Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/22/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

\renewcommand{\aelf}{ 1 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 10 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 1 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 57 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {affiner Unterraum} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Die \stichwort {beschreibende Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasen} {} {.}

}{Die \stichwort {Symmetrie} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.

}{Eine \stichwort {Nullfolge} {} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Der \stichwort {Sinus} {} zu einem Winkel $\alpha$.

}{\stichwort {Paarweise unabhängige} {} Ereignisse
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,\mu)$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt affiner Unterraum, wenn $S$ leer ist oder es einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einen Punkt
\mathl{P \in K^n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} {P+U }
{ =} { { \left\{ P+ v \mid v \in U \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. }{Die $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { (a_{ij})_{ij} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te \definitionsverweis {Koordinate}{}{} von
\mathl{\varphi(e_j )}{} bezüglich der Standardbasis $e_i$ des $K^m$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$. }{Die Relation $R$ heißt symmetrisch, wenn aus
\mathl{xRy}{} stets
\mathl{yRx}{} folgt. }{Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt Nullfolge, wenn sie gegen $0$ konvergiert. }{Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter
\mathl{\sin \alpha}{} die zweite Koordinate des \definitionsverweis {trigonometrischen Punktes}{}{} $P(\alpha)$. }{Die Ereignisse
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E_1 , \ldots , E_k }
{ \subseteq} { M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißen paarweise unabhängig, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu (E_i \cap E_j) }
{ =} { \mu(E_i) \cdot \mu(E_j) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ \neq }{j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.}{Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.}{Der \stichwort {Satz von Vieta} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by }
{ =} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine lineare Gleichung in zwei Variablen über $K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist die Lösungsmenge eine \definitionsverweis {Gerade}{}{} in $K^2$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} b \\-a \end{pmatrix}}{} nehmen.}{Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper \mathkor {} {\R_1} {und} {\R_2} {} vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {\R_1} { \R_2 } {.}}{Es sei eine quadratische Gleichung in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+px+q }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben und es seien \mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {} die Lösungen. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 +x_2 }
{ =} {- p }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 \cdot x_2 }
{ =} {q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x & + y & + z & \, \, \, \, - w & = & 3 \\ -2 x & +5 y & -3 z & + w & = & 0 \\ x & \, \, \, \, - y & +2 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 5 x & +2 y & \, \, \, \, - z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, . \end{matrix}} { }

}
{

Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die erste Gleichung mit der zweiten addieren. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix} - x & +6 y & -2 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \\ x & \, \, \, \, - y & +2 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 5 x & +2 y & \, \, \, \, - z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, . \end{matrix}} { }
Nun addieren wir die erste Gleichung mit der zweiten Gleichung und es ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 y }
{ =} {45 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 11 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { { \frac{ 8 }{ 11 } } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w }
{ =} { - { \frac{ 29 }{ 11 } } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Erläutere, warum das Achsenkreuz im $\R^2$ kein Untervektorraum ist

}
{

Offensichtlich gehören die Vektoren
\mathl{e_1,e_2}{} zum Achsenkreuz, die Summe dieser beiden Vektoren jedoch nicht. Folglich ist das Achsenkreuz kein Untervektorraum

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise das \stichwort {Injektivitätskriterium} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mathl{0 \in K^n}{} keinen anderen Vektor
\mathl{v \in V}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und seien
\mathl{v_1,v_2 \in V}{} gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1) }
{ = }{ \varphi(v_2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2) }
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mathl{v_1-v_2 \in \operatorname{kern} \varphi}{} und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1 }
{ = }{v_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern. \aufzaehlungdrei{Das $2 \times 2$-Brett. }{Das $3 \times 3$-Brett. }{Das $4 \times 4$-Brett. }

