Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke

Einleitung

Bei der Behandlung von orientierten Flächen hängt der Wert des Integrals analog zum Wegintegral nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum Flächenintegral über ein Rechteck.

Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion mit der Flächenstammfunktion $F_{\Box }$ . Das Viereck $V:={\mathcal {V}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})$ mit $Conv(\{z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\})\subset G$ wird durch die orientierte Fläche $\gamma _{_{V}}:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb {C}$ mit

\gamma _{_{V}}(t_{1},t_{2}):=(1-t_{2}){\bigg (}(1-t_{1})z_{1}+t_{1}z_{2}{\bigg )}+t_{2}{\bigg (}(1-t_{1})z_{4}+t_{3}z_{2}{\bigg )}

definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck $\gamma _{_{V}}$ gilt dann:

\iint _{\gamma _{_{V}}}f(z)\,d^{2}\!z=\sum _{k=1}^{4}(-1)^{k+1}\cdot F_{\Box }(z_{k})

Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck

Viereck als Konvexkombination von Konvexkombinationen

In der obigen Animation ist zu erkennen, dass das Viereck als Konvexkombination von zwei Konvexkombination auf den Seiten $\langle z_{1},z_{2}\rangle$ und $\langle z_{4},z_{3}\rangle$ gebildet wurde.

Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion

Mit dem Vorzeichenwechsel für die Flächenstammfunktion in Abhängigkeit von dem Index $k$ von $z_{k}$ erhält man eine alternierende Summe $\sum _{k=1}^{4}(-1)^{k+1}\cdot \ldots$ analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte $z_{k}$ mit $\oplus$ und $\ominus$ in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt.

Alternierender Randweg

Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das orientierte Flächenintegral als einen Integral über eine alternierenden Randweg bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen $\sum _{k=1}^{4}(-1)^{k+1}\cdot F_{_{\Box }}(z_{k})$ aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg.

Beweis - Lemma für Viereckintegrale

Da $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion besitzt $f$ über die Holomorphiekriterien lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle $Conv(\{z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\})\subset G$ in $G$ liegt. So gibt es eine Stammfunktion $F$ (siehe Stammfunktion als Wegintegral). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen). Das Flächenintegral wird durch die orientierte Fläche $\gamma _{_{V}}:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb {C}$ mit $\gamma _{_{V}}(t_{1},t_{2})$ definiert.

Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten

Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt:

{\begin{array}{rcl}\gamma _{_{V}}(t_{1},t_{2})&=&(1-t_{2}){\bigg (}(1-t_{1})z_{1}+t_{1}z_{2}{\bigg )}+t_{2}{\bigg (}(1-t_{1})z_{4}+t_{2}z_{3}{\bigg )}\\{\frac {d\gamma _{_{V}}}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})&=&(z_{3}-z_{4})\cdot t_{2}+(z_{2}-z_{1})\cdot (1-t_{2})\\{\frac {d\gamma _{_{V}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})&=&z_{4}+(z_{3}-z_{4})\cdot t_{1}-z_{1}-(z_{2}-z_{1})\cdot t_{2}\\\end{array}}

Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral

Für die holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ ist das Flächenintegral über das Viereck $V\subset G$ allgemein durch die orientierte Fläche $\gamma _{_{V}}:[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ mit $\gamma _{_{V}}(t_{1},t_{2})$ definiert.

\iint _{\gamma _{_{V}}}f(z)\,d^{2}\!z=\int _{a_{2}}^{b_{2}}\left(\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(\gamma _{_{V}}(t_{1},t_{2}))\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{V}}}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})\,dt_{1}\right)\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{V}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}

Die partiellen Ableitungen von $\gamma _{_{V}}(t_{1},t_{2})$ für die orientierte Fläche wurden in Beweisschritt 1 berechnet.

Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals

Eine holomorphe Funktion besitzt auf einfach zusammenhängenden Gebieten (also inbesondere konvexen Mengen) eine Stammfunktion. Sei $F$ nun eine Stammfunktion von $f$ auf einer konvexen offenen Menge $U\subset G$ , die das Viereck $V\subset U$ enthält. Wenn $f$ eine Stammfunktion $F$ besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von $[a_{1},b_{1}]:=[0,1]$ nach $U$ und es gilt:

\iint _{\gamma _{_{V}}}f(z)\,d^{2}\!z=\int _{a_{2}}^{b_{2}}{\bigg (}F{\big (}\gamma _{_{V}}(1,t_{2}){\big )}-F{\big (}\gamma _{_{V}}(0,t_{2}){\big )}{\bigg )}\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{V}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}

Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen ${\tfrac {d\gamma _{_{V}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})$ aus Beweisschritt 1 verwendet.

Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung

Da auch die Stammfunktion $F$ auf der konvexen offenen Menge $U$ mit $V\subset U\subset G$ eine holomorphe Funktion ist, existiert auch für $F$ eine Stammfunktion $F_{\Box }$ . Die holomorphe Funktion $F_{\Box }:U\to \mathbb {C}$ ist eine Flächenstammfunktion und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle $z\in U$ :

(F_{\Box })''(z)=F'(z)=f(z)

Nach dem Differenzsatz für Stammfunktionen unterscheiden sich zwei beliebige Flächenstammfunktionen um einen affinen Term $p(z)=a_{1}\cdot z+a_{0}$ mit $a_{0},a_{1}\in \mathbb {C}$ .

Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals

Mit der Flächenstammfunktion $F_{\Box }$ als Stammfunktion 2. Ordnung von $f$ auf einer konvexen offenen Menge $U\subset G$ , kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck $R\subset U$ für die holomorphe Funktion $F$ berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von $[a_{2},b_{2}]:=[0,1]$ nach $U$ . Wenn man die partielle Ableitung ${\tfrac {d\gamma _{_{V}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})$ in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{V}}}\!\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \int _{a_{2}}^{b_{2}}\!\!{\bigg (}F{\big (}\gamma _{_{V}}(1,t_{2}){\big )}-F{\big (}\gamma _{_{V}}(0,t_{2}){\big )}{\bigg )}\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{V}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,dt_{2}\\&=&\displaystyle {\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{R}}(1,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{a_{2}}^{b_{2}}-{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{R}}(0,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{a_{2}}^{b_{2}}\\\end{array}}

Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks

Durch die Differenz der Flächenstammfunktionen $F_{\Box }$ wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von $f$ in den Eckpunkten des Vierecks $V$ aus. Damit erhält man mit $[a_{2},b_{2}]=[0,1]$ :

{\begin{array}{lc}{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{V}}(1,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{1}-{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{V}}(0,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{1}&=\\\displaystyle {\bigg (}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{V}}(1,1){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{V}}(1,0){\big )}{\bigg )}-{\bigg (}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{V}}(0,1){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{V}}(0,0){\big )}{\bigg )}&=\\F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{V}}(1,1)} _{=:z_{3}}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{V}}(1,0)} _{=:z_{2}}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{V}}(0,1)} _{=:z_{4}}{\big )}+F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{V}}(0,0)} _{=:z_{1}}{\big )}\end{array}}

Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme

Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Viereck $\gamma _{_{V}}$ die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion $F_{\Box }$ in den Eckpunkten $z_{1},z_{2},z_{3}$ und $z_{4}$ von $V$ :