Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/20/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 6 }

\renewcommand{\afuenf}{ 5 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 1 }

\renewcommand{\aacht}{ 2 }

\renewcommand{\aneun}{ 1 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 7 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.

}{\stichwort {Elementare Zeilenumformungen} {} an einer $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.

}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Die \stichwort {Eulersche Zahl} {.}

}{Eine \stichwort {rationale Funktion} {} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}{Ein \stichwort {Ereignis} {} in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{M}{.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Das System
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die
\mathl{a_{ij}}{} und die $c_i$ aus $K$ sind. }{Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen: \aufzaehlungdrei{Vertauschung von zwei Zeilen. }{Multiplikation einer Zeile mit
\mathl{s \neq 0}{.} }{Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. } }{Zu jeder \definitionsverweis {streng wachsenden}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbele {} {\N} {\N } {i} {n_i } {,} heißt die Folge
\mathdisp {i \mapsto x_{n_i}} { }
eine Teilfolge der Folge. }{Die Eulersche Zahl ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. }{Zu zwei \definitionsverweis {Polynomen}{}{}
\mathbed {P,Q \in K [X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,} heißt die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {D} { K } {z} { \frac{P(z)}{Q(z)} } {,} wobei
\mathl{D \subseteq K}{} das \definitionsverweis {Komplement}{}{} der \definitionsverweis {Nullstellen}{}{} von $Q$ ist, eine rationale Funktion. }{Jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt ein Ereignis. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}}{Der Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.}{Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und
\mathl{m,n \in \N}{.} Es seien
\mathbed {w_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} Elemente in $K^m$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} mit
\mathdisp {\varphi(e_i) = w_i \text { für alle } i = 1 , \ldots , n} { , }
wobei $e_i$ den $i$-ten Standardvektor bezeichnet.}{Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge in $K$. Dann gibt es die drei folgenden Alternativen. \aufzaehlungdrei{Die Folge ist eine Nullfolge. }{Es gibt eine positive Zahl $\delta$ derart, dass ab einem gewissen $n_0$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \geq} { \delta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{n \geq n_0}{} gilt. }{Es gibt eine positive Zahl $\delta$ derart, dass ab einem gewissen $n_0$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \leq} { - \delta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{n \geq n_0}{} gilt. }}{\aufzaehlungdrei{Es ist
\mathl{\sin \left( x+2 \pi \right) = \sin x}{} für alle
\mathl{x \in \R}{.} }{Es ist
\mathl{\sin \left( x + \pi \right) = - \sin x}{} für alle
\mathl{x \in \R}{.} }{Es ist
\mathl{\sin 0=0}{,}
\mathl{\sin \pi/2 = 1}{,}
\mathl{\sin \pi= 0}{,}
\mathl{\sin 3\pi/2 =-1}{} und $\sin 2 \pi =0$. }}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {- 5 x - { \frac{ 1 }{ 3 } } y = 1 \text{ und } - 7 x+ { \frac{ 1 }{ 2 } }y = { \frac{ 2 }{ 3 } }} { . }

}
{

Wir addieren zur ersten Gleichung das
\mathl{- { \frac{ 5 }{ 7 } }}{-}fache der zweiten Gleichung und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ 29 }{ 42 } } y }
{ =} { { \frac{ 11 }{ 21 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y }
{ =} {- { \frac{ 22 }{ 29 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 15 } } y - { \frac{ 1 }{ 5 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 15 } } \cdot { \frac{ 22 }{ 29 } } - { \frac{ 1 }{ 5 } } }
{ =} { { \frac{ 22-87 }{ 435 } } }
{ =} { - { \frac{ 65 }{ 435 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { - { \frac{ 13 }{ 87 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+1+4)}
{

\aufzaehlungdrei{Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt. }{Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen. }

}
{

\aufzaehlungdrei{$\,$ }{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4Geraden3Schnittpunkte.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 4Geraden3Schnittpunkte.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}


\mathl{\,}{} }{Es sei angenommen, dass es eine solche Geradenkonfiguration gibt. Wir behandeln die beiden Fälle, dass die beiden Schnittpunkte auf einer der Geraden $G$ liegen oder nicht.

Im ersten Fall müssen die Geraden, die mit $G$ die Schnittpunkte definieren, zueinander parallel sein. Die vierte Gerade kann weder zu $G$ noch zu den beiden anderen Geraden parallel sein, sonst würde es neue Schnittpunkte geben. Damit schneidet die vierte Gerade die ersten drei Geraden, und dabei kann zwar ein Schnittpunkt mit den beiden Schnittpunkten zusammenfallen, aber nicht mit beiden.

Im zweiten Fall gibt es zwei Geradenpaare, die jeweils die beiden Schnittpunkte definieren. Doch dann trifft jede Gerade zumindest eine Gerade des anderen Geradenpaares in einem neuen Schnittpunkt, da sie nicht zu beiden parallel sein kann und nicht durch deren Schnittpunkt verläuft \zusatzklammer {sonst wären wir im ersten Fall} {} {.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabb {\varphi} {K^n} {K^m } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige die folgenden Eigenschaften. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Für jede \definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
\mathl{\sum_{i = 1}^k s_i v_i}{} in $K^n$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^ks_i v_i \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{

\aufzaehlungzwei {Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(0) }
{ =} { \varphi(0+0) }
{ =} {\varphi(0) + \varphi(0) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Addition mit dem negativen Element zu
\mathl{\varphi(0)}{,} also mit $- \varphi(0)$, ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {\varphi(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $k$. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist dies einfach die Verträglichkeit einer linearen Abbildung mit der Skalarmultiplikation. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit Addition und Skalarmultiplikation ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^{k+1} s_i v_i \right) } }
{ =} {\varphi { \left( \sum_{i = 1}^{k} s_i v_i \right) } + \varphi { \left( s_{k+1} v_{k+1} \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) } + \varphi { \left( s_{k+1} v_{k+1} \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) } + s_{k+1} \varphi { \left( v_{k+1} \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1}^{k+1} s_i \varphi { \left( v_i \right) } }
} {} {}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4 (0.5+0.5+1+1+1)}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arctic food web.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Arctic food web.svg } {} {Offnfopt} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil
\mathl{x \rightarrow y}{} bedeutet, dass $x$ von $y$ gefressen wird. \aufzaehlungfuenf{Was frisst ein Polarbear? }{Von wem wird ein Capelin gefressen? }{Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette? }{Ist die Relation transitiv? }{Ist die Relation antisymmetrisch? }

}
{

\aufzaehlungfuenf{Ein Polarbear frisst Arctic cod, Ringed seal und Harbour seal. }{Capelin wird von Harbour seal und Harp seal gefressen. }{Polar bear, Killer whale und Arctic birds stehen an der Spitze der Nahrungskette, da von ihnen kein Pfeil ausgeht. }{Die Relation ist nicht transitiv, da beispielsweise ein Pfeil von Arctic cod nach Ringed seal und ein Pfeil von Ringed seal nach Killer whale geht, aber kein direkter Pfeil von Arctic cod nach Killer whale. }{Die Relation ist antisymmetrisch, da die Voraussetzung, dass zwei Objekte durch Pfeil und gegenläufigen Pfeil verbunden sind, überhaupt nicht vorkommt, und damit die in der Antisymmetrie geforderte Implikation automatisch erfüllt ist, da der Vordersatz stets falsch ist. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Bestimme, ob die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{1000000000000000000000000000}} { }
rational ist oder nicht.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{1000000000000000000000000000} }
{ =} { \sqrt{10^{27} } }
{ =} { 10^{13} \cdot \sqrt{10} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht rational nach Satz 42.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)).

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Lucy Sonnenschein möchte wissen, ob sie von ihrem Bauchnabel im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt wird. Sie selbst ist
\mathl{1,75}{} Meter groß und ihr Bauchnabel befindet sich auf
\mathl{1,05}{} Meter Höhe. Liegt das Verhältnis
\mathl{{ \frac{ 1,05 }{ 1,75 } }}{} unterhalb oder oberhalb des goldenen Schnittes, der
\mathl{{ \frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 } }}{} ist?

