Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes

Einleitung

Diese Lernressource erweitert das Lemma von Goursat auf Funktionen $f$, die bis auf die Ausnahme eines Punktes $z_o$ holomorph sind und zumindest noch in $z_o$ stetig sind. Die Verallgemeinerung des Satzes ist für den Beweis der Cauchy-Integralformel erforderlich. Letztlich wird sich aber mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz herausstellen, dass die Holomorphie mit Ausnahme eine Punktes, in dem die Funktion noch stetig ist, keine wirkliche Verallgemeinerung darstellt, da sich die Funktion $f:G\to ℂ$ in diesem Punkt $z_o\in G$ holomorph forsetzen lässt. Die Inhalte kann man als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden.

Zielsetzung

Diese Lernressource hat das Ziel das Lemma von Goursat in den Voraussetzungen für eine holomorphe Funktion $f:G\to ℂ$ in einem Punhkt $z_o\in G$ anzuschwächen und für diesen Punkt nicht mehr die Holomorphie vorauszusetzen, sondern man verlangt in einem Punkt nur noch die Stetigkeit. Man beweist, dass diese Ausnahme eines Punktes, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, immer noch das gleiche Resultat des Lemmas von Goursat liefert.

Bemerkung - Erweiterung des Lemmas von Goursat - Stetigkeit in einem Punkt

Mit der Einschränkung der Stetigkeit in einem Punkt gilt das Lemma von Goursat gilt weiterhin, wenn man die Voraussetzungen der Holomorphie einer Funktion $g:U\to ℂ$ in einem Punkt $z_o\in U$ abschwächt und in diesem Punkt nur noch die Stetigkeit $z_o\in U$ verlangt. Das Korollar zum Lemma von Goursat mit Ausnahme von einem Punkt wird dabei auf den Umkreis für die Dreieck angewendet.

Nutzung in der Cauchy-Integralformel

In der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben ist diese Einschränkung erforderlich, da man dort eine Funktion als Differenzenquotient definiert, wobei beim Grenzwertübergang gegen $z_o$ die Ableitung $f^{\prime }(z_o)$ erzeugt wird.

$\begin{array}{cccc}g:& U& \to & ℂ\\ & \xi & \mapsto & g(\xi )=\{\begin{array}{ccc}\frac{f(\xi )-f(z_o)}{\xi -z_o}& ,& \xi ≠z_o\\ f^{\prime }(z_o)& ,& \xi =z_o\end{array}\end{array}$

Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt

Sei $f:U\setminus \{z_o\}\to ℂ$ eine holomorphe Funktion, die aber in $z_o\in U$ aber noch stetig ist. Sei $\mathrm{\Delta }(z_1,z_2,z_3)\subset U$ ein abgeschlossenes konvexes Dreieck, dann gilt:

${\int }_{⟨z_1,z_2,z_3⟩}f\left(z\right)dz=0$

Voraussetzungen - Details

• (P1) Sei $U\subseteq ℂ$ eine offene Teilmenge mit $z_o\in U$,
• (P2) Seien $z_1,z_2,z_3\in ℂ$ drei nicht kollineare Punkte, die das Dreieck

$\mathrm{\Delta }(z_1,z_2,z_3):=\{\sum _{k=1}^3{\lambda }_k\cdot z_k|(\sum _{k1}^3{\lambda }_k=1)\wedge {\mathrm{\forall }}_{k\in \{1,2,3\}}:{\lambda }_k\in [0,1]\}\subset U$

definieren,

• (P3) Sei $f:U\to ℂ$ eine holomorphe Funktion,
• (P4) Sei $⟨z_1,z_2,z_3⟩:[0,3]\to ℂ$ der geschlossene Weg über den Dreiecksrand von $\mathrm{\Delta }(z_1,z_2,z_3)$ mit Startpunkt $z_1$.

