Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/20/Klausur/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 6 }

\renewcommand{\afuenf}{ 5 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 1 }

\renewcommand{\aacht}{ 2 }

\renewcommand{\aneun}{ 1 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 7 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.

}{\stichwort {Elementare Zeilenumformungen} {} an einer $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.

}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Die \stichwort {Eulersche Zahl} {.}

}{Eine \stichwort {rationale Funktion} {} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}{Ein \stichwort {Ereignis} {} in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{M}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}}{Der Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.}{Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {- 5 x - { \frac{ 1 }{ 3 } } y = 1 \text{ und } - 7 x+ { \frac{ 1 }{ 2 } }y = { \frac{ 2 }{ 3 } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+4)}
{

\aufzaehlungdrei{Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt. }{Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabb {\varphi} {K^n} {K^m } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige die folgenden Eigenschaften. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Für jede \definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
\mathl{\sum_{i = 1}^k s_i v_i}{} in $K^n$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^ks_i v_i \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (0.5+0.5+1+1+1)}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arctic food web.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Arctic food web.svg } {} {Offnfopt} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil
\mathl{x \rightarrow y}{} bedeutet, dass $x$ von $y$ gefressen wird. \aufzaehlungfuenf{Was frisst ein Polarbear? }{Von wem wird ein Capelin gefressen? }{Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette? }{Ist die Relation transitiv? }{Ist die Relation antisymmetrisch? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme, ob die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{1000000000000000000000000000}} { }
rational ist oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Lucy Sonnenschein möchte wissen, ob sie von ihrem Bauchnabel im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt wird. Sie selbst ist
\mathl{1,75}{} Meter groß und ihr Bauchnabel befindet sich auf
\mathl{1,05}{} Meter Höhe. Liegt das Verhältnis
\mathl{{ \frac{ 1,05 }{ 1,75 } }}{} unterhalb oder oberhalb des goldenen Schnittes, der
\mathl{{ \frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 } }}{} ist?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Betrachte die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {In den ganzen Zahlen besitzt nicht nur jede natürliche Zahl ein Negatives, sondern jede ganze Zahl besitzt darin ein Negatives. } {In den rationalen Zahlen besitzt nicht nur jede von $0$ verschiedene ganze Zahl ein \zusatzklammer {multiplikativ} {} {} Inverses, sondern jede von $0$ verschiedene rationale Zahl besitzt darin ein Inverses. } Formuliere eine entsprechende Aussage für den Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} in $K$. Zeige, dass die Summenfolge
\mathl{{ \left( x_n + y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n+ y_n \right) } }
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die $17.$ Nachkommastelle in der \zusatzklammer {kanonischen} {} {} Dezimalentwicklung eine $0$ ist. Welche Eigenschaften eines \definitionsverweis {Ideals}{}{} erfüllt diese Menge, welche nicht?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7 (2+3+2)}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei $M$ die Menge aller \definitionsverweis {Intervallschachtelungen}{}{} auf $K$. Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen \mathkor {} {I_n,\, n \in \N,} {und} {J_n,\, n \in \N,} {} zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J_n }
{ \subseteq }{ I_m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_k }
{ \subseteq }{ J_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M$ ist. }{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren. }{Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{

\aufzaehlungzwei {Finde eine quadratische Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +px+q }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit $p,q \in \Z$, für die $17$ die einzige Lösung ist. } {Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +px+q }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit $p,q \in \Z$, für die $17$ eine Lösung ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\{1,2,3 , \ldots , 142 \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Laplace-Dichte}{}{.} Es sei $E$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $11$ ist, und $F$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $13$ ist. Sind \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {unabhängig}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (3+3+2)}
{

Es sei ein Kreis mit fünf \zusatzklammer {äquidistanten} {} {} Knoten gegeben, die mit $1,2,3,4,5$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$. \aufzaehlungdrei{Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt. }{Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt. }{Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der Addition und der Multiplikation? Betrachte dazu die verschiedenen Zahlenbereiche $\N,\Z,\Q,\R$.

}
{} {}