Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke

Einleitung

Die Berechnung von orientierten Flächen von Polygonen erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks (Polygone) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die $\sigma$-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei orientierten Flächen sind Nullmengen bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen $\sigma$-Algebra ${\mathcal {B}}(\mathbb {C} )$ bzw. ${\mathcal {B}}(G)$ für eine Gebiet $G$.

Nullmengen-Sigma-Additivität

Die Nullmengen-Sigma-Additivität erweitert die Axiom der $\sigma$-Additivität von paarweise disjunkte Mengen $A_{n}$ auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt Nullmengen sind.

Dreieckszerlegung

Die Berechnung des Integrals für eine orientierte Fläche für eine Polygon mit $V:=\langle z_{1},\ldots ,z_{n}\rangle$ erfolgt über Zerlegung des $n$-Ecks in $n$ Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke.

Flächenintegralsatz für Dreiecks

Für einzelne Dreiecke kann man den Flächenintegralsatz für Dreiecke für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken.

Veranschaulichung - alternierender Randweg

Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes $z_{0}$ im Inneren der konvexe Hülle $Conv(\{z_{1},\ldots ,z_{n}\})$ der Eckpunkte $z_{1},\ldots ,z_{n}\in G$. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt.

alternierendes Randwegintegral für Polygone

Bemerkung - orientiertes Flächenintegral

Ziel ist das Integral über die Funktion $f:G\to \mathbb {C}$, wobei die konvexe Hülle $Conv(\{z_{1},\ldots ,z_{n}\})$ der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches $G$ der Funktion $f$ ist.

Darstellungslemma für Polygonintegrale

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion bei der die Eckpunkte $z_{1},\ldots ,z_{n}\in G$ des Polygon $V(n):=V(z_{1},\ldots ,z_{n})$, wobei die konvexe Hülle $Conv(\{z_{1},\ldots ,z_{n}\})\subseteq G$ in $G$ liegt. Mit der Stammfunktion $F$ und der Flächenstammfunktion $F_{_{\Box }}$. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die orienterte Polygonfläche $\gamma _{_{V_{n}}}$ folgende Darstellungen (P1-P2):

(P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion

Mit der Stammfunktion $F:G\to \mathbb {C}$ von $f$ folgende Darstellung (P1):

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{V(n)}}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \iint _{\gamma _{_{V(n-1)}}}f(z)\,d^{2}\!z+(-1)^{n+1}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot {\bigg (}{\underset {\langle z_{n},z_{1}\rangle }{\int }}F(z)\,dz\\&&\displaystyle -\!\!\!\!{\underset {\langle z_{n},z_{n+1}\rangle }{\int }}\!\!\!F(z)\,dz+\!\!\!\!{\underset {\langle z_{n+1},z_{1}\rangle }{\int }}\!\!\!F(z)\,dz{\bigg )}\\\end{array}}$

(P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion

Mit der Stammfunktion $F:G\to \mathbb {C}$ von $f$ hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den alternierenden Randweg mit $z_{n+1}:=z_{1}$:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{V(n)}}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\cdot \!\!\!\!{\underset {\langle z_{k},z_{k+1}\rangle }{\int }}{\frac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz\\\end{array}}$

Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale

Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen $F_{_{\Box }}$ im Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges $\langle z_{1},z_{2}\rangle$ vom Integral über den Weg $\langle z_{3},z_{4}\rangle$.

Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity

Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen

In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet $\gamma :=\langle z_{i},z_{k}\rangle$ einen Integrationweg, der als Konvexkombination wie folgt definiert ist.

${\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=(1-t)\cdot z_{i}+t\cdot z_{k}\end{array}}$

Ferner gilt ${\textstyle \int _{\langle z_{k},z_{i}\rangle }F(z)\,dz=-\int _{\langle z_{i},z_{k}\rangle }F(z)\,dz}$ über die innere Ableitung der Parametertransformation.

Beweis - Übungsaufgabe

Fertigen Sie für (P1) und (P2) zunächst eine Skizze an mit der Sie Ihre Beweisidee begründen. Ersetzen Sie dazu ggf. die Wegintegral entsprechend, indem Sie weiter Paare von Wegintegrale ergänzen, die sich in der Summe annullieren. Diese Vorgehen kennen Sie bereits beim Lemma von Goursat oder dem Approximationssatz für Dreiecke.

Siehe auch

• Nullmenge in der Stochastik
• Darstellungslemma für Rechteckintergrale
• Darstellungslemma für Dreiecksintegrale

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