Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale

Einleitung

In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt $A_{\Delta }$ eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:

A_{\Delta }={\frac {g\cdot h}{2}}

Dabei ist $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der Flächenrechnungen eines Parallelogramms ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei kongruente Dreieck zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen Flächenintegralen, Wegintegralen und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie

Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion $f$ des Maßes $\mu _{f}$ ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion $f=1$ als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion $f$ konstant, so $\mu _{f}$ bzgl. Kongruenzabbildungen invariant bzgl. des Flächeninhaltes.

Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke

In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck $R$ mit der Breite $g$ und der Höhe $h$ durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke $\Delta$ und ${\widehat {\Delta \,}}$ zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt $\mu _{1}(\Delta )=\mu _{1}{\big (}\,{\widehat {\Delta \,}}\,{\big )}$ für das invariante Maß $\mu _{1}$ unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks $\mu _{1}(\Delta )={\tfrac {1}{2}}\cdot \mu _{1}(R)$ . Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen.

Dreiecke 1 als orientierte Fläche

Ein Dreieck $\Delta :=\Delta (z_{3},z_{2},z_{1})\subset \mathbb {C}$ wird wie folgt als orientierte Fläche mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert:

{\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})&=&z_{3}+(z_{2}-z_{3})\cdot t_{1}+(z_{1}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\Grad\left(\gamma _{_{\Delta }}\right)(t_{1},t_{2})&=&{\bigg (}(z_{2}-z_{3})+(z_{1}-z_{2})\cdot t_{2}\,\,\,,\,\,\,(z_{1}-z_{2})\cdot t_{1}{\bigg )}\in \mathbb {C} ^{2}\end{array}}

Flächenintegral über Dreieck 1

Mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke für $\Delta :=\Delta (z_{3},z_{2},z_{1})\subset \mathbb {C}$ wird über die obige orientierte Fläche $\gamma _{_{\Delta }}$ erhält man mit der Stammfunktion $F$ folgende Darstellungen:

{\underset {\gamma _{_{\Delta }}}{\iint }}f(z)\,\,\,d^{2}z\,\,\,=\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,\,d\xi =F_{_{\Box }}(z_{2})-F_{_{\Box }}(z_{1})

Dreiecke 2 als orientierte Fläche

Ein Dreieck ${\widetilde {\Delta }}:=\Delta (z_{2},z_{3},z_{4})\subset \mathbb {C}$ wird wie folgt als orientierte Fläche mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert:

{\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})&=&z_{2}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}+(z_{4}-z_{3})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\Grad\left(\gamma _{_{\Delta }}\right)(t_{1},t_{2})&=&{\bigg (}(z_{3}-z_{2})+(z_{4}-z_{3})\cdot t_{2}\,\,\,,\,\,\,(z_{4}-z_{3})\cdot t_{1}{\bigg )}\in \mathbb {C} ^{2}\end{array}}

Flächenintegral über Dreieck 2

Mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke für ${\widetilde {\Delta }}:=\Delta (z_{2},z_{3},z_{4})\subset \mathbb {C}$ wird über die obige orientierte Fläche $\gamma _{_{\widetilde {\Delta }}}$ erhält man mit der Stammfunktion $F$ folgende Darstellungen:

{\underset {\gamma _{_{\widetilde {\Delta }}}}{\iint }}f(z)\,\,\,d^{2}z\,\,\,=\!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,\,d\xi =F_{_{\Box }}(z_{4})-F_{_{\Box }}(z_{3})

Ziel der Lerneinheit

Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln.

Lernvoraussetzungen

Lernvoraussetzung dazu sind:

Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion bei der die Eckpunkte $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\in K\subseteq G$ die Eckpunkte eines Rechtecks $R:=[a_{1},b_{1}]+i[a_{2},b_{2}]$ sind. $R$ liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen $K\subseteq G$ . Dabei gilt $z_{2}-z_{1},z_{4}-z_{3}\in \mathbb {R}$ und $z_{3}-z_{1},z_{4}-z_{2}\in i\cdot \mathbb {R}$ . Dann gilt für das Flächenintegral über $\Delta =\Delta (z_{3},z_{2},z_{1})$ und ${\widetilde {\Delta }}=\Delta (z_{2},z_{3},z_{4})$ mit der Stammfunktion $F:K\to \mathbb {C}$ folgende Gleichung:

{\begin{array}{rcl}\iint _{R}f(z)\,d^{2}\!z&=&\iint _{\Delta }f(z)\,d^{2}\!z+\iint _{\widetilde {\Delta }}f(z)\,d^{2}\!z\\&=&{\underset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,d\xi +{\underset {\langle z_{4},z_{3}\rangle }{\int }}F(\xi )\,d\xi \end{array}}

Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck

Die Eckpunkt des Rechtecks $R$ erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung $z_{2}-z_{1},z_{4}-z_{3}\in \mathbb {R}$ und $z_{3}-z_{1},z_{4}-z_{2}\in i\cdot \mathbb {R}$ , die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen.

Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck

Die Diagonale des Rechtecks $R$ zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über $\Delta =\Delta (z_{3},z_{2},z_{1})$ und ${\widetilde {\Delta }}=\Delta (z_{2},z_{3},z_{4})$ .

Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie

In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in $\mathbb {C}$ als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum Lemma von Goursat eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

Beweis - Zerlegungslemma

Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des Flächenintegralsatz für Dreiecke. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks $R$ aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke $\Delta$ und ${\widetilde {\Delta }}$ , die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck $R$ liefern. Die Schnittmenge der $\Delta \cap {\widetilde {\Delta }}\not =\emptyset$ ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf $\mathbb {C}$ .

Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke

Nach dem Lemma für Rechteckintegrale lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von $R$ über $F_{_{\Box }}$ als Stammfunktionen zweiter Ordnung berechnen. Man erhält mit der Flächenstammfunktion $F_{_{\Box }}$ den folgenden komplexen Flächeninhalt.

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{R}f(z)\,d^{2}z&=&\displaystyle F_{_{\Box }}(z_{4})-F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})+F_{_{\Box }}(z_{1})\\&=&\displaystyle \underbrace {F_{_{\Box }}(z_{4})-F_{_{\Box }}(z_{3})} _{={\underset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\int }}F(z)\,dz}+\underbrace {F_{_{\Box }}(z_{1})-F_{_{\Box }}(z_{2})} _{={\underset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\int }}F(z)\,dz}\\\end{array}}

Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke

Für eine holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ lässt sich das Integral über das konvexe Dreieck $\Delta =\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ mit den Eckpunkten $z_{1},z_{2},z_{3}\in G$ über die folgende orientierte Fläche auf $[0,1]\times [0,1]$ :

\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})=z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{1})\cdot t_{1}\cdot t_{2}

definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion $F$ und Flächenstammfunktion $F_{\Box }$ von $f$ :

\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z={\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi =\underbrace {{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi } _{=F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})}

Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale

Mit der folgenden Darstellung als Randwegintegral für Dreiecke erhält man

{\overset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\underset {z_{3}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,={\underset {\langle z_{3},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi ={\underset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi

Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck $\Delta :=\Delta (z_{3},z_{2},z_{1})$ .

Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale

Mit der folgenden Darstellung als Randwegintegral für Dreiecke erhält man

{\overset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\underset {z_{2}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,={\underset {\langle z_{4},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi ={\underset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi

Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck ${\widetilde {\Delta }}:=\Delta (z_{2},z_{3},z_{4})$ .

Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke

In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck $R\subset G$ als konvexe Teilmenge des Definitionsbereiches $G$ von $f:G\to \mathbb {C}$ über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion $F$ von $f$ dargestellt. Diese Randwegintegrale entsprechen durch Anwendung des Flächenintegralsatzes über Dreiecke den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über $\Delta$ und ${\widetilde {\Delta }}$ .

Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{R}f(z)\,d^{2}z&=&\displaystyle {\underset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\int }}F(z)\,dz\,\,\,+{\underset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\int }}F(z)\,dz\\&=&\displaystyle {\overset {\langle z_{3},z_{4}\rangle }{\underset {z_{2}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,\,+{\overset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\underset {z_{3}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z\\&=&\displaystyle \iint _{\widetilde {\Delta }}f(z)\,dz+\iint _{\Delta }f(z)\,dz\\\end{array}}

Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. $\quad \Box$

Aufgabe für Studierende

Führen Sie einen analogen Beweis für die 2. Diagonale im Rechteck durch! Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es!
Berechnen Sie für $R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]$ und $f(z):=z^{2}$ Integrale für die beiden unterschiedlichen Zerlegungen in Teildreiecke für die beiden Diagonalen!

Bezug zur Geometrie der Ebene

Die Diagonale des Rechtecks $R$ zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. $g\cdot h=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})$ liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt ${\tfrac {g\cdot h}{2}}$ . Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ kann man nicht voraussetzen, dass $f$ konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über $\Delta =\Delta (z_{3},z_{2},z_{1})$ und ${\widetilde {\Delta }}=\Delta (z_{2},z_{3},z_{4})$ nicht notwendig den gleichen Wert.

Veranschaulichung Teildreiecke

In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck $\Delta =\Delta (z_{3},z_{2},z_{1})$ in dem Rechteck $R$ dargestellt. In dem zweiten Teildreick ${\widetilde {\Delta }}=\Delta (z_{2},z_{3},z_{4})$ in $R$ wird die Funktion $f$ an einer anderen Stelle im Definitionsbereich $G$ ausgewertet.

Siehe auch

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