Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg

Einleitung

Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über Rechtecke und Dreiecke. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen $\gamma :=\sum _{k=1}^{n}\gamma _{k}$ ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von $\gamma _{k}$ zu $\gamma _{k+1}$, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges $\gamma _{k}$ und $\gamma _{k+1}$ identisch sind.

Vergleich zu geschlossenen Wege

In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges $\gamma :=\sum _{k=1}^{n}\gamma _{k}$ ist der Endpunkt von $\gamma _{k}$ zugleich Anfangspunkt von $\gamma _{k+1}$ und der Enpunkt von $\gamma _{n}$ zugleich Anfangspunkt von $\gamma _{1}$.

Alternierendes Randwegintegral - Rechteck

Mit der Stammfunktion $F:G\to \mathbb {C}$ von $f$ hat das orientierte Rechteckintegral folgende Darstellung über den alternierenden Randweg:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle -{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}{\frac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz+{\underset {\langle z_{2},z_{4}\rangle }{\int }}{\frac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz\\&&\displaystyle -{\underset {\langle z_{4},z_{3}\rangle }{\int }}{\frac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz+{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}{\frac {1}{2}}\cdot F(z)\,dz\\\end{array}}$

Alternierendes Randwegintegral - Dreieck

Mit der Stammfunktion $F:G\to \mathbb {C}$ von $f$ hat das orientierte Dreiecksintegral folgende Darstellung über den alternierenden Randweg:

${\underset {\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }{\quad \iint \quad }}\!\!\!\!\!\!f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,=-\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}\!\!\!{\tfrac {1}{2}}F(\xi )\,\,d\xi +\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}\!\!\!{\tfrac {1}{2}}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}\!\!\!{\tfrac {1}{2}}F(\xi )\,\,d\xi$

Definition - alternierendes Randwegintegral

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion $F$ und $z_{1},\ldots ,z_{n}\in G$, wobei die konvexe Hülle $Conv(\{z_{,}\ldots ,z_{n}\})\subset G$ in dem Gebiet liegt. Mit $z_{n+1}:=z_{1}$ definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon $\langle z_{1},\ldots ,z_{n}\rangle$ als folgende Summe mit $z_{n+1}:=z_{1}$:

${\underset {\langle z_{1},\ldots ,z_{n}\rangle }{\quad \iint \quad }}f(z)\,d^{2}\!z\,\,\,:=\,\,\,\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {(-1)^{n-k}}{2}}\cdot \!\!\!{\underset {\langle z_{k},z_{k+1}\rangle }{\quad \int \quad }}\!\!\!F(z)\,dz$

Bemerkung - orientierte Flächenintegrale

Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über orientierte Flächen von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene.

Rechenregel 1 - Flächenstammfunktion

Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion $F_{_{\Box }}$ von $f$ berechnen:

${\underset {\langle z_{1},\ldots ,z_{n}\rangle }{\quad \iint \quad }}f(z)\,d^{2}\!z\,\,\,=\,\,\,\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {(-1)^{k}}{2}}\cdot \left(F_{_{\Box }}(z_{k+1})-F_{_{\Box }}(z_{k})\right)$

Dabei definiert man $z_{n+1}:=z_{1}$, wodurch der letzte Punkt im Polygon mit dem ersten Punkt verbunden wird.

Rechenregel 2 - gerade Eckenzahl

Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt für $n=2m$ gerade:

${\underset {\langle z_{1},\ldots ,z_{n}\rangle }{\quad \iint \quad }}f(z)\,d^{2}\!z\,\,\,=\,\,\,-\!\!\!\!\!{\underset {\langle z_{n},\ldots ,z_{1}\rangle }{\quad \iint \quad }}f(z)\,d^{2}\!z$

Beweis - Rechenregel 2 - gerade Eckenzahl

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\underset {\langle z_{1},\ldots ,z_{n}\rangle }{\quad \iint \quad }}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\underbrace {\tfrac {(-1)^{k}}{2}} _{={\frac {(-1)^{-k}}{2}}}\cdot {\bigg (}\underbrace {F_{_{\Box }}(z_{k+1})-F_{_{\Box }}(z_{k})} _{=-(F_{_{\Box }}(z_{k})-F_{_{\Box }}(z_{k+1}))}{\bigg )}\\&=&\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {(-1)^{-k}}{2}}\cdot \left(F_{_{\Box }}(z_{k})-F_{_{\Box }}(z_{k+1})\right)\\&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\tfrac {(-1)^{\overbrace {2m+1-k} ^{=(n+1)-k}}}{2}}\cdot \left(F_{_{\Box }}(z_{k})-F_{_{\Box }}(z_{k+1})\right)\\&=&\displaystyle {\underset {\langle z_{n},\ldots ,z_{1}\rangle }{\quad \iint \quad }}f(z)\,d^{2}\!z\end{array}}$

Rechenregel 3 - ungerade Eckenzahl

Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt für $n=2m+1$ ungerade:

${\underset {\langle z_{1},\ldots ,z_{n}\rangle }{\quad \iint \quad }}f(z)\,d^{2}\!z\,\,\,=\,\,\,-\!\!\!\!\!{\underset {\langle z_{n},\ldots ,z_{1}\rangle }{\quad \iint \quad }}f(z)\,d^{2}\!z$

Beweis - Rechenregel 3 - ungerade Eckenzahl

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\underset {\langle z_{1},\ldots ,z_{n}\rangle }{\quad \iint \quad }}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\underbrace {\tfrac {(-1)^{k}}{2}} _{={\frac {(-1)^{-k}}{2}}}\cdot {\bigg (}\underbrace {F_{_{\Box }}(z_{k+1})-F_{_{\Box }}(z_{k})} _{=-(F_{_{\Box }}(z_{k})-F_{_{\Box }}(z_{k+1}))}{\bigg )}\\&=&\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {(-1)^{-k}}{2}}\cdot \left(F_{_{\Box }}(z_{k})-F_{_{\Box }}(z_{k+1})\right)\\&=&\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {(-1)^{\overbrace {2m+2-k} ^{=(n+1)-k}}}{2}}\cdot \left(F_{_{\Box }}(z_{k})-F_{_{\Box }}(z_{k+1})\right)\\&=&\displaystyle -{\underset {\langle z_{n},\ldots ,z_{1}\rangle }{\quad \iint \quad }}f(z)\,d^{2}\!z\end{array}}$

Siehe auch

• holomorphe Funktion
• Darstellungslemma für Dreiecksintegrale
• Darstellungslemma für Rechteckintergrale

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