Kurs:Funktionentheorie/Kette von orientierten Flächen

Einleitung

Ein Integrationsweg kann mit der Eigenschaft der stückweisen stetigen Differenzierbarkeit aus mehreren Wegen zusammengesetzt werden (z.B. Lemma von Goursat bei der Integration über den Dreiecksrand). Eine solche Kette von Integrationswegen ist eine formale Linearkombination von Kurven. Diese Grundidee wir nun auf orientierte Flächen übertragen.

Kette von orientierten Flächen

Man benötigt

Definition - Kette von orientierten Flächen

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$ , sei $n\in \mathbb {N}$ und seien $\gamma _{i}\colon [a_{i},b_{i}]\times [c_{i},d_{i}]\to G$ orientierte Flächen in $G$ und $n_{i}\in \mathbb {Z}$ ist eine Vielfachheit, wie oft über eine orientierte Fläche integriert wird. Dann heißt die formale Linearkombination $\sum _{i=1}^{n}n_{i}\cdot \gamma _{i}$ eine Kette von orientierten Flächen in $G\subset \mathbb {C}$ .

Definition - Spurfläche einer Kette

Die Spurfläche $Area(\gamma _{i})$ von einer orientierten Fläche $\gamma _{i}$ ist das Bild $\gamma _{i}{\big (}[a_{i},b_{i}]\times [c_{i},d_{i}]{\big )}\subseteq G$ in $G$ . Die Spurfläche einer Kette $\Gamma$ ist die Vereinigung der Spurflächen der einzelnen orientierten Fläche $\gamma _{i}$ , also

\mathrm {Area} (\Gamma ):=\bigcup _{i=1}^{n}\mathrm {Area} (\gamma _{i})

Spurflächen und orientierte Flächen

Die Spurflächen können von zwei orientierten Flächen $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ können gleich sein, aber daraus kann man nicht $\gamma _{1}=\gamma _{2}$ folgern.

Flächenintegral über Ketten

Das orientiertes Flächenintegral der Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ über einen Kette $\Gamma :=\sum _{k=1}^{n}n_{k}\cdot \gamma _{k}$ von orientierten Flächen bzgl. $n\in \mathbb {N}$ mit $\gamma _{k}:[a_{k},b_{k}]\times [c_{k},d_{k}]\to G$ und Vielfachheiten $n_{k}\in \mathbb {Z}$ wird als über die Summe der orientierten Flächenintegrale wie folgt definiert.

\iint _{\Gamma }f(z)\,d^{2}\!z:=\sum _{k=1}^{n}n_{k}\cdot \iint _{\gamma _{k}}f(z)\,d^{2}\!z

Definition - randintegrabel

Eine Kette $\Gamma =\sum _{i=1}^{n}n_{i}\gamma _{i}$ von orientierten Flächen $\gamma _{i}\colon [a_{i},b_{i}]\times [c_{i},d_{i}]\to G$ heißt randintegrabel, wenn

Spurfläche $Area(\Gamma )$ zusammenhängend ist und
das Flächenintegral über die Kette $\Gamma$ der orientierte Flächen $\gamma _{i}$ für beliebige holomorphe Funktionen $f:G\to \mathbb {C}$ durch ein Wegintegral über $\gamma$ bzgl. einer Stammfunktion $F$ von $f$ auf $G$ ausgedrückt werden kann.

Bemerkung - Randweg

Der Randweg kann bei Polygonen zu einem alternierenden Randweg reduziert werden (siehe auch Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale). Flächenintegrale über Rechtecke lassen sich durch alternierende Wegintegrale über eine Stammfunktion ausdrücken. Wenn sich alle Weg im Inneren der Spurflächen $Area(\Gamma )$ durch Wege auf dem Rand von anderen orientierten Flächen durch umgekehrte Laufrichtung annulieren, lässt sich das Flächenintegral auf ein Randintegral der Flächen über eine Stammfunktion reduzieren.

Bemerkung - orientierte zusammengesetzte Flächen

Seien $\gamma _{k}$ mit $k\in \{1,\ldots ,n\}$ orientierte Flächen. Man setzt komplexere Flächen i.d.R. aus berechenbaren Flächen (wie z.B. Rechtecken) zusammen, um auch für diese komplexeren Flächen eine komplexes Flächenmaß bzgl. einer komplexwertigen Dichte $f:G\to \mathbb {C}$ berechnen zu können. Die Schnittmengen bestehen i.d.R. aus Teilmengen auf dem Rand $\partial \mathrm {Area} (\gamma _{k})$ der orientierten Fläche $\gamma _{k}$ . Teilmengen des Randes $\partial \mathrm {Area} (\gamma _{k})$ sind Nullmengen für stetige Maße auf der Borelschen- $\sigma$ -Algebra ${\mathcal {B}}(G)$ sein. Die Schnittmengen bestehen i.d.R. aus Teilmengen vom Rand der orientierten Flächen $\gamma _{k}$ .

Wohldefinierte Aggregation von Teilflächen

Damit die aggregierte Fläche $\sum _{k=1}^{n}\iint _{\gamma _{k}}f(z)\,d^{2}\!z$ wohldefiniert ist, müssen sich die darstellenden alternierenden Randwege auf den gemeinsamen Teilwegen auf dem gemeinsamen Rand von orientierten Flächen jeweils annullieren.

Aufgabe - Zerlegung eines Rechtecks in Teilrechtecke

Machen Sie sich das Prinzip der Aggregation von Flächen am Beispiel der Zerlegung eines gegebenen Rechtecks $R$ klar, das an den Seitenmitten von zwei gegenüberliegenden Seiten in zwei kongruente Teilrechtecke $R_{1}$ und $R_{2}$ zerlegt wurde. Für ein wohldefiniertes Flächenintegral für $\gamma _{_{R}}$ muss sich das Flächenintegral wie folgt als Summe der Flächenintegrale über Teilrechtecke $\gamma _{_{R_{1}}}$ und $\gamma _{_{R_{2}}}$ darstellen lassen:

\iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z=\iint _{\gamma _{_{R_{1}}}}f(z)\,d^{2}\!z+\iint _{\gamma _{_{R_{2}}}}f(z)\,d^{2}\!z

Siehe auch