Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/22/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

\renewcommand{\aelf}{ 1 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 10 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 1 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 57 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {affiner Unterraum} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Die \stichwort {beschreibende Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasen} {} {.}

}{Die \stichwort {Symmetrie} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.

}{Eine \stichwort {Nullfolge} {} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Der \stichwort {Sinus} {} zu einem Winkel $\alpha$.

}{\stichwort {Paarweise unabhängige} {} Ereignisse
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,\mu)$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.}{Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.}{Der \stichwort {Satz von Vieta} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x & + y & + z & \, \, \, \, - w & = & 3 \\ -2 x & +5 y & -3 z & + w & = & 0 \\ x & \, \, \, \, - y & +2 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 5 x & +2 y & \, \, \, \, - z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Erläutere, warum das Achsenkreuz im $\R^2$ kein Untervektorraum ist

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise das \stichwort {Injektivitätskriterium} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern. \aufzaehlungdrei{Das $2 \times 2$-Brett. }{Das $3 \times 3$-Brett. }{Das $4 \times 4$-Brett. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Erstelle eien Wertetabelle für die Abbildung \maabbeledisp {} { \Z/(10) } { \Z/(10) } {x} {x^3 } {.} Ist die Abbildung bijektiv?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{8} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { { \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid \text{ Cauchy-Folge in } \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und $N$ das Ideal der Nullfolgen in $D$. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus \maabbdisp {\psi} {D} { \R } {} gibt. }{Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {D/N} { \R } {} gibt. }{Zeige, dass die Gesamtabbildung
\mathdisp {\R \longrightarrow D \stackrel{\psi}{ \longrightarrow } \R} { }
bijektiv ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Welche \definitionsverweis {Dezimalbruchfolgen}{}{} der Form
\mathl{0,z_{-1} z_{-2}z_{-3} \ldots}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_i }
{ \in }{ \{0 , \ldots , 9\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind \definitionsverweis {Nullfolgen}{}{} in $\R$? Welche in $\Q$?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Setze in das Polynom
\mathl{-5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5}}{} die Zahl $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ein.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{10 (1+1+1+3+2+2)}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {f} {\R_{\geq 1} } { \R_{\geq 1} } {,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ 2 }{ x } }\, , \text{ falls } x \leq 2 \, , \\ { \frac{ x }{ 2 } } \, , \text{ falls } x > 2 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert ist. \aufzaehlungsechs{Skizziere den Graphen der Funktion. }{Zeige, dass $f$ wohldefiniert ist. }{Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} von $f$. }{Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} von der Hintereinanderschaltung $f \circ f$. }{Zeige, dass $f$ stetig ist. }{Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{

Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{

Aus der Menge
\mathl{\{0,1,2,3,4,5\} \times \{0,1,2,3,4,5 \}}{} werden zufällig zwei Punkte ausgewählt und dann wird die durch diese beiden Punkte definierte Gerade bestimmt. \aufzaehlungzwei {Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Diagonale herauskommt? } {Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine zur Diagonalen parallele Gerade herauskommt? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Professor Knopfloch und Professor Zahnrad spielen gegeneinander Schach, wobei sie abwechselnd mit weiss oder mit schwarz spielen. Wenn Professor Knopfloch mit weiss spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 4 } }}{,} wenn er mit schwarz spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 3 } }}{,} andernfalls gewinnt Professor Zahnrad. Heute hat Professor Zahnrad gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Professor Knopfloch heute mit weiss gespielt?

}
{} {}