Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/22/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 10 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 0 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 60 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein
\stichwort {affiner Unterraum} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {beschreibende Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasen} {} {.}
}{Die \stichwort {Symmetrie} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.
}{Eine \stichwort {Nullfolge} {} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Sinus} {} zu einem Winkel $\alpha$.
}{\stichwort {Paarweise unabhängige} {}
Ereignisse
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,\mu)$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.}{Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.}{Der \stichwort {Satz von Vieta} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+ y &
+ z &
\, \, \, \, - w & = & 3 \\ -2 x &
+5 y &
-3 z &
+ w & = & 0 \\ x &
\, \, \, \, - y &
+2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 5 x &
+2 y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Erläutere, warum das Achsenkreuz im $\R^2$ kein Untervektorraum ist
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das \stichwort {Injektivitätskriterium} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern. \aufzaehlungdrei{Das $2 \times 2$-Brett. }{Das $3 \times 3$-Brett. }{Das $4 \times 4$-Brett. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Erstelle eine Wertetabelle für die Abbildung \maabbeledisp {} { \Z/(10) } { \Z/(10) } {x} {x^3 } {.} Ist die Abbildung bijektiv?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{8} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { { \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid \text{ Cauchy-Folge in } \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $N$ das Ideal der Nullfolgen in $D$.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\psi} {D} { \R
} {}
gibt.
}{Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {D/N} { \R
} {}
gibt.
}{Zeige, dass die Gesamtabbildung
\mathdisp {\R \longrightarrow D \stackrel{\psi}{ \longrightarrow } \R} { }
bijektiv ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten das Dezimalsystem, das
\zusatzklammer {beispielsweise in der Schule} {} {}
schrittweise aufgebaut wird. Zuerst sind endliche Ziffernfolgen der Form
\mathdisp {6108} { }
erlaubt, die eine natürliche Zahl repräsentieren. Dann erweitert man zu Ziffernfolgen der Form
\mathdisp {6108,3956} { }
\zusatzklammer {die gewisse rationale Zahlen repräsentieren} {} {.}
Warum sind im weiteren Aufbau des Dezimalsystems Ziffernfolgen der Bauart
\mathdisp {6108,3956236582952309045 ...} { }
mit \anfuehrung{unendlich vielen}{} Ziffern hinter dem Komma erlaubt, aber keine Ziffernfolgen der Bauart
\mathdisp {... 23775800449523096108,3956} { }
mit \anfuehrung{unendlich vielen}{} Ziffern vor dem Komma? Kann man die zuletzt genannten Ziffernfolgen sinnvoll interpretieren? Kann man sie sinnvoll als \anfuehrung{Zahlen}{} interpretieren?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Setze in das Polynom
\mathl{-5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5}}{} die Zahl $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ein.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10 (1+1+1+3+2+2)}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {f} {\R_{\geq 1} } { \R_{\geq 1}
} {,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ 2 }{ x } }\, , \text{ falls } x \leq 2 \, , \\ { \frac{ x }{ 2 } } \, , \text{ falls } x > 2 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
\aufzaehlungsechs{Skizziere den Graphen der Funktion.
}{Zeige, dass $f$ wohldefiniert ist.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
von $f$.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
der Hintereinanderschaltung $f \circ f$.
}{Zeige, dass $f$ stetig ist.
}{Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Aus der Menge
\mathl{\{0,1,2,3,4,5\} \times \{0,1,2,3,4,5 \}}{} werden zufällig zwei Punkte ausgewählt und dann wird die durch diese beiden Punkte definierte Gerade bestimmt.
\aufzaehlungzwei {Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Diagonale herauskommt?
} {Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine zur Diagonalen parallele Gerade herauskommt?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Professor Knopfloch und Professor Zahnrad spielen gegeneinander Schach, wobei sie abwechselnd mit weiß oder mit schwarz spielen. Wenn Professor Knopfloch mit weiß spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 4 } }}{,} wenn er mit schwarz spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 3 } }}{,} andernfalls gewinnt Professor Zahnrad. Heute hat Professor Zahnrad gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Professor Knopfloch heute mit weiß gespielt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}