Diese Lernressource erweitert das Lemma von Goursat auf Funktionen
f
{\displaystyle f}
z
o
{\displaystyle z_{o}}
z
o
{\displaystyle z_{o}}
Cauchy-Integralformel erforderlich. Letztlich wird sich aber mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz herausstellen, dass die Holomorphie mit Ausnahme eine Punktes, in dem die Funktion noch stetig ist, keine wirkliche Verallgemeinerung darstellt, da sich die Funktion
f
:
G
→
C
{\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }
z
o
∈
G
{\displaystyle z_{o}\in G}
Wiki2Reveal Folien
Diese Lernressource hat das Ziel das Lemma von Goursat in den Voraussetzungen für eine holomorphe Funktion
f
:
G
→
C
{\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }
z
o
∈
G
{\displaystyle z_{o}\in G}
Stetigkeit . Man beweist, dass diese Ausnahme eines Punktes, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, immer noch das gleiche Resultat des Lemmas von Goursat liefert.
Bemerkung - Erweiterung des Lemmas von Goursat - Stetigkeit in einem Punkt [ Bearbeiten ] Mit der Einschränkung der Stetigkeit in einem Punkt gilt das Lemma von Goursat gilt weiterhin, wenn man die Voraussetzungen der Holomorphie einer Funktion
g
:
U
→
C
{\displaystyle g:U\to \mathbb {C} }
z
o
∈
U
{\displaystyle z_{o}\in U}
Stetigkeit Stetigkeit
z
o
∈
U
{\displaystyle z_{o}\in U}
In der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben ist diese Einschränkung erforderlich, da man dort eine Funktion als Differenzenquotient definiert, wobei beim Grenzwertübergang gegen
z
o
{\displaystyle z_{o}}
f
′
(
z
o
)
{\displaystyle f'(z_{o})}
g
:
U
→
C
ξ
↦
g
(
ξ
)
=
{
f
(
ξ
)
−
f
(
z
o
)
ξ
−
z
o
,
ξ
≠
z
o
f
′
(
z
o
)
,
ξ
=
z
o
{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}g:&U&\rightarrow &\mathbb {C} \\&\xi &\mapsto &g(\xi )={\begin{cases}{\frac {f(\xi )-f(z_{o})}{\xi -z_{o}}}&,&\xi \not =z_{o}\\f'(z_{o})&,&\xi =z_{o}\\\end{cases}}\end{array}}}
Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt [ Bearbeiten ] Sei
f
:
U
∖
{
z
o
}
→
C
{\displaystyle {f}:{U\setminus \{z_{o}\}}\to \mathbb {C} }
z
o
∈
U
{\displaystyle z_{o}\in U}
Δ
(
z
1
,
z
2
,
z
3
)
⊂
U
{\displaystyle \Delta {\left({z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right)}\subset U}
∫
⟨
z
1
,
z
2
,
z
3
⟩
f
(
z
)
d
z
=
0
{\displaystyle \int _{\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }{f{\left({z}\right)}}{d}{z}={0}}
(P1) Sei
U
⊆
C
{\displaystyle {U}\subseteq \mathbb {C} }
z
o
∈
U
{\displaystyle z_{o}\in U}
(P2) Seien
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
C
{\displaystyle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\in \mathbb {C} }
Δ
(
z
1
,
z
2
,
z
3
)
:=
{
∑
k
=
1
3
λ
k
⋅
z
k
|
(
∑
k
1
3
λ
k
=
1
)
∧
∀
k
∈
{
1
,
2
,
3
}
:
λ
k
∈
[
0
,
1
]
}
⊂
U