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 105 }{ 175 } } }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 5 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Frage ist also, ob
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 5 } } }
{ \leq }{ { \frac{ \sqrt{5} - 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 6 }{ 5 } } + 1 }
{ =} { { \frac{ 11 }{ 5 } } }
{ \leq} { \sqrt{5} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{121 }
{ =} {11^2 }
{ \leq} { 5 \cdot 25 }
{ =} { 125 }
{ } { }
} {}{}{,} was der Fall ist. Ihr Bauchnabelverhältnis liegt also leicht unterhalb des goldenen Schnittes.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Betrachte die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {In den ganzen Zahlen besitzt nicht nur jede natürliche Zahl ein Negatives, sondern jede ganze Zahl besitzt darin ein Negatives. } {In den rationalen Zahlen besitzt nicht nur jede von $0$ verschiedene ganze Zahl ein \zusatzklammer {multiplikativ} {} {} Inverses, sondern jede von $0$ verschiedene rationale Zahl besitzt darin ein Inverses. } Formuliere eine entsprechende Aussage für den Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen.

}
{

In den reellen Zahlen besitzt nicht nur jede rationale Cauchy-Folge einen Grenzwert, sondern jede reelle Cauchy-Folge besitzt darin einen Grenzwert.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} in $K$. Zeige, dass die Summenfolge
\mathl{{ \left( x_n + y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n+ y_n \right) } }
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{

Es seien $x$ bzw. $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \epsilon' }
{ =} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} { \epsilon' }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon' }
{ = }{ { \frac{ \epsilon }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $n_0'$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_0' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-y } }
{ \leq} { \epsilon' }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N }
{ =} { {\max { \left( n_0 , n_0' \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {unter Verwendung der Dreiecksungleichung} {} {} die Abschätzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_n+y_n -(x+y) } }
{ =} { \betrag { x_n+y_n -x-y } }
{ =} { \betrag { x_n-x +y_n -y } }
{ \leq} { \betrag { x_n-x } + \betrag { y_n -y } }
{ \leq} { \epsilon' + \epsilon' }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die $17.$ Nachkommastelle in der \zusatzklammer {kanonischen} {} {} Dezimalentwicklung eine $0$ ist. Welche Eigenschaften eines \definitionsverweis {Ideals}{}{} erfüllt diese Menge, welche nicht?

}
{

\aufzaehlungdrei{Die $0$ gehört dazu, da die Dezimalentwicklung der $0$ an jeder Stelle eine $0$ besitzt. }{Die Additivitätseigenschaft ist nicht erfüllt, wir betrachten den Dezimalbruch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{0,000 \ldots 000 5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit siebzehn Nachkommanullen, die achtzehnte Nachkommaziffer ist eine $5$. Diese Zahl gehört zu $T$, wenn man sie aber mit sich selbst addiert, so erhält man an der siebzehnten Nachkommastelle eine $1$, so dass die Summe aus zwei Elementen aus $T$ nicht zu $T$ gehören muss. }{Die Zahl $x$ aus Teil (2) gehört zu $T$, aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2x }
{ = }{x+x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gehört nicht zu $T$. Das bedeutet, dass $T$ nicht unter der Multiplikation mit beliebigen reellen Zahlen abgeschlossen ist. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{7 (2+3+2)}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei $M$ die Menge aller \definitionsverweis {Intervallschachtelungen}{}{} auf $K$. Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen \mathkor {} {I_n,\, n \in \N,} {und} {J_n,\, n \in \N,} {} zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J_n }
{ \subseteq }{ I_m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_k }
{ \subseteq }{ J_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M$ ist. }{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren. }{Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren. }

