Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/22/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 10 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 0 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 60 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein
\stichwort {affiner Unterraum} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {beschreibende Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n } { K^m } {} \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasen} {} {.}
}{Die \stichwort {Symmetrie} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.
}{Eine \stichwort {Nullfolge} {} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Sinus} {} zu einem Winkel $\alpha$.
}{\stichwort {Paarweise unabhängige} {}
Ereignisse
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,\mu)$.
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt affiner Unterraum, wenn $S$ leer ist oder es einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen Punkt
\mathl{P \in K^n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { P+U
}
{ =} { { \left\{ P+ v \mid v \in U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Die
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te
\definitionsverweis {Koordinate}{}{}
von
\mathl{\varphi(e_j )}{} bezüglich der Standardbasis $e_i$ des $K^m$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$.
}{Die Relation $R$ heißt symmetrisch, wenn aus
\mathl{xRy}{} stets
\mathl{yRx}{} folgt.
}{Eine Folge
\mathl{{ \left( x _n \right) }_{n \in \N }}{} heißt Nullfolge, wenn sie gegen $0$ konvergiert.
}{Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter
\mathl{\sin \alpha}{} die zweite Koordinate des
\definitionsverweis {trigonometrischen Punktes}{}{}
$P(\alpha)$.
}{Die Ereignisse
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E_1 , \ldots , E_k
}
{ \subseteq} { M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißen
paarweise unabhängig,
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu (E_i \cap E_j)
}
{ =} { \mu(E_i) \cdot \mu(E_j)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.}{Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.}{Der \stichwort {Satz von Vieta} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax+by
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare Gleichung in zwei Variablen über $K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist die Lösungsmenge eine
\definitionsverweis {Gerade}{}{}
in $K^2$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} b \\-a \end{pmatrix}}{} nehmen.}{Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper
\mathkor {} {\R_1} {und} {\R_2} {}
vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {\R_1 } { \R_2
} {.}}{Es sei eine quadratische Gleichung in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+px+q
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben und es seien
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {}
die Lösungen. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_1 +x_2
}
{ =} {- p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_1 \cdot x_2
}
{ =} { q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+ y &
+ z &
\, \, \, \, - w & = & 3 \\ -2 x &
+5 y &
-3 z &
+ w & = & 0 \\ x &
\, \, \, \, - y &
+2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 5 x &
+2 y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, . \end{matrix}} { }
}
{
Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die erste Gleichung mit der zweiten addieren. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
- x &
+6 y &
-2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \\
x &
\, \, \, \, - y &
+2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\
5 x &
+2 y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, .
\end{matrix}} { }
Nun addieren wir die erste Gleichung mit der zweiten Gleichung und es ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 y
}
{ =} { 5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { - { \frac{ 3 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { { \frac{ 18 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { - { \frac{ 7 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Erläutere, warum das Achsenkreuz im $\R^2$ kein Untervektorraum ist.
}
{
Offensichtlich gehören die Vektoren
\mathl{e_1,e_2}{} zum Achsenkreuz, die Summe dieser beiden Vektoren jedoch nicht. Folglich ist das Achsenkreuz kein Untervektorraum
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise das \stichwort {Injektivitätskriterium} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n } { K^m } {.}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen anderen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2)
}
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1-v_2
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{ v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+1+1)}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern. \aufzaehlungdrei{Das $2 \times 2$-Brett. }{Das $3 \times 3$-Brett. }{Das $4 \times 4$-Brett. }
}
{
\aufzaehlungdrei{Jeder Pferdsprung würde das $2 \times 2$-Brett verlassen, daher sind die vier einzelnen Felder die Äquivalenzklassen.
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungjpg {Problem skoczka szachowego 3x3} {jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Problem skoczka szachowego 3x3.jpg } {} {Matmis} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Vom zentralen Feld aus würde jeder Pferdsprung das $3 \times 3$-Brett verlassen, dieses bildet somit für sich eine Äquivalenzklasse. Die acht übrigen Felder sind mittels Pferdsprüngen untereinander verbindbar, wie die Skizze zeigt.
