _{\circ }$ ein, so erhält man:

${\begin{array}{rccccl}\gamma _{\circ }:&[0,1]\times [0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&(t_{1},t_{2})&\mapsto &\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})&=&\gamma _{1}(t_{1})\cdot (1-t_{1})\cdot (1-t_{2})\\&&&&+&\gamma _{2}(t_{2})\cdot t_{1}\cdot (1-t_{2})\\&&&&+&\gamma _{3}(t_{1})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\&&&&+&\gamma _{4}(t_{2})\cdot (1-t_{1})\cdot t_{2}\end{array}}$

Dabei sind $\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\gamma _{4}$ Weg über den Rand von Kreissegmenten, die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10

In der obigen Animation wurde zugehörige $(t_{1},t_{2})\in [0,1]\times [0,1]$ aus dem Definitionsbereich für $\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})=z\in {\overline {D_{r}(z_{0})}}$ ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

Definition der orientierten Fläche - Schritt 11

Damit lässt sich der Punkt $z\in {\overline {D_{r}(z_{0})}}$ als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:

$\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})=z=z_{0}+v_{1}+v_{2}$

Da die blau bzw. grün markierten Vektoren $v_{1},v_{2}\in \mathbb {C}$ von der Wahl von $(t_{1},t_{2})\in [0,1]\times [0,1]$ abhängen, werden diese als Funktion $v_{1}(t_{1},t_{2})$ bzw. $v_{2}(t_{1},t_{2})$ notiert.

$\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})=z_{0}+v_{1}(t_{1},t_{2})+v_{2}(t_{1},t_{2})$

Definition der orientierten Fläche - Schritt 12

Die grün markierte Vektor wird als Funktionen $v_{1}(t_{1},t_{2})$ dabei wie folgt definiert.

${\begin{array}{rccl}v_{1}:&[0,1]\times [0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&(t_{1},t_{2})&\mapsto &r\cdot \cos \left({\tfrac {\pi }{2}}\cdot t_{2}-{\tfrac {\pi }{4}}\right)\cdot (2\cdot t_{1}-1)\end{array}}$

Definition der orientierten Fläche - Schritt 13

Die blau markierte Vektor wird als Funktionen $v_{2}(t_{1},t_{2})$ analog mit vertauschten Rollen von $t_{1}$ und $t_{1}$ definiert.

${\begin{array}{rccl}v_{2}:&[0,1]\times [0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&(t_{1},t_{2})&\mapsto &r\cdot i\cdot \cos \left({\tfrac {\pi }{2}}\cdot t_{1}-{\tfrac {\pi }{4}}\right)\cdot (2\cdot t_{2}-1)\end{array}}$

Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege

In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem Wegintegral über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung $\gamma {\,}'$ eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das Wegintegral über den Kreisrand ist nach dem Cauchy-Integralsatz für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das Flächenintegral mit der zugehörigen orientierten Fläche.

Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche

Sei $r>0$ der Radius des Kreises mit Mittelpunkt $z_{0}\in \mathbb {C}$. Dann definiert $\gamma _{_{D}}:\to \mathbb {C}$ Standardkreisscheibe mit dem Bild ${\overline {D_{r}(z_{0})}}$ über

${\begin{array}{rrcl}\gamma _{_{D}}:&[0,r]\times [0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&(t_{1},t_{2})&\mapsto &\gamma _{_{D}}(t_{1},t_{2})=z_{0}+t_{1}\cdot e^{i\cdot t_{2}}\end{array}}$

mit dem Gradienten $Grad(\gamma _{_{D}})(t_{1},t_{2})={\big (}e^{i\cdot t_{2}},i\cdot t_{1}\cdot e^{i\cdot t_{2}}{\big )}$.

Animation - orientierte Kreisscheibe

Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra

Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung

Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\underset {\gamma _{\circ }}{\iint }}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{r}f(\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2}))\cdot {\tfrac {d\gamma _{\circ }}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})\,dt_{1}\right)\cdot {\tfrac {d\gamma _{\circ }}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}\\&=&\displaystyle {\bigg [}\,\,{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{r}\,\,{\bigg ]}_{0}^{2\pi }\\\end{array}}$

Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche

Setzt man die Integralgrenzen der orientierten Fläche in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\underset {\gamma _{\circ }}{\iint }}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle {\bigg [}{\bigg [}F(\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})){\bigg ]}_{0}^{r}{\bigg ]}_{0}^{2\pi }\\&=&F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{\circ }(r,2\pi ){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{\circ }(r,0){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{\circ }(0,2\pi ){\big )}+F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{\circ }(0,0){\big )}\\&=&F_{_{\Box }}{\big (}z_{0}+r){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}z_{0}+r{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}z_{0}{\big )}+F_{_{\Box }}{\big (}z_{0}{\big )}=0\\\end{array}}$

Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion

Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\underset {\gamma _{\circ }}{\iint }}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\pi }f(\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2}))\cdot {\tfrac {d\gamma _{\circ }}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})\,dt_{1}\right)\cdot {\tfrac {d\gamma _{\circ }}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}\\&=&\displaystyle {\bigg [}\,\,{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{\pi }\,\,{\bigg ]}_{0}^{1}\\\end{array}}$

