Kurs:Funktionentheorie/holomophe Integrationswege

Ziel der Lerneinheit

Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion $\gamma _{_{G}}:G\to \mathbb {C}$ auf einem Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$ mit $[a,b]\subset G$ darstellen.

Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg

Jeder holomorphe Funktion $\gamma _{_{G}}:G\to \mathbb {C}$ auf dem Gebiet $G$ liefert durch Einschränkung auf $[a,b]\subset G$ eine stetig differenzierbare Abbildung $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn $\gamma$ reelle analytisch ist (d.h. sich auf $[a,b]\subset G$ in eine Potenzreihe entwickeln lässt).

Konvexkombinationen als holomorphe Wege

Konvexkombinationen der Ordnung $n$ lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad $n$ darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern $\gamma _{_{G}}$ ist damit sogar eine ganze Funktion mit $G=\mathbb {C}$ .

Konvexkombination 1. Ordnung

Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung (affine Abbildung) darstellen:

\gamma (t):=(1-t)z_{0}+tz_{1}=z_{0}+(z_{1}-z_{0})\cdot t

Mit $\gamma _{_{G}}(z):=z_{0}+(z_{1}-z_{0})\cdot z$ erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$ auf $\gamma _{_{G}}:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ .

Konvexkombinationen n-ter Ordnung

Konvexkombinationen $n$ -ter Ordnung und den Vektoren $z_{0},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {C}$ lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung $n$ schreiben:

{\begin{array}{rcl}\gamma :&[0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(1-t)^{n-k}\cdot t^{k}\cdot z_{k}\\&&&={n \choose 0}(1-t)^{n}z_{0}+{n \choose 1}(1-t)^{n-1}tz_{1}+\ldots +{n \choose n}t^{n}z_{n}\end{array}}

Kreise und Ellipsen

In der Funktionentheorie wurden Wegintegrale über den Kreisrand z.B. in der Cauchy-Integralformel. Für Kreisränder $\partial D_{r}(z_{0})$ und Ränder von Ellipsen $\partial E_{(a,b)}(z_{0})$ mit $a,b>0$ erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als ganze Funktionen über Potenzreihen darstellen lassen (siehe Holomorphiekriterien).

Wegintegral über Kreisrand

Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe $\partial D_{r}(z_{0})$ wurde über den folgenden Integrationsweg definiert:

{\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=z_{0}+r\cdot e^{it}\end{array}}

Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf $\mathbb {C}$ mit:

{\begin{array}{rrcl}\gamma _{_{\mathbb {C} }}:&\mathbb {C} &\rightarrow &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &\gamma _{_{\mathbb {C} }}(t)=z_{0}+r\cdot e^{iz}\end{array}}

Wegintegral über Rand von Ellipsen

Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse $\partial E_{(a,b)}(z_{0})$ lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren:

{\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=z_{0}+a\cdot \cos(t)+i\cdot b\cdot \sin(t)\end{array}}

Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf $\mathbb {C}$ mit:

{\begin{array}{rrcl}\gamma _{_{\mathbb {C} }}:&\mathbb {C} &\rightarrow &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &\gamma _{_{\mathbb {C} }}(t)=z_{0}+a\cdot \cos(z)+i\cdot b\cdot \sin(z)\end{array}}

Bemerkung - Halbachsen

Die reellen Zahlen $a,b>0$ stellen die Halbachsen der Ellipse dar.

Fläche in den komplexen Zahlen

Als Menge in den komplexen Zahlen lassen sich abgeschlossene Ellipsen ${\overline {E_{(a,b)}(z_{0})}}$ mit $a,b>0$ und $z_{0}=x_{0}+iy_{0}\in \mathbb {C}$ wie folgt darstellen:

{\overline {E_{(a,b)}(z_{0})}}:=\left\{x+iy\in \mathbb {C} \,\colon \,\left({\tfrac {x-x_{0}}{a}}\right)^{2}+\left({\tfrac {y-y_{0}}{b}}\right)^{2}\leq 1\right\}

Fazit

Alle bisher in der Funktionentheorie verwendet Wege besitzen eine holomorphe Forsetzung auf ein Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$ und waren sogar ganze Funktionen. Wählt man eine beliebigen stetigen Integrationsweg $\gamma$ , so unterscheidet sich das Wegintegral im Vergleich zu einem holomorphen Integrationsweg ${\widehat {\gamma \,}}$ nach dem Cauchy-Integralsatz nicht, wenn Anfangs- und Endpunkt von $\gamma$ und ${\widehat {\gamma \,}}$ übereinstimmen.

Siehe auch