Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/20/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}{\stichwort {Elementare Zeilenumformungen} {} an einer $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Die \stichwort {Eulersche Zahl} {.}
}{Eine \stichwort {rationale Funktion} {} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Ein
\stichwort {Ereignis} {}
in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{M}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}}{Der Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.}{Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {- 5 x - { \frac{ 1 }{ 3 } } y = 1 \text{ und } - 7 x+ { \frac{ 1 }{ 2 } }y = { \frac{ 2 }{ 3 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+4)}
{
\aufzaehlungdrei{Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt. }{Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Für jede
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
\mathl{\sum_{i = 1}^k s_i v_i}{} in $K^n$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^ks_i v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (0.5+0.5+1+1+1)}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arctic food web.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Arctic food web.svg } {} {Offnfopt} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil
\mathl{x \rightarrow y}{} bedeutet, dass $x$ von $y$ gefressen wird.
\aufzaehlungfuenf{Was frisst ein Polarbear?
}{Von wem wird ein Capelin gefressen?
}{Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette?
}{Ist die Relation transitiv?
}{Ist die Relation antisymmetrisch?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme, ob die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{1000000000000000000000000000}} { }
rational ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Lucy Sonnenschein möchte wissen, ob sie von ihrem Bauchnabel im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt wird. Sie selbst ist
\mathl{1,75}{} Meter groß und ihr Bauchnabel befindet sich auf
\mathl{1,05}{} Meter Höhe. Liegt das Verhältnis
\mathl{{ \frac{ 1,05 }{ 1,75 } }}{} unterhalb oder oberhalb des goldenen Schnittes, der
\mathl{{ \frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 } }}{} ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Betrachte die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {In den ganzen Zahlen besitzt nicht nur jede natürliche Zahl ein Negatives, sondern jede ganze Zahl besitzt darin ein Negatives. } {In den rationalen Zahlen besitzt nicht nur jede von $0$ verschiedene ganze Zahl ein \zusatzklammer {multiplikativ} {} {} Inverses, sondern jede von $0$ verschiedene rationale Zahl besitzt darin ein Inverses. } Formuliere eine entsprechende Aussage für den Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $K$. Zeige, dass die Summenfolge
\mathl{{ \left( x_n + y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n+ y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die $17.$ Nachkommastelle in der
\zusatzklammer {kanonischen} {} {}
Dezimalentwicklung eine $0$ ist. Welche Eigenschaften eines
\definitionsverweis {Ideals}{}{}
erfüllt diese Menge, welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (2+3+2)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und sei $M$ die Menge aller
\definitionsverweis {Intervallschachtelungen}{}{}
auf $K$. Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen
\mathkor {} {I_n,\, n \in \N,} {und} {J_n,\, n \in \N,} {}
zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J_n
}
{ \subseteq }{ I_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_k
}
{ \subseteq }{ J_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ ist.
}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
}{Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Finde eine quadratische Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +px+q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $p,q \in \Z$, für die $17$ die einzige Lösung ist.
} {Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +px+q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $p,q \in \Z$, für die $17$ eine Lösung ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\{1,2,3 , \ldots , 142 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Laplace-Dichte}{}{.}
Es sei $E$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $11$ ist, und $F$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$
ein Vielfaches der $13$ ist. Sind
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {unabhängig}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (3+3+2)}
{
Es sei ein Kreis mit fünf \zusatzklammer {äquidistanten} {} {} Knoten gegeben, die mit $1,2,3,4,5$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$. \aufzaehlungdrei{Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt. }{Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt. }{Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der Addition und der Multiplikation? Betrachte dazu die verschiedenen Zahlenbereiche $\N,\Z,\Q,\R$.
}
{} {}