Integralgrenzen der orientierte Fläche

Setzt man die Integralgrenzen der orientierten Fläche in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\underset {\gamma _{\circ }}{\iint }}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle {\bigg [}{\bigg [}F(\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})){\bigg ]}_{0}^{\pi }{\bigg ]}_{0}^{1}\\&=&F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{\circ }(\pi ,1){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{\circ }(\pi ,0){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{\circ }(0,1){\big )}+F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{\circ }(0,0){\big )}\\&=&F_{_{\Box }}{\big (}z_{0}+r){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}z_{0}+r{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}z_{0}-r{\big )}+F_{_{\Box }}{\big (}z_{0}-r{\big )}=0\\\end{array}}$

Kreisscheibe als orientierte Fläche

Behandelt man Kreisscheiben als orientierte Fläche über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von $\gamma _{\circ }:[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ über $\gamma _{_{\circ }}$ und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der Flächenstammfunktion bei einem Rechteck und der Bildpunkt und $\gamma _{_{\circ }}$ von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige orientierte Fläche von $\gamma _{\circ }$ durch eine Animation veranschaulicht wurde.

Bemerkung zu Übungen

Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit $z_{0}+re^{it}$ als Integrationsweg.

Orientierte Fläche als Rechtecktransformation

Sei $r>0$ der Radius des Kreises mit Mittelpunkt $z_{0}\in \mathbb {C}$. Dann definiert $\gamma _{\circ }:\to \mathbb {C}$ orientierte Fläche als Rechtecktransformation mit dem Bild ${\overline {D_{r}(z_{0})}}\subset G$ über

${\begin{array}{rrcl}\gamma _{\circ }:&[0,\pi ]\times [0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&(t_{1},t_{2})&\mapsto &\gamma _{\circ }(t_{1},t_{2})=z_{0}+r\left((1-t_{2})e^{it_{1}}+t_{2}e^{-it_{1}}\right)\end{array}}$

mit dem Gradienten $Grad(\gamma _{\circ })(t_{1},t_{2})=r{\bigg (}e^{-it_{1}}\,,\,-2i\sin(t_{1}){\bigg )}$.

Bemerkung 1 - Wegdefinition

Der orientierte Weg ist eine Konvexkombination $(1-t_{2})\cdot \gamma _{1}+t_{2}\cdot \gamma _{2}$ von zwei Wegen $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ auf $[0,\pi ]$:

• Der Weg $\gamma _{1}(t_{1})=z_{0}+r\cdot e^{it_{1}}$ startet bei $z_{0}+r$ und läuft mit $t_{1}\in [0,\pi ]$ über die obere Hälfte des Kreisrandes von ${\overline {D_{r}(z_{0})}}$ bis $z_{0}-r$. $\gamma _{1}(t_{1})$ ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
• Der Weg $\gamma _{2}(t_{1})=z_{0}+r\cdot e^{-it_{1}}$ startet ebenfalls bei $z_{0}+r$ und läuft mit $t_{1}\in [0,\pi ]$ über die untere Hälfte des Kreisrandes ${\overline {D_{r}(z_{0})}}$ bis $z_{0}-r$. $\gamma _{2}(t_{1})$ ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

Trigonometrische Funktionen und Gradient

Die Berechnung des Gradienten $Grad(\gamma _{\circ })$ liefert zunächst einmal:

$Grad(\gamma _{\circ })(t_{1},t_{2})=r{\bigg (}(1-t_{2})e^{it_{1}}+t_{2}e^{-it_{1}}\,,\,e^{-it_{1}}-e^{it_{1}}{\bigg )}$

Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die Eulersche Formel $e^{it_{1}}=\cos(t_{1})+i\sin(t_{1})$:

• $\sin(t_{2})={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t_{2}}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t_{2}}\right)$ mit $-\sin(t_{2})=\sin(-t_{2})$
• $\cos(t_{2})={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t_{2}}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t_{2}}\right)$ mit $\cos(t_{2})=\cos(-t_{2})$

Partielle Ableitungen - Umformungen 1

Für ${\tfrac {d\gamma _{\circ }}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})$ gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {d\gamma _{\circ }}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})&=&\displaystyle r\cdot {\big (}(1-t_{2})e^{it_{1}}+t_{2}e^{-it_{1}}{\big )}\\&=&r\cdot {\big (}e^{it_{1}}+t_{2}\cdot (e^{-it_{1}}-e^{it_{1}}){\big )}\\&=&r\cdot {\big (}e^{it_{1}}-2i\cdot t_{2}\cdot \sin(t_{1}){\big )}\\\end{array}}$

Partielle Ableitungen - Umformungen 2

Für ${\tfrac {d\gamma _{\circ }}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})$ erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {d\gamma _{\circ }}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})&=&\displaystyle r\cdot {\big (}e^{-it_{1}}-e^{it_{1}}{\big )}=-r\cdot 2i\cdot \sin(t_{2})\\\end{array}}$

Gradient der orientierten Fläche

Damit ergibt sich der obige Gradient:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle Grad(\gamma _{\circ })(t_{1},t_{2})&=&r{\bigg (}e^{it_{1}}-2i\cdot t_{2}\cdot \sin(t_{1})\,,\,-2i\sin(t_{1}){\bigg )}\\&=&r{\bigg (}e^{it_{1}}\,,\,0{\bigg )}-r\cdot 2i\cdot \sin(t_{1})\cdot {\bigg (}t_{2}\,,\,1{\bigg )}\\\end{array}}$.

