Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Nullstellen reeller Polynome

Einleitung

Das Lemma über komplexe Nullstellen von Polynomen mit reellwertigen Koeffizienten besagt, dass komplexe Nullstellen solcher Polynome immer in konjugierten Paaren auftreten. Hier ist der Beweis dieses Lemmas, ein konkretes Beispiel und die Verbindung zum Fundamentalsatz der Algebra.

Lemma - komplexe Nullstellen von Polynomen mit reellwertigen Koeffizienten

Sei $f\in \mathbb {R} [x]$ ein Polynom mit reellwertigen Koeffizienten. Man betrachtet nun $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ als Abbildung mit komplexen Definitions- und Wertebereich. Wenn $z=z_{1}+iz_{2}\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ eine komplexe Nullstelle von $f$ ist, dann ist auch ${\overline {z}}=z_{1}-iz_{2}$ eine Nullstelle von $f$.

Beweis - Nullstellenlemma

Sei $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ ein Polynom vom Grad $n\in \mathbb {N}$, wobei $a_{i}\in \mathbb {R}$ für alle $i\in \{0,\ldots ,n\}$.

Beweisschritt 1 - Komplexe Nullstelle beliebig wählen

Sei $z=z_{1}+iz_{2}\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ eine beliebige komplexe Nullstelle mit $z_{2}\not =0$ wegen $z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$, dann gilt für $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ zunächst $f(z)=0$. Es ist nun zu zeigen, dass es auch eine zweite Nullstelle ${\overline {z}}=z_{1}-iz_{2}$ mit $f({\overline {z}})=0$ gibt.

Beweisschritt 2 - Rechenregeln für die Konjugation

In den folgenden Beweisschritten verwendet man die Rechenregeln der Konjugation für $v,w\in \mathbb {C}$

• ${\overline {v+w}}={\overline {v}}+{\overline {w}}$
• ${\overline {v\cdot }}={\overline {v}}\cdot {\overline {w}}$
• ${\overline {v^{n}}}={\overline {v}}^{n}$

Beweisschritt 3 - Rechenregeln für die Konjugation

Wendet man diese Rechenregel auf $f(z)=0$ an, dann gilt:

$f(z)=0\Longrightarrow {\overline {f(z)}}={\overline {0+0i}}={\overline {0-0i}}=0$

Ferner hat $f$ die folgende Darstellung:

$f(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=0$

Da die Koeffizienten $a_{i}$ reell sind, gilt:

${\overline {f(z)}}={\overline {a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}}$

Da die Konjugation eine lineare Operation ist und die Koeffizienten reell sind, gilt:

${\overline {f(z)}}=a_{n}{\overline {z^{n}}}+a_{n-1}{\overline {z^{n-1}}}+\cdots +a_{1}{\overline {z}}+a_{0}$

Nun verwenden wir die Eigenschaft der Konjugation, dass ${\overline {z^{k}}}=({\overline {z}})^{k}$ für alle $k\in \mathbb {N}$:

${\overline {f(z)}}=a_{n}({\overline {z}})^{n}+a_{n-1}({\overline {z}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\overline {z}})+a_{0}$

Da $f(z)=0$, gilt auch ${\overline {f(z)}}f({\overline {z}})=0$. Also:

$a_{n}({\overline {z}})^{n}+a_{n-1}({\overline {z}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\overline {z}})+a_{0}=0$

Das bedeutet, dass ${\overline {z}}$ ebenfalls eine Nullstelle von $P(x)$ ist.

$\blacksquare$

Konkretes Beispiel

Betrachtet man das Polynom $f(x)=x^{2}+x+1$.

Die Nullstellen dieses Polynoms sind die Lösungen der Gleichung $x^{2}+x+1=0$.

Verwenden wir die quadratische Formel:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Hier ist $a=1$, $b=1$ und $c=1$:

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}}{2\cdot 1}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1-4}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}$

Die Nullstellen sind also:

$z_{1}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\quad {\text{und}}\quad z_{2}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}$

Man sieht, dass $z_{2}={\overline {z_{1}}}$.

Verbindung zum Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten mindestens eine komplexe Nullstelle hat. Insbesondere bedeutet dies, dass ein Polynom vom Grad $n$ genau $n$ komplexe Nullstellen hat (mit Vielfachheit gezählt).

Nullstellenpaare für nicht reelle Nullstellen

Für Polynome mit reellwertigen Koeffizienten bedeutet dies, dass alle komplexen Nullstellen, die nicht reell sind, in konjugierten Paaren auftreten müssen. Dies folgt direkt aus dem obigen Lemma. Nullstelle $z=z_{1}+iz_{2}\in \mathbb {C}$ von $f$, die nicht reellwertig sind (d.h. $z_{2}\not =0$) treten immer als Nullstellenpaare $z,{\overline {z}}$ bei Nullstellen auf.

Ungerader Grad des Polynoms

Ferner haben Polynome vom Grad $n$ unter Berücksichtigung der Vielfachheit $n$ Nullstellen. Ist $n=2k+1$ mit $k\in \mathbb {N} _{0}$ ungerade, dann muss das Polynom $f$ mit reellen Koeffizienten mindestens eine reellwertig Nullstelle besitzen, da Nullstelle $z=z_{1}+iz_{2}\in \mathbb {C}$ mit $z_{2}\not =0$ als Nullstellenpaare $z,{\overline {z}}$ bei Nullstellen auftreten werden.

Zusammenfassung

• Das Lemma besagt, dass komplexe Nullstellen von Polynomen mit reellwertigen Koeffizienten in konjugierten Paaren auftreten.
• Ein konkretes Beispiel ist das Polynom $x^{2}+x+1$, dessen Nullstellen ${\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ und ${\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}$ sind.
• Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass jedes nicht-konstante Polynom mindestens eine komplexe Nullstelle hat, und für Polynome mit reellwertigen Koeffizienten bedeutet dies, dass nicht-reelle Nullstellen $z_{0}$ in konjugierten Paaren $\{z_{0},{\overline {z_{0}}}\}$ auftreten.

Diese Verbindung zeigt, wie grundlegende Eigenschaften von Polynomen und komplexen Zahlen zusammenwirken, um wichtige Ergebnisse in der Algebra zu erzielen.

Siehe auch

• Fundamentalsatz der Algebra