Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum

Einleitung

Ein Wegintegral kann man als Skalarprodukt auf einem Teilraum von holomorphen Funktionen interpretiert werden. Dies spielt insbesondere im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der Hardy-Räume. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung.

Wegintegral als Skalarprodukt

Sei $G\subset \mathbb {C}$ ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei $\gamma :[a,b]\to G$ eine stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet $G$ ). Für zwei holomorphe Funktionen $f,g\in {\mathcal {H}}(G)$ (also holomorph auf $G$ ) betrachten man das Wegintegral:

\langle f,g\rangle _{\gamma }:=\int _{\gamma }{\overline {f(z)}}\cdot g(z)\,dz=\int _{a}^{b}{\overline {f(\gamma (t))}}\cdot g(\gamma (t))\cdot \gamma {\,}'(t)\,dt

Dabei ist $\gamma :[a,b]\to G$ auf einem Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$ durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft.

Konjugation des Wegintegrals

Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege $\gamma :[a,b]\to G$ kein Skalarprodukt, da $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\gamma }$ im Allgemeinen nicht hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals:

{\overline {\langle g,f\rangle _{\gamma }}}:={\overline {\int _{\gamma }{\overline {g(z)}}\cdot f(z)\,dz}}=\int _{a}^{b}{\overline {f(\gamma (t))}}\cdot g(\gamma (t))\cdot {\overline {\gamma {\,}'(t)}}\,dt

Im Allgemeinen gilt nicht ${\overline {\gamma {\,}'(t)}}=\gamma {\,}'(t)$ für alle $t\in [a,b]$ .

Anforderungen an den Integrationsweg

Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass $\gamma {\,}'(t)\in \mathbb {R}$ für alle $t\in [a,b]$ gilt, erhält man mit $\gamma {\,}'(t)={\overline {\gamma {\,}'(t)}}\in \mathbb {R}$ die Eigenschaft hermitesch über die folgende Gleichungskette:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle {\overline {\langle g,f\rangle _{\gamma }}}&=&\displaystyle {\overline {\int _{\gamma }{\overline {g(z)}}\cdot f(z)\,dz}}=\int _{a}^{b}{\overline {f(\gamma (t))}}\cdot g(\gamma (t))\cdot \underbrace {\overline {\gamma {\,}'(t)}} _{\in \mathbb {R} }\,dt\\&=&\displaystyle \int _{a}^{b}{\overline {f(\gamma (t))}}\cdot g(\gamma (t))\cdot \gamma {\,}'(t)\,dt\\&=&\langle f,g\rangle _{\gamma }\\\end{array}}

Definition von Integrationswegen

Da $G$ als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt $z_{o}\in G$ eine offene Kreisscheibe, $D_{r}(z_{o})\subset G$ . Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe $D_{\varepsilon }(z_{o})\subset G$ mit $z_{1}:=z_{o}-{\tfrac {r}{2}}$ und für $z_{2}:=z_{o}+{\tfrac {r}{2}}$ liegt der Integrationsweg $\gamma$ als Konvexkombination erster Ordnung zwischen $z_{1}$ und $z_{2}$ ganz in $D_{\varepsilon }(z_{o})$ :

{\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,1]&\rightarrow &G\subset \mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=(1-t)\cdot z_{1}+t\cdot z_{2}\end{array}}

Ableitung des Integrationsweges

Für die Ableitung des Integrationsweges gilt $\gamma {\,}'(t)\in \mathbb {R}$ für alle $t\in [0,1]$ , denn man erhält:

\gamma {\,}'(t)=z_{2}-z_{1}=\left(z_{o}+{\frac {r}{2}}\right)-\left(z_{o}-{\frac {r}{2}}\right)=r\in \mathbb {R}

Weil $\gamma {\,}'$ reellwertig für alle $t\in [0,1]$ ist, gilt auch $\gamma {\,}'(t)={\overline {\gamma {\,}'(t)}}$ . Insbesondere gilt für alle $t\in [0,1]$ , dass $\gamma (t)\in D_{r}(z_{o})$ bzw. $\mathrm {Spur} (\gamma )\subset D_{r}(z_{o})$ erfüllt ist.