{\displaystyle \Delta {\left({z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right)}:=\left\{\sum _{k=1}^{3}\lambda _{k}\cdot {z}_{k}\left|{\left({\sum _{{k}{1}}^{3}}\lambda _{k}={1}\right)}\wedge \forall _{k\in \{1,2,3\}}:\lambda _{k}\in [0,1]\right\}\right.\subset {U}}
definieren, (P3) Sei
f
:
U
→
C
{\displaystyle {f}:{U}\to \mathbb {C} }
(P4) Sei
⟨
z
1
,
z
2
,
z
3
⟩
:
[
0
,
3
]
→
C
{\displaystyle {\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }:{\left[{0},{3}\right]}\to \mathbb {C} }
Δ
(
z
1
,
z
2
,
z
3
)
{\displaystyle \Delta {\left({z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right)}}
z
1
{\displaystyle {z}_{1}}
Beweis - Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt [ Bearbeiten ] Der Beweis gliedert sich in 4 Fälle, die bezogen auf die Lage von
z
o
∈
U
{\displaystyle z_{o}\in U}
(F0)
z
o
∉
Δ
(
z
1
,
z
2
,
z
3
)
{\displaystyle z_{o}\notin \Delta {\left({z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right)}}
z
o
{\displaystyle z_{o}}
(F1)
z
o
=
z
k
{\displaystyle z_{o}=z_{k}}
k
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle k=1,2,3}
z
o
{\displaystyle z_{o}}
(F2) Mit
z
o
∈
S
p
u
r
(
⟨
z
1
,
z
2
,
z
3
⟩
)
{\displaystyle z_{o}\in Spur(\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle )}
z
o
{\displaystyle z_{o}}
(F3)
z
o
{\displaystyle z_{o}}
Dabei folgert man aus (F1) den Fall (F2) und aus (F2) folgert man dann (F3).
Für den Fall (F0) ist nichts zu zeigen, da man hier das Lemma von Goursat direkt anwenden kann, wenn man die Umgebung
U
{\displaystyle U}
U
~
⊂
U
{\displaystyle {\widetilde {U}}\subset U}
z
o
{\displaystyle z_{o}}
Zunächst nimmt man bzgl. der Beweisidee zu (F1) an, dass der Punkt (hier
z
0
{\displaystyle z_{0}}
z
0
:=
z
3
{\displaystyle z_{0}:=z_{3}}
Erweiterung des Lemmas von Goursat - Voraussetzung in einem Punkt nun noch stetig aber nicht notwendiger Weise holomorph Wie beim Lemma von Goursat zerlegt man das Ausgangsdreieck in Teildreiecke. Die eingefügten Teilstrecken (wie z.B.
⟨
z
1
,
z
5
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{5}\rangle }
⟨
z
1
,
z
5
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{5}\rangle }
⟨
z
5
,
z
1
⟩
{\displaystyle \langle z_{5},z_{1}\rangle }
⟨
z
1
,
z
2
,
z
3
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }
⟨
z
4
,
z
5
⟩
{\displaystyle \langle z_{4},z_{5}\rangle }
⟨
z
5
,
z
4
⟩
{\displaystyle \langle z_{5},z_{4}\rangle }
Über die Dreieckszerlegung ergibt sich die folgende Integraldarstellung:
∫
⟨
z
1
,
z
2
,
z
3
⟩
f
(
z
)
d
z
=
∫
⟨
z
1
,
z
2
,
z
3
⟩
f
(
z
)
d
z
+
∫
⟨
z
1
,
z
5
⟩
f
(
z
)
d
z
+
∫
⟨
z
5
,
z
1
⟩
f
(
z
)
d
z
+
∫
⟨
z
4
,
z
5
⟩
f
(
z
)
d
z
+
∫
⟨
z
5
,
z
4
⟩
f
(
z
)
d
z
=
∫
⟨
z
1
,
z
2
,
z
5
⟩
f
(
z
)
d
z
⏟
=
0
+
∫
⟨
z
1
,
z
5
,
z
4
⟩
f
(
z
)
d
