Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale

Einleitung

In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem Residuensatz über nullhomologe Zyklen. In dieser Lerneinheit werden komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen.

Wegintegraltypen

Folgende Wegintegrale kann man dabei unterscheiden:

• (Wegintegral mit Wegableitung) Durch die Wegableitung $\gamma \,'$ in der Definition $\int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\cdot \gamma \,'(t)\,dz$ erhält man die Wegunabhängigkeit.
• (Wegintegral ohne Wegableitung) Ohne die Wegableitung $\gamma \,'$ ein Integral $\int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\,dz$ erhält man ein wegabhängiges Integral. Z.B. ist bei einem Weg-Zeit-Risikointegral genau diese Wegabhänigkeit wesentlich, um den Weg mit kleinsten Risiko in einem Optimierungsprozess zu finden.

Flächenintegral

• (Doppenintegral über Real- und Imaginärteil) Dabei wird das komplexewertige Integral mit der Identifzierung von $\mathbb {C}$ und $\mathbb {R} ^{2}$ als mehrdimensionales Integral von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ aufgefasst.

$\int _{a_{2}}^{b_{2}}\!\!\!\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(x+iy)\,dx\,dy$

• (Flächenintegral über orientierte Fläche) Eine orientierte Fläche ist eine Abbildung $\gamma :[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$, wobei die Orientierung durch einen Gradienten $Grad(\gamma )(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C} ^{2}$ beschrieben wird, mit der Notation:

$\iint _{\gamma }f(z)\,d^{2}\!z$

Vergleich der Definitionen

Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der Messbarkeitsbegriff aus der Maßtheorie verwendet und für die Borelsche Sigma-Algebra ${\mathcal {B}}(\mathbb {C} )$ als zweidimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum verwendet. Dabei wird die Sigma-Algebra ${\mathcal {B}}(\mathbb {C} )$ von allen offenen Teilmengen von $\mathbb {C}$ erzeugt.

Wegintegral in der komplexen Analysis

Ein Wegintegral (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines Integrationsweges $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ in der komplexen Ebene definiert wird:

$\int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\cdot \gamma \,'(t)\,dt$

Dabei ist $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ ein stetiger differenzierbaren Weg und $f:U\to \mathbb {C}$ eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {C}$.

Integral über messbare Teilmengen

Für ein Integral über messbare Teilmengen ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge $M\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} )$ der komplexen Ebene formal wie folgt mit $f=f_{1}+i\cdot f_{2}$ definiert:

$\iint _{M}f(z)\,d^{2}\!z=\underbrace {\iint _{M}f_{1}(z)\,d^{2}\!z} _{w_{1}\in \mathbb {R} }+i\cdot \underbrace {\iint _{M}f_{2}(z)\,d^{2}\!z} _{w_{2}\in \mathbb {R} }=w_{1}+i\cdot w_{2}$

Dabei wird mit dem Lebesgue-Maß als Integral über eine messbare Menge $M\subseteq \mathbb {C}$ bzgl. einer komplexwertigen Dichtefunktion $f$ berechnet.

Darstellung als reelles Doppelintegrale

In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als $\mathbb {R} ^{2}$ interpretiert und die Komponentenfunktionen $f:=f_{1}+i\cdot f_{2}$ als reelles Doppelintegral von $f_{_{\mathbb {R} }}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C}$ über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet.

${\begin{array}{rcl}f_{_{\mathbb {R} }}(x,y)&:=&f(x+i\cdot y)=f_{1}(x+i\cdot y)+i\cdot f_{2}(x+i\cdot y)\\&=&f_{_{\mathbb {R} ,1}}(x,y)+i\cdot f_{_{\mathbb {R} ,2}}(x,y)\\\end{array}}$

Dabei sind $f_{_{\mathbb {R} ,1}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ und $f_{_{\mathbb {R} ,2}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis.

Beispiele für messbare Mengen

• Integrale über rechteckige Menge $R$ mit

$R:=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]:=\{z_{1}+i\cdot z_{2}\,\colon \,z_{1}\in [a_{1},b_{1}]\wedge z_{2}\in [a_{2},b_{2}]\}$

• Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben

${\overline {D_{r}(z_{o})}}:=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,|z-z_{0}|\leq r\}$ mit $z_{0}\in \mathbb {C}$ und $r>0$.

