Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen

Einleitung

In der komplexen Analysis kann man stetige Funktionen $f:G\to \mathbb {C}$ definieren, dessen Bild reellwertig Funktionen, wie z.B. die Funktion:

{\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {C} &\rightarrow &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &f(z)=f(z_{1}+iz_{2})=z\cdot {\overline {z}}=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\end{array}}

Man kann sich in der komplexen Analysis nun fragen, ob es für ein Gebiet $G\subset \mathbb {C}$ eine Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ mit $f(G)\subset \mathbb {R}$ .

Bild reellwertig

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine stetige Funktionen von einem Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$ , die nicht konstant ist und dessen Bild $f(G)$ reellwertig ist (d.h. $f(G)\subseteq \mathbb {R}$ ). Dann ist $f$ nicht holomorph.

Beweis - Anwendung 1

Annahme: Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Dann ist $f(G)$ nach dem Satz von der Gebietstreue ebenfalls ein Gebiet, d.h. wegzusammenhängend und offen in $\mathbb {C}$ .

Beweisschritt 1 - Bild reellwertig

Wähle einen beliebigen Punkt $w_{o}\in f(G)$ . Da nach Voraussetzung das Bild $f(G)\subseteq \mathbb {R}$ reellwertig ist, enthält jede Umgebung $D_{\varepsilon }(w_{o})$ für alle $\varepsilon >0$ ein Element $w_{\varepsilon }:=w_{o}+i{\tfrac {\varepsilon }{2}}\in D_{\varepsilon }(w_{o})$ mit $w_{o}\in \mathbb {R}$ , für das $w_{\varepsilon }\notin f(G)$ liegt.

Beweisschritt 2 - Bild nicht offen

Für offene Mengen $U\subseteq \mathbb {C}$ gibt es für jeden Punkt $w\in U$ eine Kreisschreibe $D_{\varepsilon }(w)$ mit $D_{\varepsilon }(w)\subseteq U$ . Für $f(G)$ existieren diese Kreisscheiben sogar für keinen Punkt $w_{o}\in f(G)$ . Daher ist das Bild nicht offen.

Beweisschritt 3 - Anwendung des Satzes von der Gebietstreue

Durch die Anwendung des Satzes der Gebietstreue müsste aber das Bild $f(G)$ von offenen Mengen $G$ holomorphe Funktionen, die nicht konstant sind, wieder offen sein. Das ist ein Widerspruch zu Annahme, dass $f$ holomorph ist.

Aufgabe - Beweis des Maximumsprinzips

Beweisen Sie das Maximumprinzip mit Hilfe des Satzes von der Gebietstreue.

Vorgehen - Widerspruchsbeweis

Sei $G\subset \mathbb {C}$ eine Gebiet und $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, die nicht kostant ist.

Annahme

Für die nicht-konstante holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ besitzt $|f|$ eine lokales Maximum in $z_{o}\in G$ mit $|f(z)|\leq |f(z_{o})|$ für alle $z\in G$ . Mit $w_{o}:=f(z_{o})\in f(G)$ gilt insbesondere $w_{o}\not =0$ , denn sonst wäre $f\equiv 0$ (Verletzung der Voraussetzung).

Widerspruch

Der Widerspruch entsteht mit $w_{o}=f(z_{o})\in f(G)$ , da $w_{\varepsilon }:=\left(1+{\tfrac {\varepsilon }{2\cdot |w_{o}|}}\right)\cdot w_{o}\in D_{\varepsilon }(w_{o})$ und $w_{\varepsilon }\notin f(G)$ .

Beweisschritte ausführen

Führen Sie die Beweisschritte kleinschrittig aus und erläutern Sie diese in den Übungen!

Siehe auch