In dieser Lerneinheit wird das aus der Analysis bekannte Integral über ein Intervall
[
a
,
b
]
⊂
R
{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }
Wegintegrals betrachtet. Diese Vorüberlegung spielen für die komplexwertige Integration über messbare Mengen bzw. Flächen bzgl. Rechteckflächen
[
a
1
,
b
1
]
×
[
a
2
,
b
2
]
⊂
R
2
{\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\subset \mathbb {R} ^{2}}
Flächenintegralen .
Man kann das Wegintegral über ein Intervall
[
a
,
b
]
⊂
R
{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }
γ
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {C} }
γ
:
[
a
,
b
]
→
C
t
↦
γ
(
t
)
=
t
+
i
⋅
0
{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\gamma :&[a,b]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=t+i\cdot 0\end{array}}}
Für
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
′
(
t
)
=
1
{\displaystyle {\gamma }\,'(t)=1}
∫
γ
f
(
z
)
d
z
=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
⋅
γ
′
(
t
)
⏟
=
1
d
t
=
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\cdot \underbrace {{\gamma }\,'(t)} _{=1}\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt}
[ Bearbeiten ] Analog kann man das Wegintegral über ein Intervall
i
⋅
[
a
,
b
]
⊂
C
{\displaystyle i\cdot [a,b]\subset \mathbb {C} }
∫
i
⋅
a
i
⋅
b
f
(
z
)
d
z
=
∫
a
b
f
(
i
⋅
t
)
d
t
=
−
i
⋅
∫
a
b
f
(
i
⋅
t
⏟
=
γ
i
(
t
)
)
⋅
i
⏟
=
γ
i
′
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{i\cdot a}^{i\cdot b}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(i\cdot t)\,dt=-i\cdot \int _{a}^{b}f(\underbrace {i\cdot t} _{=\gamma _{i}(t)})\cdot \underbrace {i} _{=\gamma _{i}\,'(t)}\,\,dt}
als Wegintegral über
γ
i
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle \gamma _{i}:[a,b]\to \mathbb {C} }
γ
i
:
[
a
,
b
]
→
C
t
↦
γ
i
(
t
)
=
0
+
i
⋅
t
{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\gamma _{i}:&[a,b]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma _{i}(t)=0+i\cdot t\end{array}}}
Für
γ
i
{\displaystyle \gamma _{i}}
γ
i
′
(
t
)
=
i
{\displaystyle {\gamma _{i}}\!'(t)=i}
∫
γ
i
f
(
z
)
d
z
=
∫
a
b
f
(
γ
i
(
t
)
)
⋅
γ
i
′
(
t
)
⏟
=
i
d
t
=
i
⋅
∫
a
b
f
(
i
⋅
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{\gamma _{i}}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma _{i}(t))\cdot \underbrace {{\gamma _{i}}\!'(t)} _{=i}\,dt=i\cdot \int _{a}^{b}f(i\cdot t)\,dt}
[ Bearbeiten ] Insgesamt kann man Integral über ein Intervall
i
⋅
[
a
,
b
]
⊂
C
{\displaystyle i\cdot [a,b]\subset \mathbb {C} }
∫
i
⋅
a
i
⋅
b
f
(
z
)
d
z
=
−
i
⋅
∫
γ
i
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{i\cdot a}^{i\cdot b}f(z)\,dz=-i\cdot \int _{\gamma _{i}}f(z)\,dz}
![{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659536067aaaac2db1c44613a09a715f0cf7246)
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\subset \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87e01266344f69074f81ee128f87f3605487708)
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba8e67ece48ed58462781818669d29170ae4809)
![{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\gamma :&[a,b]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=t+i\cdot 0\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1bc718e58e5981eaafcd7fe582c9e0cec4ec3e)
![{\displaystyle i\cdot [a,b]\subset \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2674cad581a5d9543f26e7146263e53617e77693)
![{\displaystyle \gamma _{i}:[a,b]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3078a59c004ecd1c9fe92e1e4424ab5108e5bda)
![{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\gamma _{i}:&[a,b]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma _{i}(t)=0+i\cdot t\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a42478b21cba5946971b0613531ac78bd3f8a92b)