}{Die in der folgenden Matrix angegebene Zugreihenfolge
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 6 & 15 & 10 \\ 12 & 9 & 2 & 5 \\ 7 & 4 & 11 & 14 \\ & 13 & 8 & 3 \end{pmatrix}} { }
zeigt, dass alle Felder bis auf das links unten miteinander durch Pferdsprünge verbunden sind. Letzteres ist mit dem mit $9$ markierten Feld durch einen Pferdsprung verbunden. Also sind alle Felder zueinander äquivalent und es gibt nur eine Äquivalenzklasse.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Erstelle eine Wertetabelle für die Abbildung \maabbeledisp {} { \Z/(10) } { \Z/(10) } { x } {x^3 } {.} Ist die Abbildung bijektiv?
}
{
\wertetabellezehnausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {0} {1} {2} {3} {4} }
{\mazeileundfuenf {5} {6} {7} {8} {9} }
{ $x^3$ }
{\mazeileundfuenf {0} {1} {8} {7} {4} }
{\mazeileundfuenf {5} {6} {3} {2} {9} }
Daraus ist unmittelbar ersichtlich, dass die Abbildung bijektiv ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{8} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }
}
{
Wir fragen uns, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{8}
}
{ <} { \sqrt{5} + \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3+8 + 2 \sqrt{24}
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{8} \right) }^2
}
{ <} { { \left( \sqrt{5} + \sqrt{6} \right) }^2
}
{ =} { 5+6 + 2 \sqrt{30}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist durch Subtraktion mit $11$ äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \sqrt{24}
}
{ <} { 2 \sqrt{30}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
was stimmt wegen der Monotonie der Wurzel. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{8}
}
{ <} { \sqrt{ 5} + \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist.
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit dem Limes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Dann ist insbesondere
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq \betrag { x } + \betrag { x-x_n } \leq \betrag { x } +\epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Unterhalb von $n_0$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq} { \max_{n <n_0 }\{ \betrag { x_n } ,\, \betrag { x } + \epsilon \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $- B$ eine untere Schranke für
\mathl{{ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (2+2+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { { \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid \text{ Cauchy-Folge in } \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $N$ das Ideal der Nullfolgen in $D$.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\psi} { D } { \R
} {}
gibt.
}{Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {D/N} { \R
} {}
gibt.
}{Zeige, dass die Gesamtabbildung
\mathdisp {\R \longrightarrow D \stackrel{\psi}{ \longrightarrow } \R} { }
bijektiv ist.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Wir betrachten die Abbildung $\psi$ , die jeder reellen Cauchyfolge ihren Limes zuordnet. Da in $\R$ jede Cauchyfolge
\zusatzklammer {und zwar eindeutig} {} {}
konvergiert, ist dies wohldefiniert. Die konstante Folge konvergiert gegen den Wert der Glieder, daher ist die Abbildung surjektiv. Dass ein Ringhomomorphismus vorliegt beruht auf den Rechenregeln für Grenzwerte
\zusatzklammer {siehe
Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) (1,2)} {} {.}
}{Für Folgen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x _n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( y _n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Grenzwert der Folge
\mathl{{ \left( x _n \right) }_{n \in \N } + { \left( y _n \right) }_{n \in \N }}{} gleich dem Grenzwert von ${ \left( x _n \right) }_{n \in \N }$. Das bedeutet, dass die Abbildung $\psi$ aus Teil (1) eine wohldefinierte Abbildung $\varphi$ auf der Quotientenmenge
\mathl{D/N}{} nach $\R$ definiert. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi([x] +[y])
}
{ =} { \varphi([x+y])
}
{ =} { \psi (x+y)
}
{ =} { \psi(x) + \psi(y)
}
{ =} { \varphi([x]) + \varphi([y])
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {und ebenso für die Multiplikation} {} {}
liegt ein Ringhomomorphismus vor, der wie $\psi$ auch surjektiv ist.
}{Die vordere Abbildung bildet eine reelle Zahl auf die entsprechende konstante Folge ab, und diese konvergiert gegen diese Zahl. Von daher ist die Bijektivität klar.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Wir betrachten das Dezimalsystem, das
\zusatzklammer {beispielsweise in der Schule} {} {}
schrittweise aufgebaut wird. Zuerst sind endliche Ziffernfolgen der Form
\mathdisp {6108} { }
erlaubt, die eine natürliche Zahl repräsentieren. Dann erweitert man zu Ziffernfolgen der Form
\mathdisp {6108,3956} { }
\zusatzklammer {die gewisse rationale Zahlen repräsentieren} {} {.}
Warum sind im weiteren Aufbau des Dezimalsystems Ziffernfolgen der Bauart
\mathdisp {6108,3956236582952309045 ...} { }
mit \anfuehrung{unendlich vielen}{} Ziffern hinter dem Komma erlaubt, aber keine Ziffernfolgen der Bauart
\mathdisp {... 23775800449523096108,3956} { }
mit \anfuehrung{unendlich vielen}{} Ziffern vor dem Komma? Kann man die zuletzt genannten Ziffernfolgen sinnvoll interpretieren? Kann man sie sinnvoll als \anfuehrung{Zahlen}{} interpretieren?
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
}
{
Für jedes $x$ und jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-1) { \left( \sum_{ k = 0}^n x^k \right) }
}
{ =} { x^{n+1} -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher gilt für die
\definitionsverweis {Partialsummen}{}{}
die Beziehung
\zusatzklammer {bei $x \neq 1$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_n
}
{ =} { \sum_{ k = 0}^n x^k
}
{ =} { \frac{ x^{n+1} -1}{ x-1 }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
dies wegen
Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
und
Aufgabe 28.31 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{-1}{x-1}
}
{ = }{ \frac{1}{1-x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Setze in das Polynom
\mathl{-5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5}}{} die Zahl $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ein.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( -5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5} \right) } { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) }
}
{ =} { -5 { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) }^3 - { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) }^2 + \sqrt{2} { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) } + \sqrt{5}
}
{ =} { -5 { \left( \sqrt{2}^3 +3 \sqrt{2}^2\sqrt{3}+3 \sqrt{2}\sqrt{3}^2 + \sqrt{3}^3 \right) } - { \left( \sqrt{2}^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{3}^2 \right) } + \sqrt{2} { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) } + \sqrt{5}
}
{ =} {-5 { \left( 2 \sqrt{2} +6 \sqrt{3}+9 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} \right) } - { \left( 2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3}+3 \right) } + 2+ \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{5}
}
{ =} {-5 { \left( 11 \sqrt{2} +9 \sqrt{3} \right) } - 3 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{5}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-55 \sqrt{2} -45 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3} - 3 + \sqrt{5}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{weiter}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {f} {\R_{\geq 1} } { \R_{\geq 1}
} {,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ 2 }{ x } }\, , \text{ falls } x \leq 2 \, , \\ { \frac{ x }{ 2 } } \, , \text{ falls } x > 2 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
\aufzaehlungsechs{Skizziere den Graphen der Funktion.
}{Zeige, dass $f$ wohldefiniert ist.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
von $f$.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
der Hintereinanderschaltung $f \circ f$.
}{Zeige, dass $f$ stetig ist.
}{Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?
}
}
{
\aufzaehlungsechs{
\mathl{\,}{}
}{Es ist lediglich zu zeigen, dass die Werte der Funktion wieder $\geq 1$ sind. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq} { x
}
{ \leq} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ x } }
}
{ \geq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
ist ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x }{ 2 } }
}
{ \geq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lautet die Bedingung für einen Fixpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ x } }
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was in diesem Abschnitt zur einzigen Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \sqrt{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
führt. Im anderen Bereich gibt es keine Lösung.
}{Für $x$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {2} {}
ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ x } }
}
{ \leq} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist in diesem Bereich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(f(x))
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ { \frac{ 2 }{ x } } } }
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
diese Zahlen sind somit allesamt Fixpunkte der Hintereinanderschaltung. Bei $x$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2
}
{ <} { x
}
{ \leq} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x }{ 2 } }
}
{ \geq} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(f(x))
}
{ =} { f { \left( { \frac{ x }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ { \frac{ x }{ 2 } } } }
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ x } }
}
{ <} { 2
}
}
{}{}{,}
in diesem Bereich besitzt die Hintereinanderschaltung also keinen Fixpunkt. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ >} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(f(x))
}
{ =} { { \frac{ x }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es gibt keinen Fixpunkt.
}{Auf den beiden Abschnitten handelt es sich um rationale Funktionen, die stetig sind, und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
haben beide Ausdrücke den Wert $1$.
}{Zu einem Blatt Papier sei das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren
\zusatzklammer {eventuell gleichlangen} {} {}
Seite mit $x$ bezeichnet. Es liegt also das Verhältnis $x$ zu $1$ vor. Wenn das Blatt an der langen Seite halbiert wird, so sid die neuen Seitenlängen
\mathkor {} {{ \frac{ x }{ 2 } }} {und} {1} {.}
Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ 2 } }
}
{ \geq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, was genau bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Fall ist, so ist das Verhältnis lange Seite zu kurzer Seite des halbierten Blattes gleich
\mathl{{ \frac{ x }{ 2 } }}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Aus der Menge
\mathl{\{0,1,2,3,4,5\} \times \{0,1,2,3,4,5 \}}{} werden zufällig zwei Punkte ausgewählt und dann wird die durch diese beiden Punkte definierte Gerade bestimmt.
\aufzaehlungzwei {Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Diagonale herauskommt?
} {Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine zur Diagonalen parallele Gerade herauskommt?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {In
\mathl{\{0,1,2,3,4,5\} \times \{0,1,2,3,4,5 \}}{} gibt es $36$ Punkte, damit gibt es
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \binom { 36 } { 2 }
}
{ = }{ { \frac{ 36 \cdot 35 }{ 2 } }
}
{ = }{ 18 \cdot 35
}
{ = }{ 630
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mögliche Auswahlen für ein Punktepaar. Auf der Diagonalen liegen $6$ Punkte, daher gibt es auf der Diagonalen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \binom { 6 } { 2 }
}
{ = }{ { \frac{ 6 \cdot 5 }{ 2 } }
}
{ = }{ 15
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punktepaare. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass durch die Auswahl die Diagonale bestimmt wird, gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 15 }{ 630 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 42 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Auf den Geraden, die parallel zur Diagonalen sind, gibt es, mit zunehmendem Absand von der Diagonalen selbst, der Reihe nach $5,4,3,2,1$ Punkte, und zwar in beide Richtungen. Deshalb führen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 6 } { 2 } + 2 \binom { 5 } { 2 }+ 2 \binom { 4 } { 2 }+ 2 \binom { 3 } { 2 }+ 2 \binom { 2 } { 2 }
}
{ =} { 15 + 2 \cdot 10 + 2 \cdot 6 +2 \cdot 3 + 2 \cdot 1
}
{ =} { 55
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Punktepaare zu einer Geraden, die parallel zur Diagonalen ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 55 }{ 630 } }
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 126 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Professor Knopfloch und Professor Zahnrad spielen gegeneinander Schach, wobei sie abwechselnd mit weiß oder mit schwarz spielen. Wenn Professor Knopfloch mit weiß spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 4 } }}{,} wenn er mit schwarz spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 3 } }}{,} andernfalls gewinnt Professor Zahnrad. Heute hat Professor Zahnrad gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Professor Knopfloch heute mit weiß gespielt?
}
{
Es sei $W$ das Ereignis, dass Professor Knopfloch mit weiss spielt, und $G$ das Ereignis, dass Professor Zahnrad gewinnt. Da sie abwechselnd mit weiss spielen, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(W)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(G {{|}} W)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(G {{|}} \neg W)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
der Bayschen Formel
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(W {{|}} G)
}
{ =} { { \frac{ P(G {{|}} W) P(W) }{ P(G {{|}} W) P(W) + P(G {{|}} \neg W) P( \neg W) } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 1 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ { \frac{ 1 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } } } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 1 }{ 4 } } }{ { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } } }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 7 } }
}
}
{}
{}{.}
Die Wahrscheinlichkeit, dass Professor Knopfloch heute mit weiss gespielt hat, ist demnach ${ \frac{ 3 }{ 7 } }$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{0}
{
}
{ }