Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion

Einleitung

Im Lemma von Goursat wird über einen Dreiecksrad integriert. Dabei setzt sich der Weg $\gamma$ aus drei stetig differenzierbaren Wegen $\gamma _{k}$ zusammen.

\gamma :=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}

.

Stückweise stetig differenzierbar

$\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ ist nicht mehr stetig differenzierbar, sondern nur noch stückweise stetig differenzierbar und für die Berechnung der Wegintegrals zerlegt für die Kette $\gamma$ in die stetig differenzierbaren Teilwege.

\int _{\gamma }f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{3}\int _{a_{k}}^{b_{k}}f(\gamma _{k}(t))\cdot \gamma _{k}{\,}'(t)\,dt

mit $\mathbf {a} =a_{1}<b_{1}\,=\,a_{2}<b_{2}\,\ldots \,a_{n-1}<b_{n-1}\,=\,a_{n}<b_{n}=\mathbf {b}$ .

Satz - Stetige Funktion mit Stammfunktion und geschlossene Wege

Besitzt eine stetige Funktion $\displaystyle f:U\to \mathbb {C}$ eine Stammfunktion $\displaystyle F:U\to \mathbb {C}$ , dann gilt für den stückweise glatten Weg $\displaystyle \gamma :[a,b]\to U$ , dass $\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))$ gilt.

Beweisidee

Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$ (d.h. $F'=f$ ).
Nutzen Sie die Definition des Wegintegrals und verwenden Sie die Substitutionsregel und den Hauptsatz der Differential- Integralrechnung.

Aufgabe für Studierende

Beweisen Sie den obigen Satz:

Nutzen Sie bei einem stückweise stetig differenzierbaren Weg (Integrationsweg) die stückweise Definition $\gamma =\gamma _{1}+\ldots \gamma _{n}$ , um das Integral in Teilintegrale zu zerlegen:

\int _{\gamma }f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}f(z)\,dz

Verwenden Sie dann, die Definition des Wegintegrale für die obigen $\gamma _{k}$ und nutzen Sie die Substitutionsregel für Integrale:

\int _{\gamma _{k}}f(z)\,dz=\int _{a_{k}}^{b_{k}}f(\gamma _{k}(t))\cdot \gamma _{k}{\,}\!\!'(t)\,dt

Betrachten Sie nun die Verbindungsstellen zwischen der Wegteile (z.B. bei einem Dreiecksweg sind das die Eckpunkte, an denen Weg nicht differenzierbar ist). An diesen Stellen gilt $\gamma _{k}(b_{k})=\gamma _{k+1}(a_{k+1})$ für $k\in \{1,\ldots ,n-1\}$ und $b_{k}=a_{k+1}$ .
Durch Ersetzung von $F(\gamma _{k}(b_{k}))=F(\gamma _{k+1}(a_{k+1}))$ in den Termen $F(\gamma _{k}(b_{k}))-F(\gamma _{k}(a_{k}))$ für $k\in \{1,\ldots ,n-1\}$ teleskopiert die Summe und es verbleiben nur noch zwei Terme mit $a_{1}=a$ und $b_{n}=b$ .
Zerlegen Sie dazu die Summe wie folgt: