Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen

Einleitung

Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ auf einem Gebiet $G$ ist ein Holomorphiekriterium, denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen $F:D_{r}(z_{o})\to \mathbb {C}$ mit $F'=f$ auf Kreisscheiben $D_{r}(z_{0})$ ist $F$ und damit auch $F'=f$ auf $D_{r}(z_{0})$ . Da $f$ auf ganz $G$ lokale Stammfunktionen besitzt ist $f$ auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf $G$ . Lokale Stammfunktionen werden verwendet, um Flächenintegrale in der Funktionentheorie berechnen zu können.

Stammfunktionen und Ableitungen

In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wurde im ersten Teil des Kurses gezeigt, dass "1x komplex differenzierbar" schon "unendlich oft komplex differenzierbar". Der folgende Satz zeigt, dass dieses auch für Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung gilt. Allerdings gilt diese Eigenschaft wegen der Konvergenzradien von Potenzradien und dem Abelschen Lemma nur auf lokal auf Kreischeiben $D_{r}(z_{0})$ .

Definition - Stammfunktion höherer Ordnung

Für eine holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ heißt $F_{(k)}:D_{r}(z_{o})\to \mathbb {C}$ lokale Stammfunktion der Ordnung $k$ , wenn gilt:

Kreischeibe $D_{r}(z_{o}):=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,|z-z_{0}|<r\}\subset G$ mit $F_{(0)}:=f$ ,
$F_{(1)}:=F$ ist eine lokale Stammfunktion von $f$ auf $D_{r}(z_{o})$ (d.h. $F'=f$ ),
$F'_{(i+1)}:=F_{(i)}$ für alle $i\in \{1,\ldots ,k-1\}$ .

Ableitungen und Stammfunktion

Bezeichnet $g^{(k)}:G\to \mathbb {C}$ die $k$ -te Ableitung einer holomorphen Funktion $g:G\to \mathbb {C}$ , so kann man für $k\in \mathbb {N} _{0}$ den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen:

{\big (}F_{(k)}{\big )}^{(k)}:=f

Dabei gilt ${\big (}f^{(k)}{\big )}_{(k)}=f$ gilt im Allgemeinen nicht.

Aufgabe für Studierende

Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ an, dass ${\big (}F^{(k)}{\big )}_{(k)}=f$ im Allgemeinen nicht gilt. ${\big (}F^{(k)}{\big )}_{(k)}$ bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung $k$ gebildet wird.

Satz über lokale Stammfunktionen

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, die auf der Kreisscheibe $D_{r}(z_{o}):=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,|z-z_{0}|<r\}\subset G$ die folgende Potenzreihendarstellung besitzt

f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot (z-z_{o})^{n},

dann besitzt $f$ lokale Stammfunktionen $F_{(k)}:D_{r}(z_{o})\to \mathbb {C}$ beliebig hoher Ordnung $k\in \mathbb {N}$ , die die folgende Potenzreihendarstellung für $|z-z_{o}|<r$ besitzt:

F_{(k)}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{(n+k)!}}\cdot a_{n}\cdot (z-z_{o})^{n+k},

Bemerkung - Existenzaussage Stammfunktion k-ter Ordnung

Der obige Satz ist eine Existenzaussage für Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung $k\in \mathbb {N}$ . Der Differenzsatz für Stammfunktionen zeigt dann, dass sich zwei beliebige Stammfunktionen $F_{(k)}$ und ${\widehat {F_{(k)}}}$ der Ordnung $k$ durch eine Polynom der Ordung $k-1\in \mathbb {N}$ unterscheiden. Für Stammfunktionen $F$ (also Stammfunktion erster Ordnung) unterscheiden sich diese um eine Konstante $c\in \mathbb {C}$ .

Beweis

Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von $f$ gleichmäßig gegen die Potenzreihe konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden beiden Teilaussagen:

(B1) Existenz: lokale Stammfunktion $F_{(1)}:D_{r}(z_{o})\to \mathbb {C}$ erster Ordnung $k=1$ ,
(B2) Potenzreihendarstellung: die Stammfunktion $F_{(k)}$ der Ordnung $k\in \mathbb {N}$ besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und
(B3) Konvergenzradius: der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen $F_{(k)}$ entspricht dem Konvergenzradius $r>0$ der Potenzreihe für $f$ .

Beweis B1 - Existenz

Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung $n+1$ aus der Stammfunktion der Ordnung $n$ erhält man die lokale Stammfunktionen $F_{(k)}:D_{r}(z_{o})\to \mathbb {C}$ beliebiger Ordnung.

Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel

Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des Cauchy-Kerns kann man die Funktion $f$ lokal auf Kreisscheiben $D_{r}(z_{o}):=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,|z-z_{0}|<r\}\subset G$ in die folgende Potenzreihe entwickeln:

f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\underbrace {\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z_{o}\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)} _{=a_{n}}(z-z_{o})^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot (z-z_{o})^{n}.

Die Potenzreihe ist für einen Entwicklungspunkt $z_{o}\in G$ nach dem Identitätssatz eindeutig bestimmt. Mit der Integralformel für $f^{(n)}$ folgt sofort, dass die Koeffizienten $a_{n}$ genau die Taylor-Koeffizienten sind.

Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz

Analog zum Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für $f(z)$ summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit der Eigenschaft $F(z_{o})=0$ .

F(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n+1}}\cdot (z-z_{o})^{n+1}

Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2

Da auch für $F$ die Partialsummen der Potenzreihe von $F$ wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für $F(z)$ konvergieren, kann man auch $F$ summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion $F_{(2)}$ von $F$ , die ebenfalls die Eigenschaft $F_{(2)}(z_{o})=0$ erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung:

F_{(2)}(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)}}\cdot (z-z_{o})^{n+2}

Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung

Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit $n!$ im Bruch ${\tfrac {1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}}$ .

{\begin{array}{rcl}F_{(k)}&=&\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}}\cdot a_{n}\cdot (z-z_{o})^{n+k}\\&=&\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{(n+k)!}}\cdot a_{n}\cdot (z-z_{o})^{n+k},\\\end{array}}

Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung

In dem Beweiteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen $F_{(k)}$ mit beliebig hoher Ordnung $k\in \mathbb {N}$ mit dem Konvergenzradius $r$ der lokalen Potenzreihenentwicklung von $f$ übereinstimmt.

Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius

Der Konvergenzradius einer Potenzreihe ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}}$ ist als das Supremum aller Zahlen $r_{z}\geq 0$ definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein $z\in \mathbb {C}$ mit $|z-z_{0}|=r_{z}$ konvergiert:

r:=\sup \left\{|z-z_{0}|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ {\text{konvergiert}}\right.\right\}

Falls $f$ eine ganze Funktion ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: $r:=\infty$ .

Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard

Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen: Es gilt

r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)}}.

Dabei setzt man $r=0$ , falls der Limes superior im Nenner gegen $+\infty$ konvergiert, und $r=+\infty$ , falls dieser gegen $0$ strebt.

Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion

Die Potenzreihendarstellung von $F$ lautet unter Verwendung der Indexverschiebung:

F(z)=\int _{\langle z_{o},z\rangle }f(\xi )\,d\xi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n+1}}\cdot (z-z_{o})^{n+1}=\sum _{n=1}^{\infty }\underbrace {\frac {a_{n-1}}{n}} _{=b_{n}}\cdot (z-z_{o})^{n}.

Mit der Formel von Cauchy-Hadamard erhält man:

r_{\!_{F}}={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|b_{n}|}}\right)}}.

Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior

Betrachtet man das Argument des Limes superior im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term:

{\sqrt[{n}]{|b_{n}|}}={\sqrt[{n}]{\left|{\frac {a_{n-1}}{n}}\right|}}={\frac {\sqrt[{n}]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[{n}]{n}}}={\frac {\left({\sqrt[{n-1}]{|a_{n-1}|}}\right)^{\frac {n-1}{n}}}{\sqrt[{n}]{n}}}

Für $n\to \infty$ konvergiert der Term ${\frac {n-1}{n}}$ gegen 1.

Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior

Mit den Regel von L’Hospital lässt sich zeigen, das der Term ${\sqrt[{n}]{n}}$ für $n\to \infty$ ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms ${\sqrt[{n}]{n}}>0$ :

\lim _{n\to \infty }\ln({\sqrt[{n}]{n}})=\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(n)}{n}}\,\,\,{\stackrel {_{L'Hospital}}{=}}\,\,\,\lim _{n\to \infty }{\frac {\tfrac {1}{n}}{1}}=0

Damit gilt für $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }\exp(\ln({\sqrt[{n}]{n}}))=\exp(0)=1$ :

Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius

Für den Limes superior gilt damit insgesamt:

\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|b_{n}|}}\right)=\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\frac {\left({\sqrt[{n-1}]{|a_{n-1}|}}\right)^{\frac {n-1}{n}}}{\sqrt[{n}]{n}}}\right)=\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n-1}]{|a_{n-1}|}}\right)

Angewendet auf den Konvergenzradius $r_{\!_{F}}$ erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von $f$ und $F:$

r_{\!_{F}}={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|b_{n}|}}\right)}}=r.

Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior

Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius $r$ der holomorphen Funktion übereinstimmt. $\Box$

Bemerkung - Holomorphiekriterium

Die Existenz lokaler Stammfunktionen $F:D_{r}(z_{0})\to \mathbb {C}$ zu einer Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ mit ${\overline {D_{r}(z_{0})}}\subset G$ ist ein Holomorphiekriterium, denn mit dieser Eigenschaft gilt auf $z\in D_{r}(z_{0})$ auch $F'(z)=f(z)$ . Damit ist auch $f$ auf dem gesamten Gebiet $G$ holomorph.