Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/30/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 0 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 0 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 1 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ 61 }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezweiundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Kontraposition} {}
zu einer Implikation
\mathl{\alpha \rightarrow \beta}{.}
}{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} { L } { M } {.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} (oder \stichwort {totale} {}) Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
}{Die $n$-te \stichwort {Potenz} {} zu einer natürlichen Zahl $a$.
}{Eine \stichwort {Gruppe} {.}
}{Eine \stichwort {rationale Zahl} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Isomorphiesatz} {} für Dedekind-Peano-Modelle.}{Der \stichwort {binomische Lehrsatz} {} für einen kommutativen Halbring.}{Der Satz über den Vergleich zwischen Stammbrüchen und positiven Zahlen.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Man erläutere das Prinzip, dass viele Bedingungen zu einer kleinen Lösungsmenge korrespondieren, anhand eines alltäglichen und anhand eines mathematisches Beispiels.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
In einer U-Bahn-Station wird der Zugang und der Ausgang über eine elektronische Karte geregelt, die man an einen Sensor halten muss, damit sich die Schranke öffnet. Es gibt 5 Ausgänge, aber nur 2 Zugänge. Was haben sich die Leute dabei vermutlich gedacht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1.5+1.5)}
{
Ein Zug fährt $100$ Kilometer den Rhein abwärts mit einer Geschwindigkeit von $100$ kmh. Auf dem Rhein fahren Schiffe in beide Richtungen, alle mit einer Geschwindigkeit von $20$ kmh, wobei sie zu den gleichgerichteten Schiffen einen konstanten Abstand von $2$ km einhalten. Zu Beginn der Fahrt ist der Zug gleichauf mit zwei Schiffen \zusatzklammer {in beide Richtungen} {} {.} \aufzaehlungzwei {Wie vielen entgegenkommenden Schiffen begegnet der Zug? } {Wie viele Schiffe überholt der Zug? }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
In der Klasse 3c wird eine Klassenarbeit geschrieben, jeder Schüler und jede Schülerin bekommt eine Note. Beschreibe diesen Vorgang als ein Abbildung. Was bedeuten injektiv und surjektiv in diesem Fall?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion aus den Dedekind-Peano-Axiomen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Multiplikation und endliche Mengen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Die Fußballmannschaft des TSV Wildberg verfügt über drei Torwarte, sieben Verteidigungsspieler, sechs Mittelfeldspieler und vier Angreifer. Im anstehenden Spiel gegen Effringen will sie
\zusatzklammer {neben einem Torwart} {} {}
mit vier Verteidigern, drei Mittelfeldspielern und drei Angreifern agieren.
\aufzaehlungdrei{Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es?
}{Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass einer der eingesetzten Spieler der Kapitän sein soll?
}{Wildberg geht in der $80.$ Minute mit
\mathl{1:0}{} in Führung und entschließt sich, die Verteidigung zu stärken, indem zwei Angreifer durch zwei Verteidiger ersetzt werden. Wie viele Auswechlungsmöglichkeiten gibt es dafür?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Heute ist Freitag. Welcher Wochentag war vor $1000$ Tagen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Angelika Freiwurf kommt um 15:00 zum See und angelt bis 18:00. Zu Beginn befinden sich 10 Hechte und 80000 Buntbarsche im See. Ein Hecht verspeist pro Stunde 3 Buntbarsche. Angelika fängt pro Stunde 5 Buntbarsche. Darüber hinaus fängt sie um 16:00 einen Hecht und zum Abschluss um 18:00 noch mal einen Hecht. Wie viele Hechte und wie viele Buntbarsche befinden sich um 18:00 im See?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4
} {,}
die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Jonathan
\zusatzklammer {8 Jahre alt} {} {}
antwortet auf die Frage, was
\mathl{8 \text{ mal } 8}{} ist, nach einigem Überlegen mit \anfuehrung{achtundachtzig Millionen achthundertachtundachtzigtausend achthundertachtundachzig}{.} Was hätte er auf die Frage, was
\mathl{7 \text{ mal } 7}{} ist, geantwortet?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+2+4)}
{
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $11$ kein Teiler von $111$ ist, aber ein Teiler von $1111$.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei $y$ diejenige natürliche Zahl, die im Zehnersystem durch $m$ aufeinanderfolgende Einsen dargestellt wird. Zeige, dass $y$ genau dann von $11$ geteilt wird, wenn $m$ gerade ist.
}{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell,m
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei $x$ die Zahl mit $\ell$ Einsen und $y$ die Zahl mit $m$ Einsen
\zusatzklammer {im Zehnersystem} {} {.}
Zeige, dass $y$ genau dann von $x$ geteilt wird, wenn $m$ von $\ell$ geteilt wird.
}{
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass beim euklidischen Algorithmus zu \mathkor {} {a} {und} {b} {} der größte gemeinsame Teiler von zwei aufeinanderfolgenden Resten stets gleich bleibt und schließe daraus, dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen berechnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (2+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine natürliche Zahl.
\aufzaehlungzwei {Bestimme den
\definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{}
von
\mathkor {} {(n!)^2} {und} {(n-1)! \cdot (n+1)!} {.}
} {Bestimme das
\definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{}
von
\mathkor {} {(n!)^2} {und} {(n-1)! \cdot (n+1)!} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Wir betrachten die Stammbrüche \mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 5 } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {.}
\aufzaehlungdrei{Wie viele Stammbrüche liegen echt zwischen
\mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 5 } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {?}
}{Wie viele rationale Zahlen der Form
\mathl{{ \frac{ a }{ 11 } }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen echt zwischen
\mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 5 } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {?}
}{Wie viele rationale Zahlen liegen echt zwischen
\mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 5 } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Bruno liest in der Zeitung: \anfuehrung{Im letzen Jahr war bei $50 \%$ aller Autounfälle Alkohol mit im Spiel}{.} Bruno überlegt: \anfuehrung{ $50 \%$ mit Alkohol, $50 \%$ ohne Alkohol. Dann ist es also egal, ob man was trinkt oder nicht. In Zukunft werde ich das auch nicht mehr so streng sehen}{.} Beurteile diese Überlegung!
}
{} {}