Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale

Einleitung

Der Residuensatz ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet $G$ holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen.

Einfach geschlossene Wege

Ein Spezialfall von nullhomologen Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus $G\setminus \mathbb {C}$ umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet.

Beispiel 1 - Polynom im Nenner

Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um $z_{o}=1+2i$ mit dem Radius $r=2$ über die folgende meromorphe Funktion $f$ :

{\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {C} &\rightarrow &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &\displaystyle f(z)={\frac {(3+i)\cdot z^{2}}{z^{2}+1}}\end{array}}

1.1. Definition der Wege

Der Weg über dne Kreis um $z_{o}=1+2i$ mit dem Radius $r=2$ ist wie folgt definiert:

{\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=z_{o}+r\cdot e^{i\cdot t}\end{array}}

1.2. Pole und Nullstellen

Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion $f$ eine Nullstelle der Ordnung 2 in $z_{1}=0$ besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ zwei Pole erster Ordnung in $z_{2}=i$ und $z_{3}=-i$ , wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist:

{\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {C} &\rightarrow &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &\displaystyle f(z)={\frac {(3+i)\cdot z^{2}}{z^{2}+1}}={\frac {(3+i)\cdot z^{2}}{(z+i)\cdot (z-i)}}\end{array}}

Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet.

1.3 Umlaufzahl

In dem Residuensatz geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus $\Gamma$ ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg $\Gamma :=\gamma$ besteht. Also gilt für alle $z\in D_{r}(z_{o})$ auch $n(\gamma ,z)=1$ .

1.4 Singularitäten auf der Spur

Um den Residuensatz anwwenden zu können, dürfen keine Singularitäten auf der Spur von $\gamma$ liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät $z_{k}\in S=\{+i,-i\}$ und $z_{o}$ .

{\begin{array}{rclclcl}|z_{2}-z_{0}|&=&|i-(1+2i)|&=&|-1-i|&=&{\sqrt {2}}&<&2\\|z_{3}-z_{0}|&=&|-i-(1+2i)|&=&|-1-3i|&=&{\sqrt {10}}&>&2\\\end{array}}

Die Abstände sind alle $|z_{k}-z_{0}|\not =2$ und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um $z_{0}$ . Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg $\gamma$ umrundet werden. Es gilt $n(\gamma ,z_{2})=1$ und $n(\gamma ,z_{3})=0$ .

1.5 - Residuen berechnen

Berechnung von $Res_{+i}(f)$ erfolgt über:

Res_{+i}(f)=\lim _{z\to i}(z-i)\cdot f(z)=

Berechnung von $Res_{-i}(f)$

Res_{-i}(f)=\lim _{z\to i}(z+i)\cdot f(z)=

1.6 - Residuensatz anwenden

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\cdot {\text{Res}}_{i}\left(f\right)=2\pi i\cdot {\frac {....}{...}}={\frac {}{}}.

Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals:

\int _{\partial D_{2}(1+i)}{\frac {(3+i)\cdot z^{2}}{z^{2}+1}}\,dz={\frac {....}{.....}}.

Pole und gebrochen rationale Funktionen

Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form $z-z_{k}$ mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner.

Beispiel 1: Trigonometrisches Integral

Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg $\gamma _{o}(t)=t$ mit dem Definitionsbereich $[0,2\pi ]$ .

\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{5+4\cos(x)}}\,dx

Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene transformiert.

Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus

Den Kosinus kann man für reellwertige $x\in \mathbb {R}$ über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken:

e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)

Den Realteil einer Zahl $z$ kann man ferner über ${\overline {z}}$ darstellen:

z+{\overline {z}}=2\cdot {\mathfrak {Re}}(z)\ \,{\mbox{  }}\ \,{\mathfrak {Re}}(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}

Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von $e^{ix}$ an.

Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus

Man setzt $z:=e^{ix}$ gilt für die Darstellung von ${\overline {z}}={\overline {e^{ix}}}=e^{-ix}$ . Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann:

\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}={\frac {e^{ix}+(e^{ix})^{-1}}{2}}={\frac {z+z^{-1}}{2}}.

Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges

Definition des Integrationsweges:

{\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&x&\mapsto &\gamma (x)=e^{ix}\end{array}}

Für die Ableitung des Integrationsweges gilt $\gamma {\,}'(x)=i\cdot e^{ix}$ . Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt.

Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition

Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben:

\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{5+4\cos(x)}}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{5+4\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)}}\cdot \underbrace {\frac {i\cdot e^{ix}}{i\cdot e^{ix}}} _{=1}\,dx

Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung $\gamma {\,}'(x)=i\cdot e^{ix}$ erhält

Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel

Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg $\gamma _{o}(t)=t$ , sondern nun über den Kreisrand $\gamma (x)=e^{ix}$ mit Radius 1:

\oint _{|z|=1}{\frac {1}{5+4\left({\frac {z+z^{-1}}{2}}\right)}}\cdot {\frac {1}{iz}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {dz}{i(5z+2z^{2}+2)}}.

(Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.)

Schritt 1.6 - Mitternachtformel

Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung $az^{2}+bz+c=0$ mit reellen Koeffizienten $a\neq 0$ , $b$ und $c$ lassen sich mit der Mitternachtsformel

z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der Wurzel ab.

Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:

Für den Nenner $2z^{2}+5z+2=0$ bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind:

z_{1,2}={\frac {-5\pm {\sqrt {5^{2}-4\cdot 2\cdot 2}}}{2\cdot 2}}={\frac {-5\pm {\sqrt {25-16}}}{4}}={\frac {-5\pm {\sqrt {9}}}{4}}

Damit erhält man die Nullstellen $z_{1}=-{\tfrac {2}{4}}=-{\tfrac {1}{2}}$ und $z_{2}=-{\tfrac {8}{4}}=-2$ .

Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz

Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des Residuensatzes ein. Dabei wird nur $z_{1}=-{\frac {1}{2}}$ von dem Integrationsweg $\gamma$ auf dem Einheitskreis mit $|z|=1$ umrundet. $z_{2}=-2$ liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt $n(\gamma ,z_{1})=1$ und $n(\gamma ,z_{2})=0$ .

Schritt 1.8 - Residuum berechnen

Da es nun eine relevante Singularität $z_{1}=-{\frac {1}{2}}$ berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle {\text{Res}}_{-{\tfrac {1}{2}}}\left(f\right)&=&\displaystyle \lim _{z\to -{\tfrac {1}{2}}}\left(z+{\frac {1}{2}}\right)\cdot {\frac {1}{i(2z^{2}+5z+2)}}\\&=&\displaystyle \lim _{z\to -{\tfrac {1}{2}}}{\frac {\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}{2i\cdot \left(z+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \left(z+2\right)}}\\&=&\displaystyle {\frac {1}{3i\,.}}\\\end{array}}

Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden

\oint _{|z|=1}f(z)\,dz=2\pi i\cdot {\text{Res}}_{-{\tfrac {1}{2}}}\left(f\right)=2\pi i\cdot {\frac {1}{3i}}={\frac {2\pi }{3}}.

Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals:

\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{5+4\cos(x)}}\,dx={\frac {2\pi }{3}}.

Beispiel 2 - Uneigentliches Integral

Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann:

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}}

Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner

Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen.

x^{2}+1=(x+i)\cdot (x-i)\quad \quad x^{2}+4=(x+2i)\cdot (x-2i)

Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung

Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion $f$ mit:

f(x)={\frac {1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}}.

Polstellen sind $x_{1,2}=\pm i$ und $x_{3,4}=\pm 2i$ .

Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral

Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess:

\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}f(x)dx

Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg $\gamma _{_{R}}(x)=x$ mit dem Definitionsbereich $[-R,+R]$ interpretiert.

Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus

Ferner wird ein weiterer Weg ${\widehat {\gamma _{_{R}}}}(x)=R\cdot e^{ix}$ mit dem Definitionsbereich $[0,\pi ]$ definiert. Die Kette

\Gamma _{_{R}}:=\gamma _{_{R}}+{\widehat {\gamma _{_{R}}}}

ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn $R>0$ groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral:

\oint _{\Gamma _{_{R}}}f(z)\,dz=\int _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,dz+\int _{\widehat {\gamma _{_{R}}}}f(z)\,dz

Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen

Nur $x_{1}=i$ und $x_{3}=2i$ liegen in der oberen Halbebene. Für $R>2$ werden $x_{1}=i$ und $x_{3}=2i$ von dem Zyklus $\Gamma _{_{R}}$ jeweils mit $n(\Gamma _{_{R}},x_{1})=n(\Gamma _{_{R}},x_{3})=1$ umrundet.

Schritt 2.6 - Residuen berechnen

Für die Singularität $z_{1}=i$ liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt:

{\text{Res}}_{i}(f)=\lim _{z\to i}(z-i)\cdot {\tfrac {1}{(z-i)(z+i)(z^{2}+4)}}={\tfrac {1}{2i\cdot (i^{2}+4)}}={\tfrac {1}{6i}}.

Analog gilt für $z_{3}=2i$ als Pol 1. Ordnung:

{\text{Res}}_{2i}(f)=\lim _{z\to 2i}(z-2i)\cdot {\tfrac {1}{(z^{2}+1)(z-2i)(z+2i)}}={\tfrac {1}{(-4+1)\cdot 4i}}=-{\tfrac {1}{12i}}.

Den vorderen Linearfaktor $z-i$ bzw. $z-2i$ kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess $z\not =i$ bzw. $z\not =2i$ voraussetzt.

Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden

Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für $R>2$ :

\oint _{\Gamma _{_{R}}}f(z)\,dz=2\pi i\left({\frac {1}{6i}}-{\frac {1}{12i}}\right)=2\pi i\cdot {\frac {1}{12i}}={\frac {\pi }{6}}.

Als Ergebnis des Integrals über Zyklus $\Gamma _{_{R}}$ erhält man:

\oint _{\Gamma _{_{R}}}{\frac {dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}}={\frac {\pi }{6}}.

Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis

Für die Berechnung des Integrals über $f$ wird man nun zeigen, dass das Integral über ${\widehat {\gamma _{_{R}}}}$ für den Grenzwertprozess $R\to +\infty$ gegen 0 konvergiert:

\lim _{R\to +\infty }\oint _{\Gamma _{_{R}}}f(z)\,dz=\lim _{R\to +\infty }\int _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,dz+\underbrace {\lim _{R\to +\infty }\int _{\widehat {\gamma _{_{R}}}}f(z)\,dz} _{=0}

Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis

Um zu zeigen, dass $\lim _{R\to +\infty }\int _{\widehat {\gamma _{_{R}}}}f(z)\,dz=0$ gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab:

\left|\int _{\widehat {\gamma _{_{R}}}}f(z)\,dz\right|\leq \int _{\widehat {\gamma _{_{R}}}}\left|f(z)\right|\,dz\leq \underbrace {\pi \cdot R} _{={\mathcal {L}}({\widehat {\gamma _{_{R}}}})}\cdot {\frac {1}{(2\cdot R)^{4}}}{\underset {R\to +\infty }{\longrightarrow }}0

Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess $R>5$ gewählt werden.

Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden

Da $\lim _{R\to +\infty }\int _{\widehat {\gamma _{_{R}}}}f(z)\,dz=0$ gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert:

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\left({\frac {1}{6i}}-{\frac {1}{12i}}\right)=2\pi i\cdot {\frac {1}{12i}}={\frac {\pi }{6}}.

Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch:

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}}={\frac {\pi }{6}}.

Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler

Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden:

\int _{0}^{+\infty }{\frac {4a\cdot \cos(x)}{x^{2}+a^{2}}}\,dx\quad (a>0)

Der Graph des Nenner $x^{2}+a^{2}$ ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen $y$ -Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

Schritt 3.1 - Achsensymmetrie

Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur $y$ -Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für $(-R,+R)$ .

\int _{-R}^{+R}{\frac {4a\cdot \cos(x)}{x^{2}+a^{2}}}\,dx=2\cdot \int _{0}^{R}{\frac {4a\cdot \cos(x)}{x^{2}+a^{2}}}\,dx\quad (a>0)

Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand

Das Integral von $-R$ bis $+R$ durchläuft $4a\cdot e^{ix}$ einmal den Kreisrand mit de Radius $4a$ . Da der Kosinus $\cos(x)$ der Realteil von $e^{ix}$ ist, gilt auch:

4a\cdot \cos(x)=4a\cdot {\mathfrak {Re}}(e^{ix})={\mathfrak {Re}}{\big (}4a\cdot \cos(x){\big )}

Schritt 3.3 - Funktion definieren

Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von $e^{iz}$

f(z)={\frac {4a\cdot e^{iz}}{z^{2}+a^{2}}}={\frac {4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z+ia)}}.

Die Polstellen sind $z_{1,2}=\pm ai$ sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt $z_{1}=ai$ in der oberen Halbebene und $z_{2}=-ai$ in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius $R>a$ umlaufen. Der Zyklus $\Gamma _{_{R}}$ für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt.

Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus

Ferner wird ein weiterer Weg ${\widehat {\gamma _{_{R}}}}(x)=R\cdot e^{ix}$ mit dem Definitionsbereich $[0,\pi ]$ definiert. Die Kette

\Gamma _{_{R}}:=\gamma _{_{R}}+{\widehat {\gamma _{_{R}}}}

ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn $R>0$ groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral:

\oint _{\Gamma _{_{R}}}f(z)\,dz=\int _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,dz+\int _{\widehat {\gamma _{_{R}}}}f(z)\,dz

Schritt 3.5 - Residuen berechnen

Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet:

{\text{Res}}_{ai}(f)=\lim _{z\to ai}(z-ai)\cdot {\frac {4a\cdot e^{iz}}{(z-ai)(z+ai)}}={\frac {4a\cdot e^{-a}}{2ai}}={\frac {2\cdot e^{-a}}{i}}.

Analog gilt für die zweite Singularität in $-ai$ berechnet:

{\text{Res}}_{-ai}(f)=\lim _{z\to -ai}(z+ai)\cdot {\frac {4a\cdot e^{iz}}{(z-ai)(z+ai)}}={\frac {4a\cdot e^{a}}{-2ai}}=-{\frac {2\cdot e^{a}}{i}}.

Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden

Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit $R>a$ und $n(\Gamma _{_{R}},ia)=1$ und $n(\Gamma _{_{R}},-ia)=0$ :

\int _{\Gamma _{_{R}}}{\frac {4a\cdot e^{ix}}{x^{2}+a^{2}}}\,dx=2\pi i\cdot {\frac {2e^{-a}}{i}}=4\pi \cdot e^{-a}.

Da $\cos(x)$ der Realteil von $e^{ix}$ ist, gilt ${\mathfrak {Re}}(e^{ix})=\cos(x)$ und $4\pi \cdot e^{-a}={\mathfrak {Re}}(4\pi \cdot e^{-a})$ :

\int _{-R}^{+R}{\frac {4a\cdot \cos(x)}{x^{2}+a^{2}}}\,dx+\underbrace {\int _{\widehat {\gamma _{_{R}}}}{\frac {4a\cdot \cos(z)}{z^{2}+a^{2}}}\,dz} _{{\underset {R\to +\infty }{\longrightarrow }}0}=4\pi \cdot e^{-a}.

Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von ${\tfrac {4a}{x^{2}+a^{2}}}$ um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne $\cos(x)$ , $\sin(x)$ bzw. $e^{ix}$ untersucht werden.