Flächenintegral über Rechtecke

Ein Rechteck $R$ wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für $z:=z_{1}+i\cdot z_{2}\in R$ der Realteil $z_{1}$ zwischen $a_{1}$ und $b_{1}$ liegt und der Imaginärteil $z_{2}$ zwischen $a_{2}$ und $b_{2}$.

$R:=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]:=\{z_{1}+i\cdot z_{2}\,\colon \,z_{1}\in [a_{1},b_{1}]\wedge z_{2}\in [a_{2},b_{2}]\}$

Wegintegral über reelle Rechtecksseite

Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite $[a_{1},b_{1}]$ als Wegintegral über $\gamma _{1}:[a_{1},b_{1}]\to \mathbb {C}$ darstellen, wobei:

${\begin{array}{rrcl}\gamma _{1}:&[a_{1},b_{1}]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t_{1}&\mapsto &\gamma _{1}(t)=t_{1}+i\cdot a_{2}\end{array}}$

Für $\gamma _{1}$ gilt dann insbesondere ${\gamma _{1}}\!'(t_{1})=1$ und man erhält:

$\int _{\gamma _{1}}f(z)\,dz=\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(\underbrace {\gamma _{1}(t_{1})} _{=t_{1}})\cdot \underbrace {{\gamma _{1}}\!'(t_{1})} _{=1}\,dt_{1}=\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(t_{1}+ia_{2})\,dt_{1}$

Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite

Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite $i\cdot [a_{2},b_{2}]$ als Wegintegral über $\gamma _{2}:[a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ darstellen, wobei:

${\begin{array}{rrcl}\gamma _{2}:&[a_{2},b_{2}]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t_{2}&\mapsto &\gamma _{2}(t_{2})=a_{1}+i\cdot t_{2}\end{array}}$

Für $\gamma _{2}$ gilt dann insbesondere ${\gamma _{2}}\!'(t_{2})=i$ und man erhält:

$\int _{\gamma _{2}}f(z)\,dz=\int _{a_{2}}^{b_{2}}f(\underbrace {\gamma _{2}(t_{2})} _{=a_{1}+i\cdot t_{2}})\cdot \underbrace {{\gamma _{2}}\!'(t_{2})} _{=i}\,dt_{2}=i\cdot \int _{a_{2}}^{b_{2}}f(a_{1}+i\cdot t_{2})\,dt_{2}$

Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke

Für ein Rechteck $R\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} )$ kann man das Integral $\int _{R}f(z)\,dz$ über die messbare Menge $R$ wie folgt berechnen:

$\int _{R}f(z)\,dz:=\int _{a_{2}}^{b_{2}}\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(t_{1}+i\cdot t_{2})\,dt_{1}\,dt_{2}$

Der Faktor $i$ vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von $\gamma _{2}$. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck $R$ als komplexwertiges "Volumen" unter der Funktion $f$ über $R$ interpretiert werden.

Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral

Sei $R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]$ und $f(z):=z^{2}$ erhält man:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{R}f(x+iy)\,dx\,dy&=&\displaystyle \int _{+3}^{+5}\int _{-1}^{+2}f(x+iy)\,dx\,dy\\&=&\displaystyle \int _{+3}^{+5}\int _{-1}^{+2}(x^{2}-y^{2})+i\cdot (2\cdot x\cdot y)\,dx\,dy\\&=&\displaystyle \int _{+3}^{+5}\left.\left({\tfrac {x^{3}}{3}}-xy^{2}\right)+i\left(x^{2}y\right)\right|_{-1}^{+2}\,dy\\&=&\displaystyle \left.\left(\left.\left({\tfrac {x^{3}y-xy^{3}}{3}}+i{\tfrac {x^{2}y^{2}}{2}}\right)\right|_{-1}^{+2}\right)\right|_{+3}^{+5}=-92+24i\\\end{array}}$

Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion

Man betrachtet nun das gleiche Rechteck $R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]$ und berechnet das orientierte Flächenintegral für $f(z):=z^{2}$ mit der Flächenstammfunktion $F_{\Box }(z):={\tfrac {1}{12}}z^{4}$ über die Eckpunkte des Rechtecks mit dem Darstellungslemma für Rechteckintergrale:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{R}f(z)\,d^{2}\,z\!\!\!&=&\!\!\!\displaystyle F_{\Box }(2+5i)-F_{\Box }(2+3i)-F_{\Box }(-1+5i)+F_{\Box }(-1+3i)\\&=&\displaystyle -24-92i\\\end{array}}$

Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede

Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation ${\tfrac {1}{i}}=-i$. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2.

$\iint _{R}f(z)\,d^{2}\,z=-i\cdot \iint _{R}f(x+iy)\,dx\,dy$

Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale ${\textstyle \iint _{R}f(z)\,dz}$ mit der Flächenstammfunktion.

Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral

Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur Siebformel in der Stochastik (siehe auch Flächenintegrale über Rechtecke).

Bemerkung - orientierte Fläche

Bei einem Integral über eine orientierte Fläche spielt nicht nur die messbare Teilmenge $M\subseteq \mathbb {C}$ und die Dichtefunktion $f:G\to \mathbb {C}$ bei dem Flächenintegral eine Rolle, sondern zusätzlich auch die Orientierung. Diesen Unterschied gab es analog auch beim Wegintegral über $\gamma :[a,b]\to G$. Die Spur eines Weges $Spur(\gamma )$ entspricht der Menge $M$ während $\gamma$ eine Orientierung auf dem Weg induziert, wobei $\gamma (a)$ der Anfangspunkt $\gamma (b)$ der Endpunkt des Weges ist.

Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben

Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt $z_{0}\in \mathbb {C} <$ und einen Radius $r>0$:

${\overline {D_{r}(z_{o})}}:=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,|z-z_{0}|\leq r\}$

Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck $R:=[0,2\pi ]\times [0,r]$ integriert.

Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für Kreisscheiben

Durch Anwendung der Transformationsformel kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen:

$\iint _{\overline {D_{r}(z_{0})}}f(x+iy)\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r}f(z_{0}+r\cdot e^{it})\cdot r\,dr\,dt$

Transformationsformel und Funktionaldeterminante

In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit $r$ über die Funktionaldeterminante, die in der Transformationsformel für die Koordinatentransformation $\Phi (r,\varphi )={\big (}r\cdot \cos(\varphi ),r\cdot \sin(\varphi ){\big )}$ mit $r>0$ enthalten ist.

$\det {\big (}D\Phi (r,\varphi ){\big )}=det{\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&-r\cdot \sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&r\cdot \cos(\varphi )\end{pmatrix}}=r\cdot \underbrace {(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )} _{=1}=r.$

Integral über messbare Mengen als Doppelintegral

Für ein Integral über eine messbare Menge $D\subseteq \mathbb {C}$ erhält man über die Zerlegung $f=f_{1}+i\cdot f_{2}$ in Realteilfunktion $f_{1}:G\to \mathbb {R}$ und Imaginärteilfunktion $f_{2}:G\to \mathbb {R}$ folgende Integraldarstellung unter Verwendung der Transformationsformel für Polarkoordinaten:

$\iint _{D}f(x+iy)\,dx\,dy\,dz=\int _{D}f_{1}(x+iy)\,dx\,dy+i\int _{D}f_{2}(x+iy)\,dx\,dy$

Wenn $D:={\overline {D_{r_{o}}(z_{0})}}$ eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt $z_{0}$ und Radius $r$ ist, erhält man folgendes Doppelintegral:

$\iint _{\overline {D_{r_{o}}(z_{0})}}f(x+iy)\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r_{o}}f(z_{0}+re^{it})\cdot r\,\,dr\,dt$

Nullmengen

Der Abschluss der Kreisscheibe ${\overline {D_{r}(z_{0})}}$ kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des Lebesque-Maßes eine Nullmenge ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der Transformationsformel die Eigenschaft, dass die Transformation $\Phi$ eine bijektive Abbildung ist. Für $r=0$ ist die Polarkoordinatentransformation $\Phi$ allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe $D:={\overline {D_{r_{o}}(z_{0})}}\setminus \{z_{o}\}$ als Grenzwert für $\varepsilon >0$ berechnen.

