Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche

Kreisförmige Konvergenzbereiche

Die Konvergenzbereiche von Haupt- und Nebenteil der Laurent-Reihe sind im Wesentlichen Kreischeiben, wobei der Konvergenzbereiche für den Nebenteil die Punkte im Inneren einer Kreisscheibe und für den Hauptteil die Punkte außerhalb des Komplementes eine Kreisschreibe enthält und für diese Punkte Nebenteil bzw. Hauptteil absolut konvergent ist.

Kreisrand von Konvergenzbereichen

Für die Punkte auf dem Kreisrand kann es der Fall sein, dass der Hauptteil bzw. Nebenteil konvergiert oder divergiert.

Abelsches Lemma und Konvergenzbereiche

Das Abelsche Lemma ist der zentral Satz in der Funktionentheorie, der die Konvergenz von Potenzreihen untersucht. Durch die Operation $h(z)={\frac {1}{z}}$ kann man die Aussage für Potenzreihen von dem Nebenteil auf den Hauptteil der Laurent-Reihe übertragen. Dabei wird die punktierte kreiförmige Umgebung $U_{1}:=D_{r}(z_{o})\setminus \{z_{0}\}$ auf das Komplement der Kreisscheibe $U_{2}:=\mathbb {C} \setminus {\overline {D_{\frac {1}{r}}(z_{o})}}$ bijektiv abgebildet.

Kreisringe als Konvergenzbereiche

Eine Laurent-Reihe konvergiert für ein $z\in \mathbb {C}$ , wenn sowohl der Hauptteil als auch der Nebenteil für das $z$ konvergiert. Mit dem Abelschen Lemma enthält der Konvergenzbereich einer Laurent-Reihe im Wesentliche aus dem Schnitt einer Kreisschreibe mit einem Komplement einer Kreisscheibe. Der Konvergenzbereich besteht ohne Berücksichtung der Ränder daher aus einem offenen Kreisring, wobei Punkte auf dem Rand des Kreisringes auch zum Konvergenzbereich der Laurent-Reihe gehören können.

Abelsches Lemma

Sei $z_{0}\not =0$ und $f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}$ eine Potenzreihe, für die die Menge $\{|a_{n}\cdot z_{0}^{n}|\,:\,n\in \mathbb {N} _{0}\}$ beschränkt ist, dann konvergiert die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ gleichmäßig auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe ${\overline {D_{R}(0)}}:=\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z|\leq R\}$ mit $R<|z_{0}|$ .

Beweis

Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte

Konvergenz der Reihe für $R>0$ - Majorante geometrische Reihe.
Gleichmäßige Konvergenz auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${\overline {D_{R}(0)}}$ ,
Abschätzung der Restsumme der Reihe
gleichmäßige Konvergenz und Partialsummen
Schlussfolgerung für den Konvergenzbereich

Beweischritt 1 - Abschätzung Majorante - geometrische Reihe

Durch $z_{0}\not =0$ und der Beschränktheit der Summenterme $|a_{n}\cdot z_{0}^{n}|\leq M$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ergibt sich für jedes $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\leq R<|z_{0}|$ ein geometrische Reihe als Majorante.

\left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\cdot z^{n}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\left|a_{n}\cdot z_{0}^{n}\right|} _{\leq M}\cdot {\frac {\left|z^{n}\right|}{\left|z_{0}^{n}\right|}}\leq M\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\underbrace {\left({\frac {R}{|z_{0}|}}\right)} _{=q<1}}^{n}

Beweischritt 2 - Konvergenz der Reihe für einen positiven Radius

Für jedes $R>0$ mit $R<|z_{0}|$ konvergiert die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot R^{n}$ absolut. Dies bedeutet insbesondere, dass die Partialsummen $f_{N}(R)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}R^{n}$ eine konvergente Folge bilden.

Beweischritt 3 - Gleichmäßige Konvergenz für kleinere Radien

Um die gleichmäßige Konvergenz auf ${\overline {D_{R}(0)}}$ zu zeigen, betrachtet man die Partialsummen $f_{N}(z)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}\cdot z^{n}$ für $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\leq R$ und bezeichnen die Potenzreihe mit $f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}$ . Zu zeigen ist nun die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge $(f_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ gegen $f$ , d.h.

\forall \varepsilon >0\ \exists N_{o}\in \mathbb {N} \ \forall x\in {\overline {D_{R}(0)}}\ \forall N\geq N_{o}:\quad \left|f_{N}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,

Beweischritt 4 - Abschätzung der Restsumme der Potenzreihe

Für $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\leq R$ und $N<M$ gilt:

\left|f(z)-f_{N}(z)\right|=\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}\right|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot |z|^{n}\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot R^{n}

Da die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|\cdot R^{n}$ konvergiert, wird der Restterm $\sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot R^{n}$ beliebig klein, wenn $N$ groß genug gewählt wird.

Beweischritt 5 - Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummenfolge

Für gleichmäßige Konvergenz mussen man zeigen, dass für jedes $\epsilon >0$ ein $N_{\varepsilon }$ existiert, sodass für alle $N>N_{\varepsilon }$ und alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\leq R$ gilt:

|f(z)-f_{N}(z)|=\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}\right|<\epsilon

Beweischritt 6 - Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummenfolge

Sei nun $N_{\varepsilon }$ mit der Konvergenz von $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|\cdot R^{n}$ so gewählt, dass die folgende Ungleichung gilt: $\sum _{n=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot R^{n}<\epsilon$ gilt. Dann erhält man für $N\geq N_{\epsilon }$ :

|f(z)-f_{N}(z)|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }\left|a_{n}\right|\cdot \left|z^{n}\right|\leq \sum _{n=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left|a_{n}\right|\cdot \underbrace {\left|z^{n}\right|} _{\leq R^{n}}<\epsilon

Beweischritt 7 - Schlussfolgerung

Da die Bedingung des Cauchy-Kriteriums erfüllt ist, konvergiert die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ gleichmäßig auf $z\in {\overline {D_{R}(0)}}$ .

Korrollar - Divergenz

Sei $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe und $r>0$ . Wenn die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}$ divergiert, dann ist die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|>r$ nicht absolut konvergent.

Aufgabe 1 - Beweis Korrollar

Führen Sie den Beweis für das Korrollar durch Widerspruch über die Anwendung des Abelsche Lemmas.

Aufgabe 2 - Hauptteil Laurent-Reihe

Sei $f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R$ , die für ein $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|=R$ absolut konvergiert. Zeigen Sie, dass die darstellende Reihe der folgenden Funktion $g:=f\circ h$ mit $h(z)={\frac {1}{z}}$ auf $U:=\mathbb {C} \setminus D_{\frac {1}{R}}(0)$ absolut konvergiert.