z
⏟
=
0
+
∫
⟨
z
3
,
z
4
,
z
5
⟩
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\scriptstyle \langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz&=&\displaystyle \int _{\scriptstyle \langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz+\!\!\int _{\scriptstyle \langle z_{1},z_{5}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz+\!\!\int _{\scriptstyle \langle z_{5},z_{1}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz\\&&\displaystyle +\!\!\int _{\scriptstyle \langle z_{4},z_{5}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz+\!\!\int _{\scriptstyle \langle z_{5},z_{4}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz\\&=&\displaystyle \underbrace {\int _{\scriptstyle \langle z_{1},z_{2},z_{5}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz} _{=0}+\!\!\underbrace {\int _{\scriptstyle \langle z_{1},z_{5},z_{4}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz} _{=0}+\!\!\int _{\scriptstyle \langle z_{3},z_{4},z_{5}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz\\\end{array}}}
[ Bearbeiten ] Die Integrale über
⟨
z
1
,
z
2
,
z
5
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{5}\rangle }
⟨
z
1
,
z
5
,
z
4
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{5},z_{4}\rangle }
Lemma von Goursat 0, da in der Umgebung von diese Dreiecken kein Ausnahmepunkt liegen, in dem
z
0
{\displaystyle z_{0}}
z
0
:=
z
3
{\displaystyle z_{0}:=z_{3}}
∫
⟨
z
1
,
z
2
,
z
3
⟩
f
(
z
)
d
z
=
∫
⟨
z
3
,
z
4
,
z
5
⟩
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\scriptstyle \langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz&=&\displaystyle \int _{\scriptstyle \langle z_{3},z_{4},z_{5}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz\\\end{array}}}
[ Bearbeiten ] Man lässt nun mit (analog zur Animation) die Punkt
z
4
{\displaystyle z_{4}}
z
5
{\displaystyle z_{5}}
z
3
{\displaystyle z_{3}}
z
4
(
n
)
:=
1
n
⋅
z
1
+
(
1
−
1
n
)
⋅
z
3
{\displaystyle z_{4}^{(n)}:={\frac {1}{n}}\cdot z_{1}+\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot z_{3}}
z
5
(
n
)
:=
1
n
⋅
z
2
+
(
1
−
1
n
)
⋅
z
3
{\displaystyle z_{5}^{(n)}:={\frac {1}{n}}\cdot z_{2}+\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot z_{3}}
[ Bearbeiten ] Die Folgen
(
z
4
(
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle \left(z_{4}^{(n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
(
z
5
(
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle \left(z_{5}^{(n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
Konvexkombinationen definert und es gilt:
lim
n
→
∞
z
4
(
n
)
=
lim
n
→
∞
1
n
⋅
z
1
+
(
1
−
1
n
)
⋅
z
3
=
z
3
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{4}^{(n)}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\cdot z_{1}+\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot z_{3}=z_{3}}
lim
n
→
∞
z
5
(
n
)
=
lim
n
→
∞
1
n
⋅
z
2
+
(
1
−
1
n
)
⋅
z
3
=
z
3
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{5}^{(n)}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\cdot z_{2}+\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot z_{3}=z_{3}}
[ Bearbeiten ] Da die Funktion
f
{\displaystyle f}
z
0
:=
z
3
{\displaystyle z_{0}:=z_{3}}
lim
n
→
∞
f
(
z
4
(
n
)
)
=
f
(
z
3
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(z_{4}^{(n)}\right)=f(z_{3})}
lim
n
→
∞
f
(
z
5
(
n
)
)
=
f
(
z
3
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(z_{5}^{(n)}\right)=f(z_{3})}
[ Bearbeiten ] Mit dem
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
|
z
−
z
o
|
<
δ
{\displaystyle |z-z_{o}|<\delta }
z
o
:=
z
3
{\displaystyle z_{o}:=z_{3}}
|
f
(
z
)
|
−
|
f
(
z
0
)
|
≤
|
f
(
z
)
−
f
(
z
0
)
|
<
ε
{\displaystyle \left|f(z)\right|-\left|f(z_{0})\right|\leq \left|f(z)-f(z_{0})\right|<\varepsilon }
Man wählt nun mit der Konvergenz der Folgen
n
≥
n
ε
{\displaystyle n\geq n_{\varepsilon }}
|
z
4
(
n
)
−
z
o
|
<
δ
{\displaystyle |z_{4}^{(n)}-z_{o}|<\delta }
|
z
5
(
n
)
−
z
o
|
<
δ
{\displaystyle |z_{5}^{(n)}-z_{o}|<\delta }
⟨
z
3
,
z
4
(
n
)
,
z
5
(
n
)
⟩
{\displaystyle \langle z_{3},z_{4}^{(n)},z_{5}^{(n)}\rangle }
D
δ
(
z
o
)
{\displaystyle D_{\delta }(z_{o})}
[ Bearbeiten ] Man kann mit
|
f
(
z
)
|
<
ε
+
|
f
(
z
0
)
|
{\displaystyle \left|f(z)\right|<\varepsilon +\left|f(z_{0})\right|}
D
δ
(
z
o
)
{\displaystyle D_{\delta }(z_{o})}
ε
+
|
f
(
z
0
)
|
{\displaystyle \varepsilon +\left|f(z_{0})\right|}
⟨
z
3
,
z
4
(
n
)
,
z
5
(
n
)
⟩
{\displaystyle \langle z_{3},z_{4}^{(n)},z_{5}^{(n)}\rangle }
D
δ
(
z
o
)
{\displaystyle D_{\delta }(z_{o})}
[ Bearbeiten ] Es gilt damit:
|
∫
⟨
z
1
,
z
2
,
z
3
⟩
f
(
z
)
d
z
|
≤
∫
⟨
z
3
,
z
4
(
n
)
,
z
5
(
n
)
⟩
|
f
(
z
)
|
d
z
≤
∫
⟨
z
3
,
z
4
(
n
)
,
z
5
(
n
)
⟩
|
f
(
z
o
)
|
+
ε
d
z
≤
(
|
f
(
z
o
)
|
+
ε
)
⋅
L
(
⟨
z
3
,
z
4
(
n
)
,
z
5
(
n
)
⟩
)
⏟
⟶
n
→
∞
0
⟶
n
→
∞
0
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left|\int _{\scriptstyle \langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz\right|&\leq &\displaystyle \int _{\scriptstyle \left\langle z_{3},z_{4}^{(n)},z_{5}^{(n)}\right\rangle }|f(z)|\,dz\\&\leq &\displaystyle \int _{\scriptstyle \left\langle z_{3},z_{4}^{(n)},z_{5}^{(n)}\right\rangle }|f(z_{o})|+\varepsilon \,dz\\&\leq &\left(|f(z_{o})|+\varepsilon \right)\cdot \underbrace {{\mathcal {L}}\left(\left\langle z_{3},z_{4}^{(n)},z_{5}^{(n)}\right\rangle \right)} _{{\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}0}{\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}0\end{array}}}
Dies gilt analog für jeden anderen Eckpunkt des Dreiecks.