$\iint _{D}f(x+iy)\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{r_{o}}f(z_{0}+re^{it})\cdot r\,\,dr\,dt$

Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall $\{z_{o}\}$ eine Nullmenge ist.

Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt

Wendet man diese Definition wieder für die holomorphe Funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ mit $f(z)=z^{2}$ an, so erhält man über die Transformationsformel das folgende Integral über die Kreisscheibe um $z_{o}=0$ mit dem Radius $r_{o}>0$ wie folgt:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\overline {D_{r_{o}}(z_{o})}}f(z)\,dz&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r_{o}}f(z_{o}+r\cdot e^{it})\cdot r\,dr\,dt\\&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r_{o}}(r\cdot e^{it})^{2}\cdot r\,dr\,dt\\&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r_{o}}r^{3}\cdot e^{i2t}\,dr\,dt=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{4}}{r_{o}}^{4}\cdot e^{i2t}\,dt\\\\&=&\displaystyle {\frac {1}{4}}r_{o}^{4}\cdot {\frac {1}{i2}}\cdot \int _{0}^{2\pi }e^{i2t}\cdot 2i\,dt=0\displaystyle \end{array}}$

Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt

Wendet man diese Definition wieder für die holomorphe Funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ mit $f(z)=z^{2}$ an, so erhält über die Transformationsformel das folgende Integral über die Kreisscheibe um $z_{0}\not =0$ mit dem Radius $r_{0}>0$ wie folgt:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\overline {D_{r_{o}}(z_{o})}}f(z)\,dz&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r_{o}}f(z_{o}+r\cdot e^{it})\cdot r\,dr\,dt\\&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r_{o}}{\big (}z_{o}^{2}+2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o}+(r\cdot e^{it})^{2}{\big )}\cdot r\,\,dr\,dt\\&=&\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!{\frac {1}{2}}\cdot z_{0}^{2}\cdot r_{o}^{2}+{\frac {2}{3}}\cdot r_{o}^{3}\cdot e^{it}\cdot z_{0}+{\frac {1}{3}}\cdot r_{o}^{3}\cdot e^{i2t}\,dt\\&=&\displaystyle \underbrace {z_{o}^{2}} _{\in \mathbb {C} }\cdot \underbrace {r_{o}^{2}\cdot \pi } _{\in \mathbb {R} }\not =0\displaystyle \end{array}}$

Bemerkung zu den Summanden des Integrals

Das Integral über die letzten beiden Summanden ${\frac {2}{3}}\cdot r_{o}^{3}\cdot e^{it}\cdot z_{0}$ und ${\frac {1}{3}}\cdot r_{o}^{3}\cdot e^{i2t}$ ist jeweils 0, weil das Integral über $e^{i\cdot n\cdot t}$ mit beliebigem $n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ jeweils 0 ist:

$\int _{0}^{2\pi }e^{i\cdot n\cdot t}\,dt={\frac {1}{i\cdot n}}\int _{0}^{2\pi }{i\cdot n}\cdot e^{i\cdot n\cdot t}\,dt=e^{i\cdot n\cdot 2\pi }-e^{i\cdot n\cdot 0}=1-1=0$

Wegintegral über Rand von Kreisscheiben

Für einen geschlossenen Weg $\gamma$ um einen Punkt $z_{0}$ (z.B. Kreis um $z_{0}$) wird der Integrationsweg wie folgt definiert:

${\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=z_{0}+r\cdot e^{i\cdot t}\end{array}}$

Die Ableitung des Integrationsweges $\gamma \,'(t)=ire^{it}$ liefert dann das Wegintegral über den Kreisrand:

$\int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{it})\cdot ire^{it}\,dt=0$

Nach dem Cauchy-Integralsatz für holomorphe Funktionen $f:G\to \mathbb {C}$ auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt $z_{o}\in G$ immer 0.

Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben

Insgesamt ist das Wegintegral für holomorphe Funktionen $f:G\to \mathbb {C}$ auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt $z_{o}\in G$ immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte $w=z_{o}^{2}\cdot r_{o}^{2}\cdot \pi \not =0$ annehmen kann.

$\iint _{\overline {D_{r_{o}}(z_{o})}}f(x+iy)\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{r_{o}}f(z_{o}+r\cdot e^{it})\cdot r\,dr\,dt=\underbrace {z_{o}^{2}} _{\not =0}\cdot r_{o}^{2}\cdot \pi \not =0$

Darstellung über komplexe Stammfunktionen

Nun betrachtet man eine Stammfunktion $F:G\to \mathbb {C}$ einer holomorphen Funktion $f:G\to \mathbb {C}$, wobei der Wert der Stammfunktion $F(z)$ einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ auf einem Gebiet $G$ darstellt.

Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt

Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der Gaußschen Zahlenebene. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem Gebiet $G$ liegen

Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation

Reellwertig orientierter Flächeninhalt

Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$ bildet, so gibt die Differenz $F(b)-F(a)$ den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit $f(x)<0$ für stetige Funktionen $f$ mit $x\in [a,b]$ haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen $f$ oberhalb der $x$-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der $x$-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei

$\int _{0}^{2\pi }\sin(x)\,dx=0$

Komplexwertig orientierter Flächeninhalt

Wenn die möglichen Orientierung in $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ vergleicht, erhält man:

• (reelle Zahlen $\mathbb {R}$) positive Orientierung $+1=e^{i\cdot 0}$ und negative Orientierung $-1=e^{i\cdot \pi }$
• (komplexe Zahlen $\mathbb {C}$) beliebige Winkel $t\in [0,2\pi )$ mit Richtung $e^{i\cdot t}$.

Eine Stammfunktion $F$ soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes $z_{0}\in G$ legt dabei die Konstante der Stammfunktion über $F(z_{o})=0$ eindeutig fest.

Bemerkung - Vergleich der Integrale

Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen $f:G\to \mathbb {C}$ bestimmen.

Stammfunktion als Wegintegral

In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen:

$F_{z_{o}}(z)=\int _{\gamma _{z}}f(z)\,dz,$

wobei das Wegintegral über einen Weg $\gamma _{z}$ von $z_{0}$ nach $z$ in dem Gebiet $G$ verläuft. Ist $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion in einem einfach zusammenhängenden Gebiet, dann gilt insbesondere $F_{z_{o}}(z_{o})=0$

Taylorreihe der Stammfunktion

Die Taylorreihe ist eindeutig für holomorphe Funktionen $f:G\to \mathbb {C}$ festgelegt. Zwei Stammfunktionen $F_{1}$ und $F_{2}$ von $f$ unterscheiden sich in einer Konstante (siehe Differenzsatz für Stammfunktionen), denn aus $F_{1}'=f$ und $F_{2}'=f$ folgt $F_{1}'-F_{2}'=0$ und damit ist die Differenz $F_{1}-F_{2}=c\in \mathbb {C}$ eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der Holomorphie von $f$ erhält man mit der Potenzreihenentwicklung ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot (z-z_{o})^{n}}$ für $f$ in einem Entwicklungspunkt $z_{o}\in G$. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt $z_{0}\in G$ in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt ${z_{o}}$ entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe $D_{r}(z_{0})$ mit $F(z_{o})=0$ eindeutig mit:

$F(z)=\int _{\gamma _{z}}f(\xi )\,d\xi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n+1}}\cdot (z-z_{o})^{n+1}$

Siehe auch

• Lemma für Rechteckintegrale - Berechnung über Flächenstammfunktionen
• Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen
• Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil
• Flächenintegrale über Rechtecke
• Koordinatentransformation
• Funktionaldeterminante
• Nullmenge
• Polarkoordinaten
• Stammfunktion auf konvexen Gebieten
• Satz über lokale Stammfunktionen
• Transformationsformel für komplexe Wegintegrale
• Transformationsformel
• Wegintegral

Kurse

• Kurs:Funktionentheorie
• Kurs:Stochastik