Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/21/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 1 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 10 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 4 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleneunzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}

}{Die \stichwort {Antisymmetrie} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.

}{Die \stichwort {Quotientenmenge} {} zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.

}{Eine \stichwort {Intervallschachtelung} {} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Eine \stichwort {Drehung} {} in $\R^2$.

}{Die \stichwort {Binomialverteilung} {} zu $p \in [0,1]$ und
\mathl{n \in \N_+}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Injektivitätskriterium} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}}{Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.}{Das \stichwort {Folgenkriterium} {} für die Stetigkeit einer Abbildung \maabbdisp {f} {D} {\R } {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Berechne das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & -3 & 7 \\ 8 & 3 & 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 & -2 & 3 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 6 & 1 \\ -5 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & -2 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme \zusatzklammer {ohne Begründung} {} {,} welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im $\R^2$ als Lösungsmenge eines linearen \zusatzklammer {inhomogenen} {} {} Gleichungssystems auftreten können \zusatzklammer {man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt} {} {.}


\aufzaehlungfuenf{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {AY 3 8910 obwiednia 1100.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { AY 3 8910 obwiednia 1100.svg } {} {Masur} {Commons} {gemeinfrei} {}










}{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Primka.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Primka.png } {} {Vojtech001} {Commons} {gemeinfrei} {}











}{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Point and line.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Point and line.png } {} {Περίεργος} {el. Wikipedia} {GnuFDL} {}











}{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Disk 1.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Disk 1.svg } {} {Paris 16} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}












}{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Zero-dimension.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Zero-dimension.GIF } {} {File Upload Bot (Magnus Manske)} {Commons} {Gemeinfrei} {}






}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+0.5+0.5)}
{

Wir betrachten das Spiel Schnick Schnack Schnuck mit den Objekten Schere, Stein, Papier und Brunnen als eine Gewinnrelation. \aufzaehlungdrei{Skizziere diese Gewinnrelation durch einen gerichteten Graphen \zusatzklammer {Pfeildiagramm} {} {.} }{Ist die Gewinnrelation transitiv? }{Gibt es eine dreielementige Teilmenge der Objekte derart, dass die darauf eingeschränkte Relation transitiv ist? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{

Es sei $x_n$ die \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{5}$ mit Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $y_n$ die \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{5}$ mit Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0 }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Berechne
\mathl{y_1-x_1}{.} } {Zeige, dass die Differenzfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_n }
{ \defeq} {y_n-x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0{,}\overline{142857}} { }
gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{10}
{

Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{

Welche der folgenden Abbildungen ist ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{?} \aufzaehlungvier{\maabbeledisp {} { (\R_+,1,\cdot) } {(\R_+,1,\cdot) } {x} { \sqrt{x} } {.} }{\maabbeledisp {} { (\R,0,+) } {(\R,0,+) } {x} { \sqrt{x} } {.} }{\maabbeledisp {} { (\R_{\geq 0},1,\cdot) } {(\R_{\geq 0},1,\cdot) } {x} { \sqrt{x} } {.} }{\maabbeledisp {} { (\R_+,1,\cdot) } {(\R,0,+) } {x} { \sqrt{x} } {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Berechne das Quadrat des Polynoms
\mathdisp {1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } x- { \frac{ 1 }{ 8 } } x^2} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=6X^3+X+1} {und} {T=3X^2+2X-4} {} durch.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (3+1+2)}
{

\aufzaehlungdrei{Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist. }{Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist. }{Zeige, dass durch das Polynom $X^5$ eine bijektive Abbildung \maabbeledisp {} { \Z/(7) } {\Z/(7) } {x} {x^5 } {,} gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \in }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {x^q } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Was ist eigentlich ein \anfuehrung{Winkel}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Wir betrachten den Einheitskreis über dem Körper
\mathl{\Z/(5)}{,} also die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ \subseteq} { { \left\{ (x,y) \in { \left( \Z/(5) \right) }^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \Z/(5) \right) }^2 }
{ = }{ \Z/(5) \times \Z/(5) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} werden zufällig Punkte ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewählter Punkt auf dem Einheitskreis liegt?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $(M,P)$ ein \definitionsverweis {endlicher Wahrscheinlichkeitsraum}{}{} und
\mathl{E_1 , \ldots , E_r}{} eine Familie von \definitionsverweis {vollständig unabhängigen}{}{} Ereignissen. Zeige, dass die Familie vollständig unabhängig bleibt, wenn man die leere Menge und die Gesamtmenge $M$ hinzunimmt.

}
{} {}