Eigenschaft - hermitesch

Mit der oben definierten Konvexkombination gilt $\gamma {\,}'(t)=r\in \mathbb {R}$ für alle $t\in [a,b]$ und $D_{r}(z_{o})\subset G$ . Die reellwertige Ableitung $\gamma {\,}'(t)={\overline {\gamma {\,}'(t)}}\in \mathbb {R}$ liefert die Eigenschaft hermitesch über die folgende Gleichungskette:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle {\overline {\langle g,f\rangle _{\gamma }}}&=&\displaystyle {\overline {\int _{\gamma }{\overline {g(z)}}\cdot f(z)\,dz}}=\int _{a}^{b}{\overline {f(\gamma (t))}}\cdot g(\gamma (t))\cdot \underbrace {\overline {\gamma {\,}'(t)}} _{=r>0}\,dt\\&=&\displaystyle \int _{a}^{b}{\overline {f(\gamma (t))}}\cdot g(\gamma (t))\cdot \underbrace {\gamma {\,}'(t)} _{=r\in \mathbb {R} }\,dt\\&=&\langle f,g\rangle _{\gamma }\\\end{array}}

Eigenschaft - Definitheit

Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige holomorphe Funktionen $f\in {\mathcal {H}}(G)$ muss gelten:

\langle f,f\rangle _{\gamma }=0\,\Longrightarrow \,f=0

Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion $|f|^{2}$ auf der Spur von $\gamma$ aus.

Stetigkeit - Minimum und Maximum

Da $f\in {\mathcal {H}}(G)$ als holomorphe Funktion insbesondere stetig ist, ist auch $|f|$ und $|f|^{2}$ eine stetige Funktion, die auf dem Intervall $[0,1]$ das Minimum und Maximum annimmt. Sei $M:=\max _{t\in [0,1]}|f(\gamma (t)|^{2}$ . Es gilt dann:

0=\langle f,f\rangle _{\gamma }=\int _{\gamma }{\overline {f(z)}}\cdot f(z)\,dz=\int _{0}^{1}|f(\gamma (t))|^{2}\cdot \underbrace {\gamma {\,}'(t)} _{=r}\,\,dt

Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion $|f|^{2}\cdot r$ mit $r>0$ die Eigenschaft $0=\langle f,f\rangle _{\gamma }$ erfüllt, muss $|f(z)|^{2}$ auf der Spur von $\gamma$ konstant 0 sein.

Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1

Wenn einen Punkt ${\widehat {z\,}}:=\gamma (t_{o})$ mit $t_{o}\in [0,1]$ gibt mit $|f({\widehat {z\,}})|^{2}={\widehat {y\,}}\not =0$ , dann gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ wegen der Stetigkeit von $|f|^{2}\circ \gamma$ eine $\delta$ -Umgebung von $t_{o}$ , wobei für alle $t\in (t_{o}-\delta ,t_{o}+\delta )\cap [0,1]$ gilt:

{\widehat {y\,}}-|f(\gamma (t))|^{2}\leq {\bigg |}{\widehat {y\,}}-f(\gamma (t))|^{2}{\bigg |}={\bigg |}|f(\gamma (t))|^{2}-\underbrace {|f(\gamma (t_{o}))|^{2}} _{={\widehat {y\,}}}{\bigg |}<\varepsilon

Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2

Da dieses für alle $\varepsilon >0$ gilt, kann man auch $\varepsilon :={\tfrac {\widehat {y\,}}{2}}$ wählen. Damit wäre dann

{\widehat {y\,}}-|f(\gamma (t))|^{2}<\varepsilon ={\frac {\widehat {y\,}}{2}}\ \Longrightarrow \ 0<{\frac {\widehat {y\,}}{2}}<|f(\gamma (t))|^{2}

Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3

Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von $f$ mit $f$ einen positiven Wert besitzt.

{\begin{array}{rcl}\langle f,f\rangle _{\gamma }&=&\displaystyle \int _{\gamma }{\overline {f(z)}}\cdot f(z)\,dz=\int _{0}^{1}|f(\gamma (t))|^{2}\cdot \underbrace {r} _{=\gamma {\,}'(t)}\,\,dt\\&>&\displaystyle \underbrace {\frac {\widehat {y\,}}{2}} _{>0}\cdot \underbrace {\delta } _{>0}>0\end{array}}

Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium

Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ bzw. ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {C} )$ anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird:

\langle f,g\rangle _{_{\mathbb {R} }}:=\int _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)\,dx

bzw.