}
{

\aufzaehlungdrei{Die Reflexivität \zusatzklammer {man nehme
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n }
{ = }{m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} und die Symmetrie sind klar. Zum Nachweis der Transitivität seien $I_n$, $J_n$ und $K_n$ Intervallschachtelungen, wobei die beiden vorderen und die beiden hinteren zueinander verfeinerungsäquivalent seien. Es ist zu zeigen, dass auch $I_n$ zu $K_n$ verfeinerungsäquivalent ist. Sei dazu ein $I_m$ gegeben. Nach Voraussetzung gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J_n }
{ \subseteq }{I_m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dazu gibt es wiederum ein $\ell$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_\ell }
{ \subseteq }{J_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also insgesamt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_\ell }
{ \subseteq }{I_m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die umgekehrte Bedingung an die Verfeinerungsäquivalenz wird genauso bewiesen. }{Es sei $x$ die durch die Intervallschachtelung $I_n$ festgelegte reelle Zahl, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{n \in \N} I_n }
{ =} { \{x\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei $J_n$ eine zu $I_n$ verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelung und $J_n$ ein Intervall daraus. Nach Voraussetzung gibt es ein $k$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_k }
{ \subseteq }{J_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \in} {J_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da es ja zu allen $I_k$ gehört. Also ist $x$ auch die von $J_n$ festgelegte Zahl. }{Wir betrachten die beiden Intervallschachtelungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n }
{ =} { [0 , { \frac{ 1 }{ n } } ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{J_n }
{ =} { [- { \frac{ 1 }{ n } } , 0 ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} seien die Intervalle beispielsweise durch $[-1,1]$ definiert} {} {.} Beide Intervallschachtelungen legen die $0$ fest. Sie sind aber nicht verfeinerungsäquivalent, da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{J_n }
{ \not\subseteq} {I_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $n$ gilt. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+2)}
{

\aufzaehlungzwei {Finde eine quadratische Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +px+q }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit $p,q \in \Z$, für die $17$ die einzige Lösung ist. } {Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +px+q }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit $p,q \in \Z$, für die $17$ eine Lösung ist. }

}
{

Für jede ganze Zahl $k$ ist generell
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x-17)(x-k) }
{ =} {x^2 -(k+17)x +17k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{-(k+17) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{17k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn man darin $x$ gleich $17$ setzt, ergibt sich $0$ wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus $\Z$ gefunden, die $17$ als Lösung besitzen. Wenn man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k }
{ =} {17 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} setzt, so erhält man die quadratische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-17)(x-17) }
{ =} { x^2-34x +289 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für diese ist nur $17$ eine Lösung.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.

}
{

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den \definitionsverweis {Grad}{}{} von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist \mathkor {} {Q=0} {und} {R=P} {} eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist nach der Vorbemerkung auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (TP) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist \zusatzklammer {da \mathlk{T \neq 0}{} und $K$ ein Körper ist} {} {} \mathkor {} {Q=P/T} {und} {R=0} {} eine Lösung. Sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P) }
{ = }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben \mathkor {} {P= a_nX^n + \cdots + a_1X+a_0} {und} {T= b_kX^k + \cdots + b_1X+b_0} {} mit
\mathl{a_n, b_k \neq 0,\, k \leq n}{.} Dann gilt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{ { \frac{ a_n }{ b_k } } X^{n-k} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P' }
{ \defeq} { P-TH }
{ =} { 0X^n + { \left( a_{n-1} - \frac{a_n}{b_k} b_{k-1} \right) } X^{n-1} + \cdots + { \left( a_{n-k} - \frac{a_n}{b_k} b_{0} \right) } X^{n-k} + a_{n-k-1}X^{n-k-1} + \cdots + a_0 }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt \mathkor {} {Q'} {und} {R'} {} mit
\mathdisp {P' = T Q' + R' \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R') < \operatorname{grad} \, (T) \text{ oder } R' = 0} { . }
Daraus ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {P'+TH }
{ =} {TQ'+TH+R' }
{ =} {T(Q'+H)+R' }
{ } {}
} {}{}{,} so dass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q'+H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{R' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Lösung ist. \teilbeweis {}{}{}
{Zur Eindeutigkeit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ TQ+R }
{ = }{ TQ'+R' }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(Q-Q') }
{ = }{ R'-R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da die Differenz
\mathl{R'-R}{} einen Grad kleiner als
\mathl{\operatorname{grad} \, (T)}{} besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{R' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} lösbar.}
{}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\{1,2,3 , \ldots , 142 \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Laplace-Dichte}{}{.} Es sei $E$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $11$ ist, und $F$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $13$ ist. Sind \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {unabhängig}{}{?}