}
{

\aufzaehlungdrei{Jeder Pferdsprung würde das $2 \times 2$-Brett verlassen, daher sind die vier einzelnen Felder die Äquivalenzklassen. }{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Problem skoczka szachowego 3x3.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Problem skoczka szachowego 3x3.jpg } {} {Matmis} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Vom zentralen Feld aus würde jeder Pferdsprung das $3 \times 3$-Brett verlassen, dieses bildet somit für sich eine Äquivalenzklasse. Die acht übrigen Felder sind mittels Pferdsprüngen untereinander verbindbar, wie die Skizze zeigt. }{Die in der folgenden Matrix angegebene Zugreihenfolge
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 6 & 15 & 10 \\ 12 & 9 & 2 & 5 \\ 7 & 4 & 11 & 14 \\ & 13 & 8 & 3 \end{pmatrix}} { }
zeigt, dass alle Felder bis auf das links unten miteinander durch Pferdsprünge verbunden sind. Letzteres ist mit dem mit $9$ markierten Feld durch einen Pferdsprung verbunden. Also sind alle Felder zueinander äquivalent und es gibt nur eine Äquivalenzklasse. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Erstelle eien Wertetabelle für die Abbildung \maabbeledisp {} { \Z/(10) } { \Z/(10) } {x} {x^3 } {.} Ist die Abbildung bijektiv?

}
{

\wertetabellezehnausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {0} {1} {2} {3} {4} }
{\mazeileundfuenf {5} {6} {7} {8} {9} }
{ $x^3$ }
{\mazeileundfuenf {0} {1} {8} {7} {4} }
{\mazeileundfuenf {5} {6} {3} {2} {9} } Daraus ist unmittelbar ersichtlich, dass die Abbildung bijektiv ist.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{8} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }

}
{

Wir fragen uns, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{8} }
{ <} { \sqrt{5} + \sqrt{6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3+8 + 2 \sqrt{24} }
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{8} \right) }^2 }
{ <} { { \left( \sqrt{5} + \sqrt{6} \right) }^2 }
{ =} { 5+6 + 2 \sqrt{30} }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist durch Subtraktion mit $11$ äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \sqrt{24} }
{ <} { 2 \sqrt{30} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} was stimmt wegen der Monotonie der Wurzel. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{8} }
{ <} { \sqrt{ 5} + \sqrt{6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.

}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit dem Limes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Dann ist insbesondere
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq \betrag { x } + \betrag { x-x_n } \leq \betrag { x } +\epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Unterhalb von $n_0$ gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B }
{ \defeq} { \max_{n <n_0}\{ \betrag { x_n } ,\, \betrag { x } + \epsilon \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $- B$ eine untere Schranke für
\mathl{{ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+2+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { { \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid \text{ Cauchy-Folge in } \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und $N$ das Ideal der Nullfolgen in $D$. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus \maabbdisp {\psi} {D} { \R } {} gibt. }{Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {D/N} { \R } {} gibt. }{Zeige, dass die Gesamtabbildung
\mathdisp {\R \longrightarrow D \stackrel{\psi}{ \longrightarrow } \R} { }
bijektiv ist. }

}
{

\aufzaehlungdrei{Wir betrachten die Abbildung $\psi$ , die jeder reellen Cauchyfolge ihren Limes zuordnet. Da in $\R$ jede Cauchyfolge \zusatzklammer {und zwar eindeutig} {} {} konvergiert, ist dies wohldefiniert. Die konstante Folge konvergiert gegen den Wert der Glieder, daher ist die Abbildung surjektiv. Dass ein Ringhomomorphismus vorliegt beruht auf den Rechenregeln für Grenzwerte \zusatzklammer {siehe Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (1,2)} {} {.} }{Für Folgen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( y_n \right) }_{n \in \N } }
{ \in }{N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist der Grenzwert der Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } + { \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gleich dem Grenzwert von ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$. Das bedeutet, dass die Abbildung $\psi$ aus Teil (1) eine wohldefinierte Abbildung $\varphi$ auf der Quotientenmenge
\mathl{D/N}{} nach $\R$ definiert. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi([x] +[y]) }
{ =} { \varphi([x+y]) }
{ =} { \psi (x+y) }
{ =} { \psi(x) + \psi(y) }
{ =} { \varphi([x]) + \varphi([y]) }
} {}{}{} \zusatzklammer {und ebenso für die Multiplikation} {} {} liegt ein Ringhomomorphismus vor, der wie $\psi$ auch surjektiv ist. }{Die vordere Abbildung bildet eine reelle Zahl auf die entsprechende konstante Folge ab, und diese konvergiert gegen diese Zahl. Von daher ist die Bijektivität klar. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Welche \definitionsverweis {Dezimalbruchfolgen}{}{} der Form
\mathl{0,z_{-1} z_{-2}z_{-3} \ldots}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_i }
{ \in }{ \{0 , \ldots , 9\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind \definitionsverweis {Nullfolgen}{}{} in $\R$? Welche in $\Q$?

}
{

Es handelt sich \zusatzklammer {sowohl bei $\Q$ als auch bei $\R$} {} {} nur dann um eine Nullfolge, wenn alle Folgenglieder \zusatzklammer {und damit alle Ziffern} {} {} gleich $0$ sind, da in jedem anderen Fall alle Folgenglieder ab einem $n_0$ größergleich einer positiven Zahl sind.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

}
{

Für jedes $x$ und jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-1) { \left(\sum_{ k = 0}^n x^k\right) } }
{ =} { x^{n+1} -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher gilt für die \definitionsverweis {Partialsummen}{}{} die Beziehung \zusatzklammer {bei $x \neq 1$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_n }
{ =} { \sum_{ k = 0}^n x^k }
{ =} { \frac{ x^{n+1} -1}{ x-1 } }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{} dies wegen Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) und Aufgabe 28.30 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{-1}{x-1} }
{ = }{ \frac{1}{1-x} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Setze in das Polynom
\mathl{-5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5}}{} die Zahl $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ein.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( -5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5} \right) } { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) } }
{ =} { -5 { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) }^3 - { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) }^2 + \sqrt{2} { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) } + \sqrt{5} }
{ =} { -5 { \left( \sqrt{2}^3 +3 \sqrt{2}^2\sqrt{3}+3 \sqrt{2}\sqrt{3}^2 + \sqrt{3}^3 \right) } - { \left(\sqrt{2}^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{3}^2 \right) } + \sqrt{2} { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) } + \sqrt{5} }
{ =} {-5 { \left( 2 \sqrt{2} +6 \sqrt{3}+9 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} \right) } - { \left(2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3}+3 \right) } + 2+ \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{5} }
{ =} {-5 { \left( 11 \sqrt{2} +9 \sqrt{3} \right) } - 3 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{5} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-55 \sqrt{2} -45 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3} - 3 + \sqrt{5} }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{weiter}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {f} {\R_{\geq 1} } { \R_{\geq 1} } {,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ 2 }{ x } }\, , \text{ falls } x \leq 2 \, , \\ { \frac{ x }{ 2 } } \, , \text{ falls } x > 2 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert ist. \aufzaehlungsechs{Skizziere den Graphen der Funktion. }{Zeige, dass $f$ wohldefiniert ist. }{Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} von $f$. }{Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} von der Hintereinanderschaltung $f \circ f$. }{Zeige, dass $f$ stetig ist. }{Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun? }

}
{

\aufzaehlungsechs{
\mathl{\,}{} }{Es ist lediglich zu zeigen, dass die Werte der Funktion wieder $\geq 1$ sind. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq} {x }
{ \leq} {2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ x } } }
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ 2 }{ x } } }
{ \geq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { 2 }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} ist ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ x }{ 2 } } }
{ \geq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \leq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} lautet die Bedingung für einen Fixpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ x } } }
{ = }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was in diesem Abschnitt zur einzigen Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{ \sqrt{2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} führt. Im anderen Bereich gibt es keine Lösung. }{Für $x$ zwischen \mathkor {} {1} {und} {\sqrt{2}} {} ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ 2 }{ x } } }
{ \leq} {2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit ist in diesem Bereich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(f(x)) }
{ =} { { \frac{ 2 }{ { \frac{ 2 }{ x } } } } }
{ =} { x }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} diese Zahlen sind somit allesamt Fixpunkte der Hintereinanderschaltung. Bei $x$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 }
{ <} {x }
{ \geq} {4 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ x }{ 2 } } }
{ \geq} {2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(f(x)) }
{ =} { f { \left( { \frac{ x }{ 2 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 2 }{ { \frac{ x }{ 2 } } } } }
{ =} { { \frac{ 4 }{ x } } }
{ <} { 2 }
} {}{}{,} in diesem Bereich besitzt die Hintereinanderschaltung also keinen Fixpunkt. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ >} {4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(f(x)) }
{ =} { { \frac{ x }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es gibt keinen Fixpunkt. }{Auf den beiden Abschnitten handelt es sich um rationale Funktionen, die stetig sind, und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} haben beide Ausdrücke den Wert $1$. }{Zu einem Blatt Papier sei das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren \zusatzklammer {eventuell gleichlangen} {} {} Seite mit $x$ bezeichnet. Es liegt also das Verhältnis $x$ zu $1$ vor. Wenn das Blatt an der langen Seite halbiert wird, so sid die neuen Seitenlängen \mathkor {} {{ \frac{ x }{ 2 } }} {und} {1} {.} Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ 2 } } }
{ \geq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, was genau bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { 2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der Fall ist, so ist das Verhältnis lange Seite zu kurzer Seite des halbierten Blattes gleich
\mathl{{ \frac{ x }{ 2 } }}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{

}
{/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.

}
{Reelle Sinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+2)}
{

Aus der Menge
\mathl{\{0,1,2,3,4,5\} \times \{0,1,2,3,4,5 \}}{} werden zufällig zwei Punkte ausgewählt und dann wird die durch diese beiden Punkte definierte Gerade bestimmt. \aufzaehlungzwei {Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Diagonale herauskommt? } {Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine zur Diagonalen parallele Gerade herauskommt? }

}
{

\aufzaehlungzwei {In
\mathl{\{0,1,2,3,4,5\} \times \{0,1,2,3,4,5 \}}{} gibt es $36$ Punkte, damit gibt es
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \binom { 36 } { 2} }
{ = }{ { \frac{ 36 \cdot 35 }{ 2 } } }
{ = }{ 18 \cdot 35 }
{ = }{ 630 }
{ }{ }
} {}{}{} mögliche Auswahlen für ein Punktepaar. Auf der Diagonalen liegen $6$ Punkte, daher gibt es auf der Diagonalen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \binom { 6 } { 2} }
{ = }{ { \frac{ 6 \cdot 5 }{ 2 } } }
{ = }{15 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punktepaare. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass durch die Auswahl die Diagonale bestimmt wird, gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 15 }{ 630 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 42 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Auf den Geraden, die parallel zur Diagonalen sind, gibt es, mit zunehmendem Absand von der Diagonalen selbst, der Reihe nach $5,4,3,2,1$ Punkte, und zwar in beide Richtungen. Deshalb führen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 6 } { 2} + 2 \binom { 5 } { 2}+ 2 \binom { 4 } { 2}+ 2 \binom { 3 } { 2}+ 2 \binom { 2 } { 2} }
{ =} { 15 + 2 \cdot 10 + 2 \cdot 6 +2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 }
{ =} { 55 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Punktepaare zu einer Geraden, die parallel zur Diagonalen ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 55 }{ 630 } } }
{ =} { { \frac{ 11 }{ 126 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Professor Knopfloch und Professor Zahnrad spielen gegeneinander Schach, wobei sie abwechselnd mit weiss oder mit schwarz spielen. Wenn Professor Knopfloch mit weiss spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 4 } }}{,} wenn er mit schwarz spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 3 } }}{,} andernfalls gewinnt Professor Zahnrad. Heute hat Professor Zahnrad gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Professor Knopfloch heute mit weiss gespielt?

}
{

Es sei $W$ das Ereignis, dass Professor Knopfloch mit weiss spielt, und $G$ das Ereignis, dass Professor Zahnrad gewinnt. Da sie abwechselnd mit weiss spielen, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(W) }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(G {{|}} W) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(G {{|}} \neg W) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach der Bayschen Formel ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(W {{|}} G) }
{ =} { { \frac{ P(G {{|}} W) P(W) }{ P(G {{|}} W) P(W) + P(G {{|}} \neg W) P( \neg W) } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 1 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ { \frac{ 1 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } } } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 1 }{ 4 } } }{ { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } } } }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 7 } } }
} {} {}{.} Die Wahrscheinlichkeit, dass Professor Knopfloch heute mit weiss gespielt hat, ist demnach ${ \frac{ 3 }{ 7 } }$.

}