Beweis - Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt

Der Beweis gliedert sich in 4 Fälle, die bezogen auf die Lage von $z_o\in U$ unterscheiden:

• (F0) $z_o\notin \mathrm{\Delta }(z_1,z_2,z_3)$ , d.h. $z_o$ liegt nicht auf dem Rand und im Inneren des Dreiecks.
• (F1) $z_o=z_k$ mit $k=1,2,3$, d.h. dass $z_o$ ein Eckpunkt des Dreiecks ist.
• (F2) Mit $z_o\in Spur(⟨z_1,z_2,z_3⟩)$ liegt $z_o$ auf einer Dreiecksseite - also auf dem Integrationsweg,
• (F3) $z_o$ liegt im Inneren des Dreiecks.

Dabei folgert man aus (F1) den Fall (F2) und aus (F2) folgert man dann (F3).

Beweis - (F0)

Für den Fall (F0) ist nichts zu zeigen, da man hier das Lemma von Goursat direkt anwenden kann, wenn man die Umgebung $U$ durch eine offene Menge $\tilde{U}\subset U$ ersetzt die $z_o$ nicht enthält.

Beweis (F1)

Zunächst nimmt man bzgl. der Beweisidee zu (F1) an, dass der Punkt (hier $z_0$, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, ein Eckpunkt des Dreiecks ist (hier $z_0:=z_3$).

Erweiterung des Lemmas von Goursat - Voraussetzung in einem Punkt nun noch stetig aber nicht notwendiger Weise holomorph

Beweis (F1) - Schritt 1

Wie beim Lemma von Goursat zerlegt man das Ausgangsdreieck in Teildreiecke. Die eingefügten Teilstrecken (wie z.B. $⟨z_1,z_5⟩$) werden dabei jeweils in beide Richtungen durchlaufen. Man fügt also sowohl das Wegintegral über $⟨z_1,z_5⟩$ und $⟨z_5,z_1⟩$ zu Wegintegral über $⟨z_1,z_2,z_3⟩$. Das erfolgt analog für $⟨z_4,z_5⟩$ und $⟨z_5,z_4⟩$. Durch die umgekehrt Laufrichtung heben sich die Wegintegral jeweils auf.

Beweis (F1) - Schritt 2

Über die Dreieckszerlegung ergibt sich die folgende Integraldarstellung:

$\begin{array}{ccc}{\int }_{⟨z_1,z_2,z_3⟩}f(z)dz& =& {\int }_{⟨z_1,z_2,z_3⟩}f(z)dz+{\int }_{⟨z_1,z_5⟩}f(z)dz+{\int }_{⟨z_5,z_1⟩}f(z)dz\\ & & +{\int }_{⟨z_4,z_5⟩}f(z)dz+{\int }_{⟨z_5,z_4⟩}f(z)dz\\ & =& \underset{=0}{\underbrace{{\int }_{⟨z_1,z_2,z_5⟩}f(z)dz}}+\underset{=0}{\underbrace{{\int }_{⟨z_1,z_5,z_4⟩}f(z)dz}}+{\int }_{⟨z_3,z_4,z_5⟩}f(z)dz\end{array}$

Beweis (F1) - Schritt 3 - Lemma von Goursat

Die Integrale über $⟨z_1,z_2,z_5⟩$ und $⟨z_1,z_5,z_4⟩$ ist nach dem Lemma von Goursat 0, da in der Umgebung von diese Dreiecken kein Ausnahmepunkt liegen, in dem $z_0$ nur stetig ist. In der obigen Abbildung wurde als Ausnahmepunkt $z_0:=z_3$ gewählt. Damit erhält man:

$\begin{array}{ccc}{\int }_{⟨z_1,z_2,z_3⟩}f(z)dz& =& {\int }_{⟨z_3,z_4,z_5⟩}f(z)dz\end{array}$

Beweis (F1) - Schritt 4 - Grenzwertprozess

Man lässt nun mit (analog zur Animation) die Punkt $z_4$ und $z_5$ gegen $z_3$ laufen:

• $z_4^{(n)}:=\frac{1}{n}\cdot z_1+(1-\frac{1}{n})\cdot z_3$
• $z_5^{(n)}:=\frac{1}{n}\cdot z_2+(1-\frac{1}{n})\cdot z_3$