}
{

Da $11$ und $13$ teilerfremd sind, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{143 }
{ =} {11 \cdot 13 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die kleinste positive Zahl, die sowohl ein Vielfaches von $11$ als auch von $13$ ist. Da auch die $0$ nicht zu $M$ gehört, gibt es in $M$ kein gemeinsames Vielfaches von \mathkor {} {11} {und} {13} {.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E \cap F }
{ =} { \emptyset }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und hat die Wahrscheinlichkeit $0$. Da die beiden Ereignisse positive Wahrscheinlichkeit haben, kann keine Unabhängigkeit vorliegen.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{8 (3+3+2)}
{

Es sei ein Kreis mit fünf \zusatzklammer {äquidistanten} {} {} Knoten gegeben, die mit $1,2,3,4,5$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$. \aufzaehlungdrei{Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt. }{Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt. }{Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist. }

}
{

Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man ausgehend von einem Punkt zu einem weiteren Punkt gelangt, hängen nur von der relativen Position ab. Wir betrachten daher stets $1$ als Startpunkt. Die Zahlen seien im Uhrzeigersinn angeordnet. \aufzaehlungdrei{Die einzige Möglichkeit, bei einer zweifachen Durchführung von $1$ nach $3$ zu gelangen, ist zweimal den Schritt mit dem Uhrzeigersinn zu machen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 9 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist auch die Wahrscheinlichkeit, um nach $4$ zu gelangen.

Um von $1$ nach $2$ zu kommen, kann man zuerst stehenbleiben und dann mit dem Uhrzeigersinn springen oder zuerst springen und dann stehenbleiben. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 9 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist auch die Wahrscheinlichkeit, um mit zwei Sprüngen nach $5$ zu gelangen.

Um insgesamt stehen zu bleiben, kann man entweder zweimal stehenbleiben, oder einmal mit dem Uhrzeigersinn springen und dann zurück, oder umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 9 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Wir berechnen diese Wahrscheinlichkeiten, die wir $q(j)$ nennen, unter Bezug auf die \zusatzklammer {in Teil (2) berechneten} {} {} Wahrscheinlichkeiten $p(i)$, dass man nach zwei Sprüngen an den verschiedenen Punkten $i$ ist, und den Wahrscheinlichkeiten, dass man mit dem dritten Sprung von $i$ nach $j$ kommt. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q(1) }
{ =} { p(5) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } + p(1) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } + p(0) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \left( { \frac{ 2 }{ 9 } } + { \frac{ 2 }{ 9 } } + { \frac{ 3 }{ 9 } } \right) } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 7 }{ 27 } } }
{ } { }
} {}{}{.} Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q(5) }
{ =} { q(2) }
{ =} { p(1) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } + p(2) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } + p(3) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \left( { \frac{ 3 }{ 9 } } + { \frac{ 2 }{ 9 } } + { \frac{ 1 }{ 9 } } \right) } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 6 }{ 27 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { { \frac{ 2 }{ 9 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q(4) }
{ =} { q(3) }
{ =} { p(2) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } + p(3) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } + p(4) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \left( { \frac{ 2 }{ 9 } } + { \frac{ 1 }{ 9 } } + { \frac{ 1 }{ 9 } } \right) } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 4 }{ 27 } } }
} {}{}{.} }{Unter Bezug auf das Ergebnis von Teil (2) ist die Wahrscheinlichkeit gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q(1) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } + q(2) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } + q(5) \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \left( { \frac{ 7 }{ 27 } } + { \frac{ 6 }{ 27 } } + { \frac{ 6 }{ 27 } } \right) } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 19 }{ 81 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der Addition und der Multiplikation? Betrachte dazu die verschiedenen Zahlenbereiche $\N,\Z,\Q,\R$.

}
{Addition und Multiplikation/Zahlenbereiche/Aufgabe/Lösung }