\langle f,g\rangle _{_{\mathbb {C} }}:=\int _{a}^{b}{\overline {f(z)}}\cdot g(z)\,dz

Identitätssatz - Definitionsbereich G

Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass $|f(z)|^{2}$ auf der Spur von $\gamma$ konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch $f$ nicht nur auf der Spur von $\gamma$ konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich $G$ . Die Spur von $\gamma$ ist eine nicht-diskrete Menge in $G$ . Daher muss nach dem Identitätssatz auch die Funktion $f$ auf ganz $G$ der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die Definitheit für das Skalarprodukt, denn es gilt für beliebige holomorphe Funktionen $f\in {\mathcal {H}}(G)$ :

\langle f,f\rangle _{\gamma }=0\,\Longrightarrow \,f=0

Endlichkeit des Wegintegrals

Für das Gebiet $G\subset \mathbb {C}$ als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte Konvexkombination $\gamma :[0,1]\to G$ zwischen $z_{1},z_{2}\in D_{\varepsilon }(z_{o})\subset G$ eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen $f,g\in {\mathcal {H}}(G)$ ist ${\overline {f}}\cdot g$ eine stetige Funktion auf $G$ , wobei $|{\overline {f}}\cdot g|$ auf $Spur(\gamma )$ eine Maximum annimmt:

{\big |}\langle f,g\rangle _{\gamma }{\big |}=\left|\,\int _{\gamma }{\overline {f(z)}}\cdot g(z)\,dz\,\,\right|\leq \underbrace {{\mathcal {L}}(\gamma )} _{=\varepsilon }\cdot \underbrace {\max _{z\in Spur(\gamma )}\left|{\overline {f(z)}}\cdot g(z)\right|} _{<\infty }

Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen $f,g\in {\mathcal {H}}(G)$ auf dem Gebiet $G$ endlich.

Aufgaben für Studierende

Sei $z_{1}=1+i$ und $z_{2}=5+i$ , $z_{1},z_{2}\in G$ und mit dem Integrationsweg $\gamma$ als Konvexkombination:

{\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=(1-t)\cdot z_{1}+t\cdot z_{2}\end{array}}

Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften

Beweisen Sie die noch fehlenden Eigenschaften für das Skalarprodukt, d.h. die Semilinearität in der 1. Komponenten und die Linearität in der 2. Komponente.

Beispiel - Additivität

Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom Skalarprodukt:

{\begin{array}{rcl}\langle f_{1}+f_{2},g\rangle _{\gamma }&=&\displaystyle \,\int _{\gamma }{\overline {(f_{1}(z)+f_{2}(z))}}\cdot g(z)\,dz\\&=&\displaystyle \,\int _{\gamma }\left({\overline {f_{1}(z)}}+{\overline {f_{2}(z)}}\right)\cdot g(z)\,dz\\&=&\displaystyle \,\int _{\gamma }{\overline {f_{1}(z)}}\cdot g(z)+{\overline {f_{2}(z)}}\cdot g(z)\,dz\\&=&\displaystyle \,\int _{\gamma }{\overline {f_{1}(z)}}\cdot g(z)\,dz+\int _{\gamma }{\overline {f_{2}(z)}}\cdot g(z)\,dz\\&=&\displaystyle \langle f_{1},g\rangle _{\gamma }+\langle f_{2},g\rangle _{\gamma }\end{array}}

Aufgabe 2 - Norm einer Funktion

Berechnen Sie die Norm $\|f_{n}\|_{\gamma }:={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle _{\gamma }}}$ einer holomorphen Funktion $f_{n}(z)=z^{n}$ auf $G$ mit $n\in \mathbb {N}$ .

Beispiel 2.1 - Norm für n=0

Um die folgende Norm $\|f_{0}\|_{\gamma }={\sqrt {\langle f_{0},f_{0}\rangle _{\gamma }}}$ zu berechnet, berechnet man zunächst $\|f_{0}\|_{\gamma }^{2}$

{\begin{array}{rcl}\|f_{0}\|_{\gamma }^{2}&=&\displaystyle \,\int _{\gamma }{\overline {f_{0}(z)}}\cdot f_{0}(z)\,dz=\,\int _{\gamma }\underbrace {{\overline {1}}\cdot 1} _{=1}\,dz\\&=&\displaystyle \,\int _{0}^{1}1\cdot \gamma {\,}'(t)\,dz=\left[z\right]_{1+i}^{5+i}=(5+i)-(1+i)=4\end{array}}