Beweis (F1) - Schritt 5 - Grenzwertprozess

Die Folgen ${\left(z_4^{(n)}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(z_5^{(n)}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ wurden als Konvexkombinationen definert und es gilt:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_4^{(n)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\cdot z_1+(1-\frac{1}{n})\cdot z_3=z_3$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_5^{(n)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\cdot z_2+(1-\frac{1}{n})\cdot z_3=z_3$

Beweis (F1) - Schritt 6 - Grenzwertprozess

Da die Funktion $f$ in dem Eckpunkt $z_0:=z_3$ des Dreiecks noch stetig ist, folgt:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(z_4^{(n)}\right)=f(z_3)$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(z_5^{(n)}\right)=f(z_3)$

Beweis (F1) - Schritt 7 - Epsilon-Delta-Kriterium

Mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium kann man für alle $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ finden, sodass folgende Ungleichung für alle $|z-z_o|<\delta$ mit $z_o:=z_3$ gilt wegen der Dreieckungleichung:

$|f(z)|-|f(z_0)|\le |f(z)-f(z_0)|<\epsilon$

Man wählt nun mit der Konvergenz der Folgen $n\ge n_{\epsilon }$, dass $|z_4^{(n)}-z_o|<\delta$ und $|z_5^{(n)}-z_o|<\delta$. Damit liegen auch alle Punkte auf dem Dreiecksrand $⟨z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}⟩$ in $D_{\delta }(z_o)$.

Beweis (F1) - Schritt 8 - Abschätzung Integral

Man kann mit $|f(z)|<\epsilon +|f(z_0)|$ die Funktion auf ganz $D_{\delta }(z_o)$ nach oben gegen $\epsilon +|f(z_0)|$ abschätzen. Die Abschätzung gilt dann auch für die Spur von $⟨z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}⟩$, die in der Kreisscheibe $D_{\delta }(z_o)$ liegt.

Beweis (F1) - Schritt 9 - Abschätzung Integral

Es gilt damit:

$\begin{array}{ccc}|{\int }_{⟨z_1,z_2,z_3⟩}f(z)dz|& \le & {\int }_{⟨z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}⟩}|f(z)|dz\\ & \le & {\int }_{⟨z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}⟩}|f(z_o)|+\epsilon dz\\ & \le & (|f(z_o)|+\epsilon )\cdot \underset{\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}0}{\underbrace{ℒ\left(⟨z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}⟩\right)}}\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}0\end{array}$

Dies gilt analog für jeden anderen Eckpunkt des Dreiecks.

Beweis (F2) - Punkt auf Dreieckseite

Wenn der Punkt $z_0$ auf einer Dreickseite liegt und keine Eckpunkt ist, kann man Dreieck mit $z_0$ in zwei Teildreicke zerlegen.

Beweis (F2) - Schritt 1 - Punkt auf Dreieckseite

Ohne Einschränkung liegt der Punkt $z_0$ auf der Dreiecksseite zwischen $z_2$ und $z_3$. Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke

• $⟨z_0,z_1,z_2⟩$ mit ergänztem Wegintegral $⟨z_0,z_1⟩$
• $⟨z_1,z_0,z_3⟩$ mit ergänztem Wegintegral $⟨z_1,z_0⟩$

Beweis (F2) - Schritt 2 - Anwendung von (F1)

Der Punkt $z_0$ ist nun Eckpunkt von beiden Dreiecken $⟨z_0,z_1,z_2⟩$ und $⟨z_1,z_0,z_3⟩$ und man den Fall (F1) anwenden.

${\int }_{⟨z_1,z_2,z_3⟩}f(z)dz=\underset{=0(F1)}{\underbrace{{\int }_{⟨z_0,z_1,z_2⟩}f(z)dz}}+\underset{=0(F1)}{\underbrace{{\int }_{⟨z_1,z_0,z_3⟩}f(z)dz}}$

Beweis (F3) - Punkt im Inneren des Dreiecks

Wenn der Punkt $z_0$ im Inneren des Dreicks liegt, kann man von der Eckpunkt $z_1$ durch $z_0$ eine Gerade ziehen, die die gegenüberliegende Dreieckseite in $z_6$ schneidet. Nun ergänzt man zwei weitere Integrationswege:

$⟨z_1,z_6⟩$ und $⟨z_1,z_6⟩$

kann man Dreieck mit $z_0$ in zwei Teildreicke zerlegen.