Wenn der Punkt
z
0
{\displaystyle z_{0}}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
[ Bearbeiten ] Ohne Einschränkung liegt der Punkt
z
0
{\displaystyle z_{0}}
z
2
{\displaystyle z_{2}}
z
3
{\displaystyle z_{3}}
⟨
z
0
,
z
1
,
z
2
⟩
{\displaystyle \langle z_{0},z_{1},z_{2}\rangle }
⟨
z
0
,
z
1
⟩
{\displaystyle \langle z_{0},z_{1}\rangle }
⟨
z
1
,
z
0
,
z
3
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{0},z_{3}\rangle }
⟨
z
1
,
z
0
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{0}\rangle }
[ Bearbeiten ] Der Punkt
z
0
{\displaystyle z_{0}}
⟨
z
0
,
z
1
,
z
2
⟩
{\displaystyle \langle z_{0},z_{1},z_{2}\rangle }
⟨
z
1
,
z
0
,
z
3
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{0},z_{3}\rangle }
∫
⟨
z
1
,
z
2
,
z
3
⟩
f
(
z
)
d
z
=
∫
⟨
z
0
,
z
1
,
z
2
⟩
f
(
z
)
d
z
⏟
=
0
(
F
1
)
+
∫
⟨
z
1
,
z
0
,
z
3
⟩
f
(
z
)
d
z
⏟
=
0
(
F
1
)
{\displaystyle \int _{\scriptstyle \langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz=\underbrace {\int _{\scriptstyle \langle z_{0},z_{1},z_{2}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz} _{=0\,(F1)}+\underbrace {\int _{\scriptstyle \langle z_{1},z_{0},z_{3}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz} _{=0\,(F1)}}
[ Bearbeiten ] Wenn der Punkt
z
0
{\displaystyle z_{0}}
z
1
{\displaystyle z_{1}}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
z
6
{\displaystyle z_{6}}
⟨
z
1
,
z
6
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{6}\rangle }
⟨
z
1
,
z
6
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{6}\rangle }
kann man Dreieck mit
z
0
{\displaystyle z_{0}}
[ Bearbeiten ] Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke
⟨
z
6
,
z
1
,
z
2
⟩
{\displaystyle \langle z_{6},z_{1},z_{2}\rangle }
⟨
z
6
,
z
1
⟩
{\displaystyle \langle z_{6},z_{1}\rangle }
⟨
z
1
,
z
6
,
z
3
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{6},z_{3}\rangle }
⟨
z
1
,
z
6
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{6}\rangle }
Die ergänzten Wegintegrale verändern verändern das Gesamtintegral durch die umgekehrte Laufrichtung nicht.
[ Bearbeiten ] Damit liegt
z
0
{\displaystyle z_{0}}
⟨
z
6
,
z
1
⟩
{\displaystyle \langle z_{6},z_{1}\rangle }
⟨
z
1
,
z
6
⟩
{\displaystyle \langle z_{1},z_{6}\rangle }
∫
⟨
z
1
,
z
2
,
z
3
⟩
f
(
z
)
d
z
=
∫
⟨
z
6
,
z
1
,
z
2
⟩
f
(
z
)
d
z
⏟
=
0
(
F
2
)
+
∫
⟨
z
1
,
z
6
,
z
3
⟩
f
(
z
)
d
z
⏟
=
0
(
F
2
)
◻
{\displaystyle \int _{\scriptstyle \langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz=\underbrace {\int _{\scriptstyle \langle z_{6},z_{1},z_{2}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz} _{=0\,(F2)}+\underbrace {\int _{\scriptstyle \langle z_{1},z_{6},z_{3}\rangle }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(z)\,dz} _{=0\,(F2)}\qquad \Box }
In dem obigen Fall (F3), wenn
z
0
{\displaystyle z_{0}}
z
6
{\displaystyle z_{6}}
z
2
{\displaystyle z_{2}}
z
3
{\displaystyle z_{3}}
z
6
{\displaystyle z_{6}}
z
0
,
z
1
,
z
2
,
z
3
{\displaystyle z_{0},z_{1},z_{2},z_{3}}
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Dieser Wiki2Reveal Foliensatz Kurs:Funktionentheorie 'Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
![{\displaystyle \Delta {\left({z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right)}:=\left\{\sum _{k=1}^{3}\lambda _{k}\cdot {z}_{k}\left|{\left({\sum _{{k}{1}}^{3}}\lambda _{k}={1}\right)}\wedge \forall _{k\in \{1,2,3\}}:\lambda _{k}\in [0,1]\right\}\right.\subset {U}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60a50593c6695c276c23be07cddfab0b3e00b6f3)
![{\displaystyle {\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }:{\left[{0},{3}\right]}\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127c097c04d4a02f73f0f5529751284899cec282)
