Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion

Einleitung

Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die Flächentammfunktionen dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für holomorphe Funktionen (siehe Flächenintegrale für Rechtecke) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu Stammfunktionen und Wegintegralen hergestellt.

Stammfunktion als Wegintegral

Die Stammfunktion $F(z)$ ist als Wegintegral von einem festen Punkt $z_{o}\in G$ zu dem Punkt $z\in G$ als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist $G$ ein konvexes Gebiet und $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Dann besitzt $f$ nach dem (siehe Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale eine Stammfunktion $F:G\to \mathbb {C}$ auf $G$ , die als Wegintegral von $z_{0}\in G$ nach $z$ wie folgt definiert ist.

F(z):=\int _{\gamma _{z}}f(\xi )\,d\xi =\int _{\langle z_{o},z\rangle }f(\xi )\,d\xi

Dabei ist $\gamma _{z}$ die Konvexkombination mit $\gamma _{z}(t)=(1-t)\cdot z_{o}+t\cdot z$

Flächenstammfunktion als Wegintegral

Die Stammfunktion $F(z)$ ist nun wiederum ein holomorphe Funktion. Für diese kann man wieder ein Wegintegral von einem festen Punkt $z_{o}\in G$ zu dem Punkt $z\in G$ als Argument der Flächenstammfunktion definieren, da $G$ nach Voraussetzung einfach zusammenhängend ist. Im einfachsten Fall ist $G$ wieder ein konvexes Gebiet. Dann besitzt die holomorphe Funktion $F$ nach dem Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale wieder eine Stammfunktion $F_{\Box }:G\to \mathbb {C}$ auf $G$ , die als Wegintegral von $z_{0}\in G$ nach $z$ analog zu Stammfunktion definiert wird.

F_{\Box }(z)={\underset {\langle z_{o},z\rangle }{\int }}F(z_{2})\,dz_{2}={\underset {\langle z_{o},z_{2}\rangle }{\int }}\,\,\,{\underset {\langle z_{o},z_{1}\rangle }{\int }}f(z_{1})\,\,dz_{1}\,\,dz_{2}

Dabei ist $\gamma _{z}=\langle z_{o},z\rangle$ die Konvexkombination mit $\gamma _{z}(t)=(1-t)\cdot z_{o}+t\cdot z$ .

Bemerkung - Stammfunktion höherer Ordnung

Die Flächenstammfunktion $F_{\Box }=F_{(2)}$ ist ein Spezialfall von Stammfunktionen $F_{(n)}$ der Ordnung $n\in \mathbb {N}$ für $n=2$ . Die Ordnung $n$ bestimmt die Anzahl der gebildeten Mehrfachintegrale:

F_{(n)}(z)={\underset {\langle z_{o},z\rangle }{\int }}F_{(n-1)}(z_{n})\,dz_{n}={\underset {\langle z_{o},z_{n}\rangle }{\int }}\,\ldots \,{\underset {\langle z_{o},z_{1}\rangle }{\int }}f(z_{1})\,\,dz_{1}\,\ldots \,dz_{n}

Taylorentwicklung der Funktionen

Wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe gegen die Potenzreihe, darf man Grenzwertprozesse vertauschen und summandenweise differenzieren und integrieren. Die Integration liefert zunächst die Taylorentwicklung der Stammfunktion und bei erneuter Intergation die Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion.

Taylorentwicklung der Stammfunktion

Sei $f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {f(z_{0})}{n!}}\cdot (z-z_{0})^{n}$ die lokale Potenzreihendarstellung von $f$ auf einer Kreisscheibe um $z_{0}\in G$ . Die Taylorentwicklung der Stammfunktion als Wegintegral erhält man über summandenweise Integration:

F(z)=\int _{\langle z_{o},z\rangle }f(\xi )\,d\xi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f(z_{0})}{(n+1)!}}\cdot (z-z_{0})^{n+1}

Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion

Sei $F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {f(z_{0})}{(n+1)!}}\cdot (z-z_{0})^{n+1}$ die lokale Stammfunktion von $f$ auf einer Kreisscheibe um $z_{0}\in G$ . Die Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion erhält man analog über summandenweise Integration:

F_{\Box }(z)=\int _{\langle z_{o},z\rangle }F(\xi )\,d\xi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f(z_{0})}{(n+2)!}}\cdot (z-z_{0})^{n+2}

Die Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion ist ein Spezialfall für Stammfunktionen höherer Ordnung, die durch den Satz über lokale Stammfunktionen behandelt wird.

Siehe auch