Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke

Einleitung

Diese Seite zum Flächenintegralsatz für Dreiecke kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

Flächenintegrale über Dreiecke als orientierte Flächen über Flächenstammfunktionen $F_{_{\Box }}$ und Wegintegrale über Stammfunktionen $F$
Korollar 1 zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes
Korollar 2 zu Rechenregeln für Randwegintegrale und der Einfluß der Orientierung als Gradient auf das Wegintegral
Korollar 3 Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand.

Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche

Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen:

{\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\Grad\left(\gamma _{_{\Delta }}\right)(t_{1},t_{2})&=&{\bigg (}(z_{2}-z_{1})+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{2}\,\,\,,\,\,\,(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}{\bigg )}\in \mathbb {C} ^{2}\end{array}}

Der Gradient ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte $z\in \Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ .

Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen

Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle $z=\gamma (t_{1},t_{2})$ im Dreieck $\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ eingetragen.

Flächenintegralsatz für Dreiecke

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Das Integral über das konvexe Dreieck $\Delta =\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ mit den Eckpunkte mit $z_{1},z_{2},z_{3}\in G$ ist über die folgende orientierte Fläche auf $[0,1]\times [0,1]$ :

\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})=z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}

definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion $F$ und Flächenstammfunktion $F_{\Box }$ von $f$ :

{\underset {\gamma _{_{\Delta }}}{\iint }}f(z)\,d^{2}\!z=\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi =\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi =F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})

Veranschaulichung der Integraldarstellung 1

Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die orientierte Fläche $\gamma _{_{\Delta }}$ durch ein Randwegintegrale über die Stammfunktion $F$ von $f$ mit den Weg $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ ausgedrückt werden kann.

Veranschaulichung der Integraldarstellung 2

Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die orientierte Fläche $\gamma _{_{\Delta }}$ durch ein Randwegintegrale über die Stammfunktion $F$ von $f$ analog zu $F(b)-F(a)$ in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen $\langle z_{1},z_{3}\rangle$ und $\langle z_{1},z_{2}\rangle$ darstellen.

Aufgabe - Lemma von Goursat

Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals $\langle z_{1},z_{2}\rangle$ über $F$ durch Addition des Wegintegrals $\langle z_{2},z_{1}\rangle$ darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das Lemma von Goursat nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor.

Beweis - Flächenintegralsatz

Nach der Definition Flächenintegrale verwendet man nach Voraussetzung $\gamma _{_{\Delta }}$ für die orientierte Fläche:

{\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\Grad\left(\gamma _{_{\Delta }}\right)(t_{1},t_{2})&=&{\bigg (}(z_{2}-z_{1})+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{2}\,\,\,,\,\,\,(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}{\bigg )}\in \mathbb {C} ^{2}\end{array}}

Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral

Die orientierte Dreiecksfläche wendet man der erhält man die Definition der Flächenintegrale an:

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z=\int _{a_{2}}^{b_{2}}\left(\int _{a_{2}}^{b_{2}}f(\gamma (t_{1},t_{2}))\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})\,dt_{1}\right)\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}

Die stetigen partiellen Ableitungen sind dabei ${\tfrac {d\gamma {_{_{\Delta }}}}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})=(z_{2}-z_{1})+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{2}\in \mathbb {C}$ und ${\tfrac {d\gamma {_{_{\Delta }}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})=(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\in \mathbb {C}$ . Die Integralgrenze sind in diesem Fall $a_{1}=a_{2}=0$ und $b_{1}=b_{2}=1$ .

Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals

Sei $U\subset G$ eine konvexe offene Umgebung von $\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})\subset U$ . Da $f$ als holomorphe Funktion lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion $F:U\to \mathbb {C}$ für $f$ eingeschränkt auf $U$ wählen. Zunächst wird das innere Integral nach $t_{1}$ mit der stetigen partiellen Ableitung ${\tfrac {d\gamma {_{_{\Delta }}}}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})=z_{2}-z_{1}\in \mathbb {C}$ berechnet und man erhält:

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z=\int _{0}^{1}{\bigg (}F(\gamma _{_{\Delta }}{\big (}1,t_{2}){\big )}-F(\gamma _{_{\Delta }}{\big (}0,t_{2}){\big )}{\bigg )}\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}

Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte

Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion $F:U\to \mathbb {C}$ berechnet. Man erhält durch Einsetzen von $t_{1}$ in Definition von $\gamma _{_{\Delta }}$ für alle $t_{2}\in [0,1]$ :

{\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}{\big (}1,t_{2})&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{2}\\&=&z_{2}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{2}\\\gamma _{_{\Delta }}{\big (}0,t_{2})&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot 0+(z_{3}-z_{2})\cdot 0\cdot t_{2}\\&=&z_{1}\\\end{array}}

Damit gilt $\gamma _{_{\Delta }}{\big (}1,0)=z_{2}$ , $\gamma _{_{\Delta }}{\big (}1,1)=z_{3}$ und $z_{1}=\gamma _{_{\Delta }}{\big (}0,0)=\gamma _{_{\Delta }}{\big (}0,1)$ .

Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals

Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die Flächenstammfunktion $F_{_{\Box }}:U\to \mathbb {C}$ eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von $f:G\to \mathbb {C}$ die folgende Darstellung:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{\Delta }}}\!\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z\!\!\!\!&=&\!\!\!\!\!\!\displaystyle \int _{0}^{1}\!\!\!\!F{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,t_{2}){\big )}\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,dt_{2}-\!\!\int _{0}^{1}\!\!\!\!F{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,t_{2}){\big )}\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{\Delta }}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,dt_{2}\\&=&\displaystyle \underbrace {{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{1}} _{=F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})}-\,\,\,\underbrace {{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{1}} _{=F_{_{\Box }}(z_{1})-F_{_{\Box }}(z_{1})=0}\\\end{array}}

Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche

Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit:

{\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(1,1)&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})+(z_{3}-z_{2})=z_{3}\\\gamma _{_{\Delta }}(1,0)&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})=z_{2}\\\gamma _{_{\Delta }}(0,1)&=&z_{1}\ \,\,=\ \,\,\gamma _{_{\Delta }}(0,0)\\\end{array}}

Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks

Durch die Differenz der Flächenstammfunktionen $F_{\Box }$ wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von $f$ in den Eckpunkten des Dreiecks $\Delta$ aus. Damit erhält man:

{\begin{array}{lc}{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{1}-\,\,\,{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{0}^{1}&=\\\displaystyle {\bigg (}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,1){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(1,0){\big )}{\bigg )}-{\bigg (}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,1){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{\Delta }}(0,0){\big )}{\bigg )}&=\\F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(1,1)} _{=:z_{3}}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(1,0)} _{=:z_{2}}{\big )}\underbrace {-F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(0,1)} _{=:z_{1}}{\big )}+F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{\Delta }}(0,0)} _{=:z_{1}}{\big )}} _{=0}\end{array}}

Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals

Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für $\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ bzgl. $f$ als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion $F$ von $f$ :

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z=\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi =\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi =F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})

Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat

Nach dem Lemma von Goursat angewendet auf eine Stammfunktion $F$ von $f$ erhält man:

0=\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi +\!\!\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi +\!\!\!\!\!\underbrace {{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi } _{=-{\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi }

Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale

Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der Flächenintegralsatz für Dreiecke.

{\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\quad \int \quad }}\!\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi \,\,\,\,-{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi \,\,\,\,={\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi +\!\!\!\!\!

$\quad q.e.d.$ .

Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung

Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche $\gamma _{_{\Delta }}$ ab. Die Definition von $\gamma _{_{\Delta }}$ basierte auf Konvexkombinationen als orientierte Fläche. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei Flächenstammfunktion als Stammfunktion zweiter Ordnung.

Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt

Sei $G$ einfach zusammenhängend und $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Das Integral über das konvexe Dreieck $\Delta =\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})\subset G$ mit den Eckpunkte mit $z_{1},z_{2},z_{3}\in G$ , dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) $z_{1}$ der beiden Wegintegrale über $F$ .

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z=\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}\!F(\xi )\,\,d\xi =F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})

Beweis - Korollar 1

Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen:

(K1.1) Unabhängigkeit von der Wahl von $z_{1}$ in $G$ als Anfangspunkt,
(K1.2) Unabhängigkeit von der Wahl von $z_{1}$ in $G$ als Endpunkt von zwei Wegintegral über $F$ .

Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl

Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion $F_{_{\Box }}$ , die in zwei Eckpunkten $z_{2}$ und $z_{3}$ .