Beweis (F3) - Schritt 1 - Punkt im Dreiecksinneren

Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke

• $⟨z_6,z_1,z_2⟩$ mit ergänztem Wegintegral $⟨z_6,z_1⟩$
• $⟨z_1,z_6,z_3⟩$ mit ergänztem Wegintegral $⟨z_1,z_6⟩$

Die ergänzten Wegintegrale verändern verändern das Gesamtintegral durch die umgekehrte Laufrichtung nicht.

Beweis (F3) - Schritt 2 - Punkt im Dreiecksinneren

Damit liegt $z_0$ auf den zerlegten beiden Dreiecksränden auf einer Dreiecksseite $⟨z_6,z_1⟩$ bzw. $⟨z_1,z_6⟩$. Damit kann man in beiden Teildreiecken den Fall (F2) anwenden.

${\int }_{⟨z_1,z_2,z_3⟩}f(z)dz=\underset{=0(F2)}{\underbrace{{\int }_{⟨z_6,z_1,z_2⟩}f(z)dz}}+\underset{=0(F2)}{\underbrace{{\int }_{⟨z_1,z_6,z_3⟩}f(z)dz}}◻$

Aufgaben für Studierende - Berechnung von Schnittpunkt

In dem obigen Fall (F3), wenn $z_0$ ein innerer Punkt ist, gibt es einen eindeutig definiert Punkt $z_6$ auf der Dreiecksseite zwischen $z_2$ und $z_3$. Berechnen Sie den Punkt $z_6$ aus den gegeben Punkte $z_0,z_1,z_2,z_3$ mit einem linearen Gleichungssystem.

Korrolar für Kreisscheiben - Ausnahme ein Punkt

Sei $f:U\setminus \{z_o\}\to ℂ$ eine holomorphe Funktion, die aber in $z_o\in U$ aber noch stetig ist. Sei $\overline{D_r(z_1)}\subset U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe, dann gilt:

${\oint }_{\partial D_r(z_1)}f\left(z\right)dz=0$

Beweisidee - Korollar für Kreisscheiben

Die Beweisidee beruht im Wesentlichen darauf, das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes auf den Umkreis des Dreiecks zu erweitern und dann die Dreiecksseiten in beide Richtungen zu durchlaufen, damit man das Integral über den Kreisrand nicht verändert. Im Inneren des Dreiecks wendet man das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes an und das Integral über den Dreiecksrand verschwindet. Auf einem geschlossenen Weg über einen Kreisbogen und einer Dreieckseite existiert eine Stammfunktion und daher ist das Integral über diese 3 geschlossenen Wege ebenfalls 0.

Abbildung zur Beweisidee

Visualisierung für das Korollar für Kreisscheiben

Die Abbildung zeigt den Punkt $z_o$, in dem die holomorphe Funktion noch stetig ist und einen beliebigen Punkt $z\in D_r(z_1)$ im Inneren der Kreisscheibe. Geometrisch entsteht

• ${\xi }_1$ als Schnittpunkt der Geraden durch $z_1$ und $z$ mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieden sind und
• ${\xi }_m$ und ${\xi }_3$ als Schnittpunkte der Geraden $g$ durch $z_1$ und $z_o$ mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieden sind.
• Auf diese Dreieck $⟨{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3⟩$ wird das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes angewendet.

Aufgabe für Studierende - Korollar

Führen Sie die Beweisidee vollständig mit den Details aus und betrachten Sie auch die Fälle $z_o=z_1$, $z_o=z$, $z_1=z$ und $z_0,z_1,z$ liegen auf einer Geraden.

Siehe auch

• Lemma von Goursat (Details)
• Kurs:Funktionentheorie
• Wiki2Reveal

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