Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder

Einleitung

In dieser Lerneinheit wird eine holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ als ein Vektorfeld in $G$ interpretiert, in dem jedem Punkt $z\in G$ ein Vektor $f(z)\in \mathbb {C}$ zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes $z\in G$ in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert $f(z)\in \mathbb {C}$ als Vektor mit Startpunkt $z$ und Endpunkt $z+f(z)$ eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen $D$ positioniert, die durch die Funktion $f$ in dem Vektorfeld in $G$ bewegt werden.

Orientierte Flächen

Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen

Bereits bei dem Thema orientierte Fläche wurden zwei partielle Ableitungen ${\tfrac {\partial \gamma _{_{\Delta }}}{\partial t_{1}}}(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C}$ und ${\tfrac {\partial \gamma _{_{\Delta }}}{\partial t_{2}}}(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C}$ von $\gamma _{_{\Delta }}$ an jedem Punkt $z:=\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})$ für die Fläche abgetragen.

Veranschaulichung von Vektorfelder

Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in $\mathbb {C}$, die jeweils zu jedem Punkt $z\in G$ aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert $f(z)\in \mathbb {C}$ für $f:G\to \mathbb {C}$ zuordnet.

Vektorfeld - Polynom

Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten $z\in \mathbb {C}$ mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion $f(z)=z^{2}$. Dabei wird der Funktionswert $f(z)$ als Vektor mit Anfangspunkt in $z$ jeweils als Vektor dargestellt.

vector field for z square

Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom

Betrachten Sie als Startpunkt $z_{a}=2+3i$ und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von $z_{a}$ in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. $\Delta t={\tfrac {b-a}{n}}$ ist die Iterationsschrittweite und $t_{k}:=a+{\tfrac {b-a}{n}}\cdot k$ und der Iterationsvorschrift:

$\gamma (t_{k+1}):=\gamma (t_{k})+f(x)\cdot \Delta t$

Zerlegen Sie dazu $f(z)=z^{2}$ in die Realteilfunktion $f_{1}$ und die Imaginärteilfunktion $f_{2}$ mit $f=f_{1}+i\cdot f_{2}$.

Datei für Aufgabe

Die Lerneinheit folgt dem Open Community Approach. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei Weg_in_Vektorfeld.ods aus dem wikiversity_files-Github-Repository. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden.

Vektorfeld - meromorphe Funktion

Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten $z\in \mathbb {C}$ mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion $g(z)={\tfrac {1}{z}}$. Dabei wird der Funktionswert $g(z)$ als Vektor mit Anfangspunkt in $z$ jeweils als Vektor dargestellt.

vector field for z square

Punkte und Trajektorie

Man betrachtet nun einen Punkte $z_{a}\in G$ als Startpunkt eines Weges $\gamma :[a,b]\to G$. Dabei sei $\gamma (a)=z_{a}$. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt $z_{t}=\gamma (t)$ in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ über das Vektorfeld die Kraft $f(z_{t})$ beschreibt, die auf $z_{t}\in G$ wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt $z_{t}$ abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft.

Weg als Differentialgleichung

In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ als Vektorfeld interpretieren, wobei $f(z)$ die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt $z_{t}=\gamma (t)\in \mathbb {C}$ wirkt. Die Trajektorie eines Punktes $z_{0}$ unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ der komplexen Differentialgleichung:

$\gamma {\,}'(t)=f(\gamma (t)),\quad \gamma (a)=z_{a}.$

Weg als gesuchte Funktion

Hierbei ist $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt $t\in [a,b]$ durch $\gamma (t)$ den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges $Spur(\gamma ):=\{\gamma (t)\,:\,t\in [a,b]\}$. Der Graph des Weges $\gamma$ ist eine Teilmenge des dreidimensionalen $\mathbb {R}$-Vektorraumes $[a,b]\times \mathbb {C}$.

$Graph(\gamma ):={\bigg \{}{\big (}t,\gamma (t){\big )}\in \mathbb {R} \times \mathbb {C} \,:\,t\in [a,b]{\bigg \}}$

Der Punkt $z_{t}=\gamma (t)$ bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch $f$ beschriebenen Vektorfeldes.

Spur eines gesuchten Weges

In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges $\gamma [a,b]\to \mathbb {C}$ eingezeichnet. Numerische Berechnungen besitzen durch die Diskretisierung einen Fehler.

path of curve visualization - solution of differential equation

Bemerkung - Lösung von Differentialgleichungen

Wenn der Weg $\gamma$ als Lösung einer Differentialleichung bestimmt werden kann, kann man die Spur des Weges $\gamma$ ohne numerischen Näherung plotten.

Darstellung der Trajektorie

Der Weg $\gamma$ ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da $f$ holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal Lipschitz-stetig, und es existiert eine eindeutige Lösung $\gamma (t)$ für kleine $t$ (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges $z_{a}=\gamma (a)$). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen $f$

Explizite Lösung - konstante Funktion

Falls $f$ eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach $[0,1]$ ist die Trajektorie eine Konvexkombination zwischen $z_{a}$ und $z_{b}$.

• Konstantes Vektorfeld: $f(z)=c$ (konstant).

$\gamma {\,}'(t)=f(\gamma (t))=c,\quad \gamma (a)=z_{a}.$

• Lösung: $\gamma (t)=z_{a}+c\cdot (t-a)$ mit dem Endpunkt

$\gamma (b)=z_{a}+c\cdot (b-a)=z_{b}$.

Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld

Die Exponentialfunktion $g(z)=e^{c\cdot z}$ erfüllt die Eigenschaft, dass $g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}$. Die lineare Funktion $f(z)=c\cdot z$ definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für $\gamma$:

• Lineares Vektorfeld: $f(z)=cz$ (mit $c\in \mathbb {C}$).

$\gamma {\,}'(t)=f(\gamma (t))=c\cdot \gamma (t),\quad \gamma (a)=z_{a}.$

• Lösung: $\gamma (t)=z_{a}\cdot e^{c\cdot (t-a)}$ mit dem Endpunkt

$\gamma (b)=z_{a}\cdot e^{c\cdot (b-a)}$.

Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld

In einem quadratischen Vektorfeld $f$ enthält die Lösung $\gamma$ Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von $\gamma$ liegen:

• Quadratisches Vektorfeld: $f(z)=z^{2}$.

$\gamma {\,}'(t)=f(\gamma (t))=\gamma (t)^{2},\quad \gamma (a)=z_{a}.$

• Lösung: $\gamma (t)={\frac {z_{a}}{1-z_{a}\cdot (t-a)}}$.

Die Lösung hat eine Pol bei $t={\tfrac {1+a}{z_{0}}}$. Für einen wohldefinierten Weg $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ muss ${\tfrac {1+a}{z_{a}}}\notin [a,b]$ gelten. Für $z_{0}:=1$ und $[a,b]:=[1,3]$ liegt der Pol ${\tfrac {1+a}{z_{a}}}=2$ in dem Intervall $[a,b]$.

Plot des Weges für die Lösung

Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert $z_{a}\in \mathbb {C}$ für das Intervall $[a,b]=[1,\,4.5]$. In Abhängigkeit von dem Schieberegler $t\in [1,\,4.5]$ wird $\gamma (t)$ dargestellt. Die $Spur(\gamma )$ ist rot markiert.

Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra

Lösung als meromorphe Funktion

In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung $\gamma$ der Differentialgleichung $\gamma {\,}'(t)=f(\gamma (t))=\gamma (t)^{2}$ eine meromorphe Funktion mit Pol $t={\tfrac {1+a}{z_{0}}}$.

Aufgabe - quadratisches Vektorfeld

Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ gelten:

$\gamma {\,}'(t)=f(\gamma (t))=\gamma (t)^{2},\quad \gamma (a)=z_{a}.$

Numerische Lösung

Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für $\gamma$ angeben kann. Falls also $f:G\to \mathbb {C}$ komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem Euler-Verfahren oder mit dem Runge-Kutta-Verfahren berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden.

Euler-Verfahren

Die numerische Lösung ${\widetilde {\gamma \,}}$ ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von $[a,b]$ in $n$ Teilintervalle der Breite $\Delta t:={\tfrac {b-a}{n}}$ und $t_{k}:=a+k\cdot \Delta t$ für $k\in \{0,1,\ldots n\}$.

${\widetilde {\gamma \,}}(a):=z_{a}\quad {\widetilde {\gamma \,}}(t_{k+1})={\widetilde {\gamma \,}}(t_{k})+\Delta t\cdot f{\big (}{\widetilde {\gamma \,}}(t_{k}){\big )},\quad z_{0}{\text{ gegeben}}.$

Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1

Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung ${\widetilde {\gamma \,}}$ ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von $[a,b]$ in $n$ Teilintervalle der Breite $\Delta t:={\tfrac {b-a}{n}}$ und $t_{k}:=a+k\cdot \Delta t$ für $k\in \{0,1,\ldots n\}$.

${\begin{array}{rclrcl}c_{1}&:=&f({\widetilde {\gamma \,}}(t_{k}),&c_{2}&:=&f\left({\widetilde {\gamma \,}}(t_{k})+{\frac {\Delta t}{2}}c_{1}\right),\\c_{3}&:=&f\left({\widetilde {\gamma \,}}(t_{k})+{\frac {\Delta t}{2}}c_{2}\right),&c_{4}&:=&f({\widetilde {\gamma \,}}(t_{k})+\Delta tc_{3}),\\\end{array}}$

Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2

Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt ${\widetilde {\gamma \,}}(t_{k+1})$ zum Zeitpunkt $t_{k+1}\in [a,b]$ wie folgt:

${\widetilde {\gamma \,}}(t_{k+1})={\widetilde {\gamma \,}}(t_{k+1})+{\frac {\Delta t}{6}}(c_{1}+2\cdot c_{2}+2\cdot c_{3}+c_{4}).$

Geometrische Interpretation

• Der Wegpunkte $\gamma (t)$ bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur $Spur(\gamma )$. Der Tangentenvektor an jedem Punkt $\gamma (t)$ ist durch $f(\gamma (t))$ gegeben.
• Da $f$ holomorph ist, ist das Vektorfeld wirbelfrei (d. h., es hat keine Rotation) und quellenfrei (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von $f$. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen.
• Die Trajektorien können Fixpunkte enthalten, wenn z.B. auf der Spur von $\gamma$ Punkte existieren $z_{t}:=\gamma (t)$ mit $f(z_{t})=0$ existieren.
• Auf der Spur von $\gamma$ darf eine meromorphe Funktion keine Singularitäten besitzen, denn in diesen Punkten ist dann $\gamma {\,}'(t)=f(\gamma (t))$ nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg.

Beispiel

Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt:

Beispiel 1 - Rotation

Für die lineare Funktion $f(z)=-iz$ erhält man als Lösung eine Rotation mit $[a,b]:=[0,2\pi ]$:

• Die Differentialgleichung lautet:

$\gamma {\,}'(t)=-i\cdot \gamma (t),\quad z(0)=z_{0}.$

• Lösung:

$\gamma (t)=z_{0}\cdot e^{-i\cdot t}.$

• Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius $r:=|z_{0}|$, der wegen $-i$ im Uhrzeigersinn durchlaufen wird.

Beispiel 2 - Polynomiale Funktion

Mit $f(z)=z^{2}$ bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen $\infty$.

• Die Differentialgleichung lautet:

$\gamma {\,}'(t)=\gamma (t)^{2},\quad z(0)=z_{0}\neq 0.$

• Lösung:

$\gamma (t)={\frac {z_{0}}{1-z_{0}t}}.$

• Interpretation: Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich $[0,+\infty )$ für $t\to +\infty$ gegen 0. Wenn ${\tfrac {1}{z_{0}}}\in [a,b]$ im Definitionsbereich des Weges $\gamma$ liegt, so ist der Weg nicht auf ganz $[a,b]$ definiert und es gilt:

$\lim _{t\to {\tfrac {1}{z_{0}}}}\gamma (t)=\infty$

Ist $z_{0}=0$ dann ist $\gamma (t)=0$ für alle $t\in [a,b]$ und $z_{0}=0$ ist ein Fixpunkt von $\gamma$.

Zusammenhang mit Potentialtheorie

Da $f$ holomorph ist, existiert lokal eine Stammfunktion $F$ (als komplexes Potential) mit $F'=f$. Die Trajektorien sind dann die Niveaulinien des Imaginärteils von $F$ (da ${\text{Im}}(F)$ harmonisch ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von ${\text{Im}}(F)$ verlaufen).

Siehe auch

• Lipschitz-stetig
• Konvexkombination
• holomorphe Funktion
• holomorphe Wege in Vektorfeldern
• meromorphe Funktion
• orientierte Fläche
• Potenzreihe
• Wege als Lösungen von Differentialleichungen

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