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z=F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})

Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) $z_{1}$ der Darstellung der orientierten Fläche über Konvexkombination über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit $F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})$ nicht von $z_{1}$ abhängt.

Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt

Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der orientierten Fläche gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen:

( $z_{1}$ Anfangspunkt) ${\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\underset {z_{1}}{\int }}}\!\!F(\xi )\,\,d\xi$ der Weg $\langle z_{1},z_{1}\rangle$ wird mit wachsenden $t_{1}$ transformiert zu $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ .
( $z_{1}$ Endpunkt) ${\overset {\quad \quad z_{1}\quad }{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}}\!\!\!\!\!F(\xi )\,\,d\xi$ Dabei kontrahiert der Weg $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ zu einem Punkt $z_{1}$ für wachsendes $t_{1}$ in der orientierten Fläche $\gamma _{_{\Delta }}$ .

Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. Definition Flächenintegrale um ein Vorzeichen (K2D).

Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes

Bei der Wahl von $z_{1}$ muss man lediglich darauf zu achten, dass die konvexe Dreiecksfläche $\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ ganz in dem Gebiet $G$ für die holomorphen Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ liegt.

Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale

Sei $G$ einfach zusammenhängend und $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Das Integral über das konvexe Dreieck $\Delta =\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})\subset G$ mit den Eckpunkte mit $z_{1},z_{2},z_{3}\in G$ , dann hat das Flächenintegral über $\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ folgende Darstellungen als Randwegintegral für Dreiecke über $F$ :

\iint _{\Delta }f(z)\,d^{2}\!z\,\,{\stackrel {(1)}{=}}\!{\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}\!\!\!f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,{\stackrel {(2)}{=}}-\!\!\!{\overset {\langle z_{3},z_{2}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}\!\!\!f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,{\stackrel {(3)}{=}}\!\!\!{\overset {z_{1}}{\underset {\langle z_{3},z_{2}\rangle }{\iint }}}\!f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,{\stackrel {(4)}{=}}-\!\!\!{\overset {z_{1}}{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,

Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln

Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für Randwegintegrale in Dreiecke einer Stammfunktion $F$ von $f$ . Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken.

Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung

Nach dem Flächenintegralsatz für Dreiecke gilt die Aussage:

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z={\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi =F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})

Damit stimmt das Randintegral für Dreiecksflächen für die zugehörige orientierte Fläche mit dem Flächenintegral über $\gamma _{_{\Delta }}$ bzgl. $f$ überein.

{\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z=\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z

Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel

Nach dem Flächenintegralsatz für Dreiecke gilt analog die Aussage:

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z=-\left(\,\,\,{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi \right)=-{\overset {\langle z_{3},z_{2}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z

Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des Randintegral für Dreiecksflächen ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über $\gamma _{_{\Delta }}$ bzgl. $f$ überein.

-{\overset {\langle z_{3},z_{2}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z=\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z

Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege

Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von $\langle z_{1},z_{3}\rangle$ zu $\langle z_{3},z_{1}\rangle$ bzw. von $\langle z_{1},z_{2}\rangle$ zu $\langle z_{2},z_{1}\rangle$

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z=-\!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi +\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi ={\overset {z_{1}}{\underset {\langle z_{3},z_{2}\rangle }{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z

Damit wird $z_{1}$ zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über $\Delta$ und man erhält als Randintegral für Dreiecksflächen die Berechnung.

{\overset {z_{1}}{\underset {\langle z_{3},z_{2}\rangle }{\quad \iint \quad }}}f(z)\,d^{2}\!z=\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z

Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel

Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von $\langle z_{1},z_{3}\rangle$ zu $\langle z_{3},z_{1}\rangle$ bzw. von $\langle z_{1},z_{2}\rangle$ zu $\langle z_{2},z_{1}\rangle$ und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann:

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z=-\left(\,\,\,{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi \right)=-{\overset {z_{1}}{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z

Damit wird $z_{1}$ bzw. Weg $\langle z_{1},z_{1}\rangle$ zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über $\Delta$ und man erhält als Randintegral für Dreiecksflächen die Berechnung. $\quad q.e.d.$

Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand

Sei $G$ einfach zusammenhängend und $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Das Integral über das konvexe Dreieck $\Delta =\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})\subset G$ mit den Eckpunkte mit $z_{1},z_{2},z_{3}\in G$ , dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) $z_{1}$ der beiden Wegintegrale über $F$ .