Wahl der orientierten Fläche

Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine orientierte Fläche führt analog zu Wegintegralen über Rechtecke dazu, dass der Wert des Integrals über die orientierte Fläche nur von der Flächenstammfunktion $F_{_{\Box }}$ von $f$ und den Bilder von $\gamma :[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral $\iint _{\gamma }f(z)\,d^{2}\!z$ ist durch $F_{_{\Box }}(\gamma (a_{1},a_{2}))$, $F_{_{\Box }}(\gamma (a_{1},b_{2}))$, $F_{_{\Box }}(\gamma (b_{1},a_{2}))$ und $F_{_{\Box }}(\gamma (b_{1},b_{2}))$ bereits festgelegt.

Approximation durch Polygone

Nach dem Lemma für Rechteckintegrale kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale kann das orientierte Flächenintegral über Polygone auf das alternierende Randwegintegral über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken.

Approximation durch Rechtecke

Nach dem Approximationssatz für Dreiecke wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde.

Translationsinvarianz nicht gegeben

Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ nicht notwendigerweise konstant ist.

Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, $r_{o}>0$ der Radius des Kreises mit Mittelpunkt $z_{0}\in \mathbb {C}$ mit $D_{r_{o}}(z_{0})\subset G$. Dann definiert mit dem Bild ${\overline {D_{r}(z_{0})}}$ und dem Entwicklungspunkt $z_{0}\in G$ der Flächenstammfunktion $F_{_{\Box }}:D_{r_{o}}(z_{0})\to \mathbb {C}$. Sei $(R_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe $D_{r}(z_{0})$ mit $r<r_{0}$ überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe $\gamma _{_{\overline {D_{r}(z_{0})}}}$ ist dann über Summe der Integrale über $\gamma _{_{R_{n}}}$ als zugehörige orientierte Flächen defininert:

$\iint _{\gamma _{_{\overline {D_{r}(z_{0})}}}}\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z=\sum _{n=1}^{\infty }\iint _{\gamma _{_{R_{n}}}}\!\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z$

Veranschaulichung - Rechteckapproximation

Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export

Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität

In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke $R_{i}\cap R_{j}$ mit $i\not =j$ Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die Nullmengen-$\sigma$-Additivität als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der $\sigma$-Additivität erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

Aufgabe 1 - alternierende Randwege

Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen und das Darstellungslemma für Rechteckintergrale über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch alternierender Randweg). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die alternierenden Randwegintegrale bei der orientierten Fläche übrig bleiben.

Veranschaulichung - alternierende Randweg

Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG

Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral

Ergänzen Sie analog zum Darstellungslemma für Dreiecksintegrale nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks

• entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
• wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und
• sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren.

Insgesamt soll wieder ein alternierender Randweg entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, $r_{o}>0$ der Radius des Kreises mit Mittelpunkt $z_{0}\in \mathbb {C}$ mit $D_{r_{o}}(z_{0})\subset G$. Dann definiert mit dem Bild ${\overline {D_{r}(z_{0})}}$ und dem Entwicklungspunkt $z_{0}\in G$ der Flächenstammfunktion $F_{_{\Box }}:D_{r_{o}}(z_{0})\to \mathbb {C}$. Sei $V(m)$ ein regelmäßiges $m$-Eck mit $m:=4\cdot 3^{n}$ Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als alternierender Randweg über $V(m)$ beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:

$\iint _{\overline {D_{r}(z_{0})}}f(z)\,d^{2}\!z=\lim _{n\to \infty }\iint _{V(4\cdot 3^{n})}f(z)\,d^{2}\!z$

Beweisidee

Für $n=0$ erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von $n$ auf $n+1$ mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein $m$-Eck in ein $3\cdot m$-Eck (also für $n=1$ in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen $F_{_{\Box }}$ von $f$ in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem $m$-Eck in ein $2m$-Eck nicht möglich.

Anzahl der Ecken

Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen $F_{_{\Box }}$ in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl $m=4\cdot 3^{n}$ pro Verfeinung von $m$-Eck zum $3m$-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

Additives Flächenintegral

Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für $V(m+1)$ und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons $V(m)$ zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über $V(m+1)$.

Siehe auch

• Approximationssatz für Dreiecke
• Differentialgeometrie
• Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen
• Extremalpunkt
• Flächenintegrale in der Funktionentheorie
• Flächenintegrale über Rechtecke
• Flächenintegrale über Dreiecke
• Kurvenintegral
• orientierte Fläche
• Satz von Krein-Milman
• Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen
• Flächenintegralsatz für Dreiecke
• Riemannsche Fläche
• Substitutionsregel
• Transformationsformel

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