Damit erhält man für die Norm $\|f_{0}\|_{\gamma }={\sqrt {\langle f_{0},f_{0}\rangle _{\gamma }}}=2$

Beispiel 2.2 - Norm für n=1

Um die folgende Norm $\|f_{1}\|_{\gamma }={\sqrt {\langle f_{1},f_{1}\rangle _{\gamma }}}$ zu berechnet, berechnet man zunächst $\|f_{1}\|_{\gamma }^{2}$ mit $z=x+iy\in \mathbb {C}$

{\begin{array}{rcl}\|f_{1}\|_{\gamma }^{2}&=&\displaystyle \,\int _{\gamma }{\overline {f_{1}(z)}}\cdot f_{1}(z)\,dz=\,\int _{\gamma }\underbrace {{\overline {z}}\cdot z} _{=|z|^{2}}\,dz\\&=&\displaystyle \,\int _{0}^{1}{\big |}\gamma (t){\big |}^{2}\cdot \gamma {\,}'(t)\,dt\\&=&\displaystyle \,\int _{0}^{1}{\bigg |}\,\underbrace {(1-t)\cdot \overbrace {(5+i)} ^{=z_{2}}+t\cdot \overbrace {(1+i)} ^{=z_{1}}} _{=\gamma (t)}\,{\bigg |}^{2}\cdot \underbrace {\gamma {\,}'(t)} _{=4}\,dt\end{array}}

Beispiel 2.2 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1

Durch Umformung bzw. Vereinfachung von $\gamma (t)=(4\cdot t+1)+1\cdot i$ erhält für $|\gamma (t)|^{2}=(4\cdot t+1)^{2}+1^{2}=16t^{2}+8t+2$ und das Integral ist:

{\begin{array}{rcl}\|f_{1}\|_{\gamma }^{2}&=&\displaystyle \,\int _{0}^{1}64t^{2}+32t+8\,dt=\left[{\frac {64}{3}}t^{3}+16t^{2}+8t\right]_{0}^{1}\\&=&\displaystyle {\frac {64}{3}}+16+8={\frac {64+48+24}{3}}={\frac {136}{3}}\end{array}}

Damit erhält man für die Norm $\|f_{1}\|_{\gamma }={\sqrt {\langle f_{1},f_{1}\rangle _{\gamma }}}={\sqrt {\frac {136}{3}}}$

Beispiel 2.3 - Norm für n=2

Um die folgende Norm $\|f_{2}\|_{\gamma }={\sqrt {\langle f_{2},f_{2}\rangle _{\gamma }}}$ berechnen zu können, berechnet man zunächst $\|f_{2}\|_{\gamma }^{2}$ mit $z=x+iy\in \mathbb {C}$ . Ferner verwenden Sie für den Integranden:

{\overline {z^{2}}}\cdot z^{2}={\overline {z}}^{2}\cdot z^{2}=|z^{4}|=|z|^{4}

Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen weiter.

Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen

Erzeugen Sie aus $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} _{o}}$ eine Orthonormalbasis $\left({\widehat {f_{n}}}\right)_{n\in \mathbb {N} _{o}}$ mit $\|{\widehat {f_{n}}}\|_{\gamma }={\sqrt {\left\langle {\widehat {f_{n}}},{\widehat {f_{n}}}\right\rangle _{\gamma }}}=1$ und $\left\langle {\widehat {f_{m}}},{\widehat {f_{n}}}\right\rangle _{\gamma }$ für $m\not =n$ und $f_{n}(z)=z^{n}$ auf $G$ .

Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0

Die folgende Norm $\|f_{0}\|_{\gamma }={\sqrt {\langle f_{0},f_{0}\rangle _{\gamma }}}=2$ wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man ${\widehat {f_{0}}}$ nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt:

{\widehat {f_{0}}}:={\frac {f_{0}}{\|f_{0}\|_{\gamma }^{2}}}={\frac {f_{0}}{2}}

Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1

Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor $f_{1}$ (Funktion) die Orthogonalprojektion auf ${\widehat {f_{0}}}$ wie folgt: $g_{1}:=f_{1}-\langle {\widehat {f_{0}}},f_{1}\rangle \cdot {\widehat {f_{0}}}$ . Berechnet man nun das Skalarprodukt von $\langle {\widehat {f_{0}}},g_{1}\rangle$ , so erhält man: