Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern

Einleitung

In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder $f:G\to \mathbb {C}$ holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ sind holomorphe Funktionen $\gamma _{_{U}}:U\to \mathbb {C}$ , die lediglich auf dem Intervall $[a,b]\subset U$ ausgewertet werden.

Konvexkombination als holomorpher Weg

Eine Konvexkombination kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall $[0,1]$ ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit $t\in [0,1]$ und $z_{0}=0$ :

\gamma _{1}(t)=(1-t)\cdot z_{1}+t\cdot z_{2}=\underbrace {(z_{2}-z_{1})} \cdot (t-z_{0})^{1}+z_{1}\cdot (t-z_{0})^{0}

Analog ist eine Konvexkombination $n$ -Ordung als Polynom vom Grad $n$ eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall $[0,1]$ ausgewertet wird.

Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen

Bei der Cauchy-Integralformel integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege $\gamma _{2}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als Potenzreihen darstellen:

\gamma _{2}(t)=z_{0}+re^{it}=(z_{0}+r)\cdot t^{0}+\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {r\cdot i^{k}}{k!}}\cdot t^{k}

Wege mit Spur als Ellipse

Auch $\gamma _{3}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ , dessen Spur eine Ellipse bildet, sind holomorphe Funktionen, denn es gilt mit $r_{1},r_{2}>0$ :

\gamma _{3}(t)=z_{0}+r_{1}\cdot \cos(t)=+r_{2}\cdot i\cdot \sin(t)

Aufgabe - Ellipse

Bestimmen Sie die Koeffiziente $p_{k}\in \mathbb {C}$ der Potenzreihendarstellung von $\gamma _{3}$ mit $k\in \mathbb {N}$ :

\gamma _{3}(t)=\underbrace {(z_{0}+r_{1})} _{=p_{0}}\cdot t^{0}+\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}

Holomorphe Wege

Ein holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ lässt sich um jeden Punkt $z_{0}\in G$ lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen $f_{n}$ der Potenzreihe bis zum Grad $n\in \mathbb {N}$ dann auf einer Kreischeiben ${\overline {D_{r}(z_{0})}}\subset G$ gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von $f$ konvergiert. Daher gibt es lokale Stammfunktionen, die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von $f$ erhält.

Differentialgleichung und Potenzreihen

Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls $f$ holomorph ist. Für $z\in {\overline {D_{r}(z_{0})}}\subset G$ gelte:

f(z):=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\cdot (z-z_{0})^{k}

Wege als Potenzreihen

Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist $\gamma _{_{U}}:U\to \mathbb {C}$ mit $[a,b]\subset U\subset \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge $U$ , dann ist $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ mit $\gamma (t):=\gamma _{_{U}}(t)$ insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von $\gamma$ mit Koeffizienten in $\mathbb {C}$ ;

\gamma _{_{U}}(z):=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\cdot (z-z_{0})^{k}

Wege als Laurentreihen

Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist $\gamma _{_{G}}:G\to \mathbb {C}$ mit $[a,b]\subset G$ eine meromorphe Funktion, dann ist $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ mit $\gamma (t):=\gamma _{_{G}}(t)$ eine stetig differenzierbare Funktion auf $[a,b]$ , wenn die Pole der Funktion $\gamma _{_{G}}$ nicht in $[a,b]$ liegen und es gibt eine Laurentreihendarstellung von $\gamma _{_{G}}$ mit Koeffizienten in $b_{k}\in \mathbb {C}$ und einem Pol $n$ -ter Ordnung in $z_{0}\in G$ mit $z_{0}\notin [a,b]$ :

\gamma _{_{G}}(z):=\sum _{k=-n}^{\infty }b_{k}\cdot (z-z_{0})^{k}

Beispielweg als Laurentreihe

Der folgende Weg $\gamma _{4}:[a,b]\to \mathbb {C}$ hat mit $c\in \mathbb {C}$ zwei Singularitäten in $+2i,-2i\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ :

{\begin{array}{rrcl}\gamma _{4}:&[a,b]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma _{4}(t)={\frac {c}{z^{2}+4}}={\frac {c}{(z+2i)\cdot (z-2i)}}\end{array}}

Aufgabe - Laurentreihen

Stellen Sie den Weg $\gamma _{4}$ für unterschiedliche Entwicklungspunkte $z_{0}$ als Laurent-Reihe dar:

$z_{0}=+2i$ und $z_{0}=-2i$
$z_{0}=0$ mit $[a,b]:=[-1,+1]$

Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1

Das Intervall $[a,b]\subset G$ wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für $\gamma (t)$ mit $t\in [a,b]$ verwendet werden kann, muss $t\in D_{r}(a)\subset G$ liegen, wobei $r>0$ der Konvergenzradius der Potenzreihe für $\gamma$ . Falls für das Intervall $[a,b]\subset D_{r}(a)$ gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für $\gamma$ auf $[a,b]$ um $a$ mit:

\gamma (t):=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\cdot (t-a)^{k}

Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2

Wenn $[a,b]$ nicht ganz in $D_{r}(t_{0})$ liegt, kann man für weitere $t_{0}\in [a,b]\subset G$ $\gamma$ ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln.

\gamma (t):=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\cdot (t-t_{0})^{k}

Ableitung von Wegen als Potenzreihen

Da Potenzreihe für $\gamma$ mit Entwicklungspunkt $t_{0}\in [a,b]$ besitzt $\gamma$ die folgende Ableitung $\gamma {\,}'$ , wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von $\gamma$ auf $D_{r}(t_{0})$ summandenweise differenzieren kann:

{\begin{array}{rcl}\gamma {\,}'(z)&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k\cdot b_{k}\cdot (z-z_{0})^{k-1}\\&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(k+1)\cdot b_{k+1}\cdot (z-z_{0})^{k}\end{array}}

Zunächst wird der Entwicklungspunkt $t_{0}:=a$ für den Startpunkt des Weges betrachtet.

Monome als Vektorfeld

Man betrachtet nun die ganze Funktion $f(z)=z^{3}$ :

\gamma {\,}'(t)=f(\gamma (t))=\gamma (t)^{3},\quad \gamma (a)=z_{a}.

Für die Potenzreihendarstellung $t_{0}\in [a,b]$ erhält man:

\gamma (t)^{3}=\sum _{n=0}^{\infty }\ {\bigg (}{\underset {i_{1}+i_{2}+i_{3}=n}{\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}\in \mathbb {N} }}}b_{i_{1}}\cdot b_{i_{2}}\cdot b_{i_{3}}{\bigg )}\cdot (t-t_{0})^{n}

Differentialgleichung und Potenzreihen

Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man:

{\begin{array}{rcl}\gamma {\,}'(t)&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+1)\cdot b_{n+1}(t-a)^{n}\\&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\ {\bigg (}{\underset {i_{1}+i_{2}+i_{3}=n}{\sum _{(i_{1},i_{2},i_{3})\in \mathbb {N_{0}} ^{3}}}}b_{i_{1}}\cdot b_{i_{2}}\cdot b_{i_{3}}{\bigg )}\cdot (t-a)^{n}\\&=&\displaystyle \gamma (t)^{3}=f(\gamma (t))\\\end{array}}

Bemerkung - Anwendung Identitätssatz

In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen.

Konstante der Potenzreihen

Mit der allgemeinen Potenzreihe für $\gamma$ mit dem Entwicklungspunkt $a$ erhält man mit $\gamma (a)=z_{a}$ , dass:

z_{a}=\gamma (a)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(a-a)^{n}=b_{0}

Damit hat $b_{0}=z_{a}$ als Koeffizient eines holomorphen Weges $\gamma _{_{G}}:G\to \mathbb {C}$ mit $[a,b]\subset G$ und $G$ als Gebiet automatisch bestimmt.

Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1

Für $n=0$ in der Differentialgleichung $\gamma {\,}'(t)=f(\gamma (t))=\gamma (t)^{3}$ erhält man:

b_{1}=(0+1)\cdot b_{0+1}={\underset {i_{1}+i_{2}+i_{3}=1}{\sum _{(i_{1},i_{2},i_{3})\in \mathbb {N_{0}} ^{3}}}}b_{i_{1}}\cdot b_{i_{2}}\cdot b_{i_{3}}

In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel $(i_{1},i_{2},i_{3})\in \mathbb {N_{0}} ^{3}$ , die die Eigenschaft $i_{1}+i_{2}+i_{3}=1$ erfüllen. Dies liefert $b_{1}=3\cdot b_{0}^{2}\cdot b_{1}$ wegen:

(i_{1},i_{2},i_{3})\in {\big \{}(1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1){\big \}}

Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit

Es werden dabei zwei Fälle betrachtet:

(F1b0) Wenn $b_{0}=z_{a}\not ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}$ erfüllt ist, muss $b_{1}=0$ gelten.
(F2b0) Wenn $b_{0}=z_{a}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}$ kann $b_{1}\in \mathbb {C}$ zunächst einmal beliebig gewählt werden.

Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3

Seien $b_{0},b_{1}\in \mathbb {C}$ festgelegt und man bestimmt nun $b_{2}$ . Für $n=2$ sucht man in der rechten Summe die Tupel $(i_{1},i_{2},i_{3})\in \mathbb {N_{0}} ^{3}$ , die die Eigenschaft $i_{1}+i_{2}+i_{3}=2$ erfüllen. Dies sind:

(i_{1},i_{2},i_{3})\in {\big \{}(2,0,0),\,(0,2,0),\,(0,0,2),\,(0,1,1),\,(1,0,1),\,(1,1,0){\big \}}

Damit erhält man für $b_{2}$ und Zusammenfassung der einzelnen Terme:

b_{2}=3\cdot b_{0}^{2}\cdot b_{2}+3\cdot b_{1}^{2}\cdot b_{0}

Fallunterscheidung - für 3. Potenz

Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für $b_{0}$ , so erhält man:

(F1b0) $b_{0}=z_{a}\not ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}$ und $b_{1}=0$ , dann gilt $3\cdot b_{0}^{2}\not =1$ :

b_{2}=\underbrace {\overbrace {3\cdot b_{0}^{2}} ^{\not =1}\cdot b_{2}} _{3\cdot b_{0}^{2}\cdot b_{2}+3\cdot b_{1}^{2}\cdot b_{0}}\Longrightarrow b_{2}=0

(F1b1) $b_{0}=z_{a}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}$ und $b_{1}\in \mathbb {C}$ , dann muss auch $b_{1}=0$ sein und es gilt:

b_{2}=b_{2}+3\cdot b_{1}^{2}\cdot b_{0}=b_{2}+\underbrace {3\cdot b_{1}^{2}\cdot {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}} _{=0}

Aufgabe für Studierende

Gibt es für die obige Differentialgleichung $\gamma {\,}'(t):=(\gamma (t))^{3}$ einen holomorphen Integrationsweg $\gamma _{_{G}}:G\to \mathbb {C}$ auf einem Gebiet $G$ mit $\gamma (t)=\gamma _{_{G}}(t)$ für alle $t\in [a,b]$ , der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen?